2026年中考数学专题复习 代数式 强化训练（含答案）

2026年中考数学专题复习《代数式》强化训练含答案
一．选择题（共12小题）
1．（2025 曲靖模拟）观察下列按一定规律排列的代数式：2，3，3，3，3，…，第n个代数式为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
2．（2025 涿州市校级三模）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2025 任泽区一模）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出七，盈四：人出六，不足三．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出7钱，会多4钱；每人出6钱，又差3钱，问人数、物价各多少？设有x人，则表示物价的代数式可以是（　　）
A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣4
4．（2025 金乡县一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．40 B．42 C．44 D．46
5．（2025 西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（　　）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
6．（2025 凤庆县模拟）按一定规律排列的单项式y2，3y4，5y6，7y8， ，则第n个单项式是（　　）
A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n
7．（2025 江北区校级二模）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（　　）
A．22 B．25 C．28 D．31
8．（2025 桑植县一模）以下是一组按规律排列的多项式：，，a2+2，，，……，第n个多项式是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025 丽江模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，则第n个单项式是（　　）
A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n
C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n
10．（2025 江北区校级模拟）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a1，a0为自然数，an为正整数，且满足n+max（an，an﹣1，…，a0）＝4，其中max（an，an﹣1，…，a0）表示an，an﹣1，…，a0中最大的数．下列说法：
①满足条件的整式M中只有4个单项式；
②在所有满足条件的整式M中，整式M的系数和的最大值为6；
③当n≤2时，满足条件的整式M共有19个．
其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．（2025 江北区校级模拟）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（　　）
A．28 B．29 C．30 D．31
12．（2025 江岸区校级模拟）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如下，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
11（a+b）1＝a+b
121（a+b）2＝a2+2ab+b2
1331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
14641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（　　）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
二．填空题（共8小题）
13．（2025 费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是　 　 ．
14．（2025 遵义模拟）若单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，则m﹣n＝　 　 ．
15．（2025 临川区二模）按一定规律排列的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…据此规律，第12个单项式为　 　 ．
16．（2025 海陵区校级三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，n2﹣n+41都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（n＜50）的值为　 　 时，n2﹣n+41不是一个素数．
17．（2025 玉树市模拟）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为 　 　 ．
18．（2025 徐州校级模拟）若实数x满足x3﹣3x+2＝0，则代数式2025+6x﹣2x3的值为 　 　 ．
19．（2025 乾县校级二模）将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为　 　 颗．
20．（2025 西城区校级三模）如图所示，在一个半径为1m的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为d（d＞0），在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离h，用h1、h2…hn表示n个不同位置测量的距离．
当h1+h2+ +hn﹣1＝hn时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的d为最佳距离，
（1）当最佳距离d＝1m时，hn的最大值为　 　 ；
（2）当n的最大值为6时，最佳距离d的范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
（1）根据上述规律写出第5个等式：　 　 ；
（2）第n个等式：　 　 ；（用含n的式子表示）
（3）计算：．
22．（2025 来安县二模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝1×3；第2个等式：42﹣22＝2×6；
第3个等式：62﹣32＝3×9；第4个等式：82﹣42＝4×12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：　 　 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
23．（2025 安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（　 　 ）2＝（　 　 ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（　 　 ）2．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（　 　 ）2+（　 　 ）2+（　 　 ）2，并给出推理证明．
24．（2025 宿松县模拟）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“﹣”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次…第n次把所有编号能被n整除的硬币翻一次，游戏结束．
