广东省华侨中学2017届高三上学期摸底考试数学（理）试题

普宁华侨中学2017届高三摸底考试
高三理科数学
2016
09
05
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数（是虚数单位）等于(
)
A．
B．
C．
D．
3．命题“若，则”的否命题是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4.已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是(
)
A．两条相交直线
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
5.函数
（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（
）
A．
B．4
C．
D．
6.设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点且PF2F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于
A.
B.
C.
D.
8.
已知sin－3cos=0，则()。
A.
B.
C.2
D.
9.已知数列{an}是等差数列，a1+a
( http: / / www.21cnjy.com )3+a5=105，a2+a4+a6=99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是（
）
A．18
B．19
C．20
D．21
10.
如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
11.
从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
12.
设函数，若，，则函数的零点个数为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13．已知，，则
.
14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为
．
15．函数的导函数
．
我校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
心晴社
话剧社
羽毛球社
高一
45
30
高二
15
10
20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果心晴被抽出人，则的值为
.
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
(本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c
=
2,C
=.
（1）若△ABC的面积等于，求a、b；
（2）若
sin
C
+
sin(B
-
A)
=
sin
2
A，求A的值.
18.(本小题满分12分）某公司计划购买2
( http: / / www.21cnjy.com )台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替
( http: / / www.21cnjy.com )1台机器更换的
易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的
易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（1）求X的分布列；
（2）若要求P(X≤n)
≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
19.(本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC丄侧面A1AB
B1，且
AA1
=
AB
=
2.
（1）求证：AB丄BC
；
（2）若直线AC与面A1BC所成的角为，求二面角A-A1C-B的大小.
20.
(本小题满分12分）已知椭圆
(a
＞
b
＞
0)的一个焦点是F
(1,0)，O为坐标原点.
（1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点F的直线L交椭圆于A，B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有|OA|2
+
|OB|2
＜|AB|2，求a的取值范围.
21.(本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数与函数的图像关于直线x
=
1对称，证明：当x＞1时，f(x)
＞
g(x)；
（3）如果，证明：.
四.选做题（从22,
23,
24三道题中选一题作答）
22.(本小题满分10分）选修：几何证明选做题
如图所示，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC丄OP，连结AB交PO于点D.
（1）证明：PA
=
PD
；
（2）证明：PA
AC
=
AD
OC
.
23.(本小题满分10分）选修：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，直线L的参数方程
(t为参数），在O为极点，x轴非负半轴为为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线L与y轴的交点为P，直线L与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值.
24.(本小题满分10分）选修：不等式选讲
设函数，其中a∈R.
（1）当a
=
2时，解不等式
；
（2）若对于任意实数，恒有成立，求a的取值范围。
高三（理科）数学答案
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
A
D
A
A
A
B
B
B
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13．
14.
-1
15．
16.
30
解答题
17.(1)c=3,C=,由余弦定理得，
故联立上面两式，解得
…6分
（2），即；
.则分类讨论若；若，
则，由正弦定理b=2a,又，故
，即.综上…12分
18.
解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，
11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
…4分
（2）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.
…8分
（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.…12分
19.(1)取A1B的中点为D，连接AD
（2）角ACD即AC与面A1BC所成线面角,等于；直角三角形ABC中A1A=AB=2，
D为AB的中点，
过A作，且.
故即为二面角的一个平面角.
又，
，且二面角是锐二面角，
…12分
解法二：以BC，BA，BB1分别为x,y,z轴建系，故分别求得面A1BC的法向量为（0,1，-1）
，
面A1AC的法向量为（1,1,0），求得法向量夹角余弦…12分
20.（1）设M，N为短轴的两个三等分点，由△MNF
为正三角形，
即1=，
椭圆的方程为.
…4分
(2)AB与x轴重合，则…5分
AB与x轴不重合，令AB方程为，联立，即
，且，…7分
恒有,故为钝角，即恒成立，…9分
整理得
对于恒成立，此时的最小值为0.
又，，
解得
…12分
21.（1）在上增，在上减，故在x=1处
取得极大值
…4分
（2）因为函数的图像与的图像关于直线x=1对称，所以
=，令，则
又，当时有，
在上为增函数，∴.
…8分
(3)
在上增，在上减，且，
∴x1,
x2分别在直线x=1两侧，不妨设x1<1,x2>1,
∴即，∵∴
又
∴∴.
…12分
22.(1)直线PA为圆O的切线，切点为A，，BC为圆O的直径，
∴∵
∴
…5分
(2)连接,由(1)得
∵,∴
∴
∴
…10分
23.（1）∵直线的参数方程为，∴，∴直线的普通方程为，又∵，∴曲线的直角坐标方程为；
…5分
（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，，．…
10分
24.
（Ⅰ）时,就是
当时,,得,不成立；
当时,,得,所以；
当时,,即,恒成立,所以.
综上可知,不等式的解集是.
…5分
(Ⅱ)
因为,
所以的最大值为.
对于任意实数,恒有成立等价于.
当时,,得；
当时,,,不成立.
综上,所求的取值范围是
.…10分