2025-2026学年天津市西青区张家窝中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年天津市西青区张家窝中学高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 ．
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A. B. C. D.
6.已知是空间的一组基底，其中，，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
7.已知过点和点的直线的斜率与过点和点的直线的斜率相等，则的值是( )
A. B. C. D.
8.若直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则( )
A. B.
C. D.
10.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.已知空间中三点，，，则( )
A. 与是共线向量 B. 的单位向量是
C. 平面的一个法向量是 D. 与夹角的余弦值是
12.关于空间向量，以下说法不正确的是( )
A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若，且，则实数 ．
14.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则 ．
15.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，，则 ．
16.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
17.若直线与平行，则实数的值为 ；与间的距离为 ．
18.已知点，到直线的距离相等，则实数的值为
19.垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线的方程为 ．
20.在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论中错误的序号为 ．
平面
直线与平面所成角的正弦值为定值
平面平面
点到平面的距离为定值
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知空间三点，设．
若，，求；
求与的夹角的余弦值；
若与互相垂直，求．
22.已知直线与直线交于点．
求过点且垂直于直线的直线的方程；
求过点并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
与直线平行且距离为的直线方程．
23.如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到面的距离．
24.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.
16.
17. 或
18.或
19.或
20.
21.因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
因为
所以与的夹角的余弦值为；
因为与互相垂直，
所以
或．
22.求交点的坐标
解方程组：
由第一个方程得，代入第二个方程：
则，故．
直线的方程直线的斜率为，故的斜率为
用点斜式：，整理得：
当截距为：直线过原点，设方程为，
代入得，方程为．
当截距不为：设方程为，代入得，方程为．
设的直线方程为，
依题意，
解得或
直线方程为或
23.在三棱柱中，平面，，
建立如图所示空间直角坐标系：
因为，，且，为棱的中点，
所以，
所以，
则，
所以，即；
由知：，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，得，则，
又，
设直线与平面所成角，
则；
易知，
所以点到平面的距离为：．

24.证明：连接交于点，连接，
因为点是的中点，点是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
解：以为原点，以所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，则，，
设平面的法向量，则
令得，，所以平面的法向量，
又由平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
解：由中的空间直角坐标系，可得，，，，
则，，其中，
所以，
由知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，其中，
整理得，解得或，
故当时，可得，此时点；
当时，可得，此时
即存在使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．

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