（1）将下列表格补充完整：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 4 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
（2）若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为　 　 ；
（3）按照上述规则，若共有n枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为　 　 枚（用含有n的式子表示）．
25．（2025 蚌埠模拟）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．
（1）观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q＝　 　 ；若an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则an＝　 　 ；
（2）欲求1+2+22+23+24+ +230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+22+23+24+ +230①，
等式两边都乘2，得2S＝2+22+23+24+25+ +231②，
由②﹣①，得2S﹣S＝231﹣1，
∴S＝231﹣1，即1+2+22+23+24+ +230的值为231﹣1．
请根据以上解答过程，计算：1+3+32+33+ +32025．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D B A D B D C C B
题号 12
答案 A
一．选择题（共12小题）
1．（2025 曲靖模拟）观察下列按一定规律排列的代数式：2，3，3，3，3，…，第n个代数式为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】根据前几个式子的规律可得第n个式子，注意符号的变化．
【解答】解：根据前面几个式子的规律可得第n个式子为3．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，解题的关键是总结归纳出变化的规律．
2．（2025 涿州市校级三模）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
【解答】解：A、15＝42﹣12；
B、16＝52﹣32；
C、17＝92﹣82；
D、18不能表示为两个非零自然数的平方差．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证．
3．（2025 任泽区一模）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出七，盈四：人出六，不足三．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出7钱，会多4钱；每人出6钱，又差3钱，问人数、物价各多少？设有x人，则表示物价的代数式可以是（　　）
A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣4
【考点】列代数式；数学常识．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据物价＝每人出的钱数乘以人数减去多的钱数或物价＝每人出的钱数乘以人数加上差的钱数，列出代数式即可求解．
【解答】解：根据题意得，
表示物价的代数式为：7x﹣4或6x+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了列代数式，掌握列代数式的方法是关键．
4．（2025 金乡县一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．40 B．42 C．44 D．46
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2；
第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：12＝5×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个，
当n＝20时，2n+2＝42（个），
即第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为42个．
故选：B．
【点评】本题考查图形变化的规律，发现规律是关键．
5．（2025 西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（　　）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】A
【分析】先确定整数部分规律为2n﹣1，再确定小数部分规律为1﹣0.1n，最后确定这一组数的规律即可．
【解答】解：观察这组数据可知：整数部分为1，3，5，7，9，……，则第n个数的整数部分为2n﹣1，
小数部分0.9，0.99，0.999.0，9999，0.99999，……，则第n个数的小数部分为1﹣0.1n，
∴按此规律，第n个数是2n﹣0.1n．
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键．
6．（2025 凤庆县模拟）按一定规律排列的单项式y2，3y4，5y6，7y8， ，则第n个单项式是（　　）
A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案．
【解答】解：第1个单项式的系数是1，次数是2，
第2个单项式的系数是3，次数是4，
第3个单项式的系数是5，次数是6，
第4个单项式的系数是7，次数是8，
…，
∴第n个单项式的系数是2（n﹣1）+1＝2n﹣1，次数是2n，
∴第n个单项式是（2n﹣1）y2n．
故选：D．
【点评】此题考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．
7．（2025 江北区校级二模）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（　　）
A．22 B．25 C．28 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中黑色三角形的个数为：4＝1×3+1；
第②个图案中黑色三角形的个数为：7＝2×3+1；
第③个图案中黑色三角形的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个图案中黑色三角形的个数为（3n+1）个．
当n＝8时，
3n+1＝3×8+1＝25（个），
即第⑧个图案中黑色三角形的个数为25个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色三角形个数变化的规律是解题的关键．
8．（2025 桑植县一模）以下是一组按规律排列的多项式：，，a2+2，，，……，第n个多项式是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】规律型：数字的变化类；多项式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可知，1可以表示为a0，2，即可得出规律，即第n个多项式可以表示为：an﹣1．
【解答】解：根据题意可知，按规律排列的多项式：，，a2+2，，，……，
其中1可以表示为a0，2，
∴第n个多项式可以表示为：an﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
