苏科版2025—2026学年九年级上册数学期中考试强化提分试卷（含答案）

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苏科版2025—2026学年九年级上册数学期中考试强化提分试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
2．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为元每件的该衬衣经过两次降价降为每件元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
4．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
5．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（ ）
A． B．
C． D．与的交点是中点
6．如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
8．对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）下列说法：
①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0；
②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立；
③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1；
④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
10．如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于，若，，则为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．方程x2=4x的解 ．
12．如图，是的外接圆，，则的半径是 ．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为
14．已知m是方程的一个根，则的值为 ．
15．已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为 ．
16．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图面积为，则该圆锥的高为 ．
第II卷
苏科版2025—2026学年九年级上册数学期中考试强化提分试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
(1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率．
(2)市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
19．如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
20．如图，是的外接圆，是的切线，切点为F，，连结交于E，的平分线交于D，连结．
(1)证明：平分；
(2)证明：．
21．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．
22．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
23．如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
24．如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，
(1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．
①求证：是的“相望角”；
②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ；
(2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，
①求弦的长．
②当时，则 ．
25．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
参考答案
选择题
1—10：CDBCD CACAD
二、填空题
11．x=0或x=4
12．4
13．九/9
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，即或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18．【解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率是．
（2）解：假设下调a个50元，
依题意得，
解得 ，则（元）
则每台冰箱的定价应为元，
答：每台冰箱的定价应为2750 元．
19．【解】（1）证明：是的直径，是弧BD的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：是的直径，如图，连接，，交于点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）证明：连结，
∵是的切线，
∴，
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴平分，
（2）证明：如图，
∵的平分线交于D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
21．【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m且m≠0，
∴m的取值范围为m且m≠0；
（2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0，理由如下：
设关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
∴0，
解得：m＝﹣2，
又∵m且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去，
∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
22．【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
（2）∵a2≠b2，
令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
23．【解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∵经过的半径的外端，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．【解】（1）①证明：∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的“相望角”；
②解：∵弧的度数为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的“相望角”度数为，
故答案为：n；
（2）解：①连接，，设与交于点F，如图，
∵的“相望角”为，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或8．
故答案为：6或8．
25．【解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
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