9．（2025 丽江模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，则第n个单项式是（　　）
A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n
C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】C
【分析】观察﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，的变化规，归纳出第n个单项式即可．
【解答】解：由﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，
则可观察归纳得第n个单项式是（﹣1）nn2x2n．
故选：C．
【点评】本题考查单项式变化规律，解题关键是正确发现规律．
10．（2025 江北区校级模拟）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a1，a0为自然数，an为正整数，且满足n+max（an，an﹣1，…，a0）＝4，其中max（an，an﹣1，…，a0）表示an，an﹣1，…，a0中最大的数．下列说法：
①满足条件的整式M中只有4个单项式；
②在所有满足条件的整式M中，整式M的系数和的最大值为6；
③当n≤2时，满足条件的整式M共有19个．
其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】规律型：数字的变化类；单项式；多项式．
【专题】计算题；几何直观．
【答案】C
【分析】本题需要根据已知条件n+max{ an，an﹣1，...，a0}＝4，对整式M的不同情况进行分类讨论，从而判断各个说法的正确性．
【解答】解：判断说法①，
当n＝1时，若max{ a1，a0}＝3，
设a＝3，a＝0，则M＝3x是单项式；
若a＝0，a＝3，则M＝3是单项式．
当n＝2时，若max{ a2，a1，a0}＝2，设a2＝2，a1＝0，a0＝0，则M＝2x2是单项式；
设a2＝0，a1＝0，a0＝2，则M＝2是单项式．设a2＝1，a1＝1，a0＝0，则M＝x2+x是多项式．
当n＝3时，若max{ a3，a2，a1，a0}＝1，设a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，则M＝x3是单项式．
满足条件的单项式有x3，2x2，3x，2，3等不止4个，所以说法①错误．
判断说法②，
当n＝0时，max{ a0}＝4，则M＝4，系数和为4．
当n＝1时，若a1＝3，a0＝0，M＝3x，系数和为3；
若a1＝0，a0＝3，M＝3，系数和为3．
当n＝2时，若a2＝2，a1＝0，a0＝0，M＝2x2，系数和为2；
若a2＝1，a1＝1，a0＝0，M＝x2+x，系数和为2．
当n＝3时，若a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，M＝x3，系数和为1．
当n＝1，a1＝2，a0＝2时，M＝2x+2，系数和为4．
当n＝0，a0＝6不满足n+max{ an，an﹣1，...，a0}＝4．系数和最大为4，不是6，所以说法②错误．
判断说法③，
当n＝0时，max{ a0}＝4，a0＝4，有1个整式M＝4．
当n＝1时，若max{ a1，a0}＝3，（a1，a0）可以为（3，0），（0，3）；
若max{ a1，a0}＝2，（a1，a0）可以为（2，0），（0，2），（2，1），（1，2）；
若max{ a1，a0}＝1，（a1，a0）可以为（1，0），（0，1），（1，1），共8个整式．
当n＝2时，若max{a2，a1，a0}＝2，（a2，a1，a0）有多种组合情况．
当a2＝2时，（a1，a0）有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，2），（2，0）等情况；
当a2＝1时也有多种情况，共9个整式．
当n＝3时，max{a3，a2，a1，a0}＝1，a3＝1，（a2，a1，a0）为（0，0，0），有1个整式．
满足条件的整式M共有1+8+9+1＝19个，所以说法③正确．
故选：C．
【点评】本题考查逻辑推理能力，分类讨论是解题关键．
11．（2025 江北区校级模拟）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（　　）
A．28 B．29 C．30 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中无人机的架数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中无人机的架数为：4＝1×5﹣1；
第②个图案中无人机的架数为：9＝2×5﹣1；
第③个图案中无人机的架数为：14＝3×5﹣1；
…，
所以第n个图案中无人机的架数为（5n﹣1）架．
当n＝6时，
5n﹣1＝5×6﹣1＝29（架），
即第⑥个图案中无人机的架数为29架．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现无人机架数的变化规律是解题的关键．
12．（2025 江岸区校级模拟）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如下，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
11（a+b）1＝a+b
121（a+b）2＝a2+2ab+b2
1331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
14641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（　　）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
【考点】规律型：数字的变化类；完全平方公式；数学常识．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】A
【分析】结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得1510天的尾数即可判断．
【解答】解：∵1510＝（14+1）10
∴（14+1）10＝1410+10×149×1+…+10×14×19+110，
∴（14+1）10÷7的余数为：1，
即1510÷7的余数为：1，
∴若今天是星期三，则经过1510天后是星期四．
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的规律，求得1510÷7的余数．
二．填空题（共8小题）
13．（2025 费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是　10152　 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】10152．
【分析】根据题意依次求出每次操作后所产生数串的所有数之和，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为5+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，
所以每次操作加5．
则27+2025×5＝10152，
即第2025次操作后所有数之和为10152．
故答案为：10152．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现每次操作加5是解题的关键．
14．（2025 遵义模拟）若单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，则m﹣n＝　﹣1　 ．
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据合并同类项的法则可得：m＝2，n+1＝4，从而可得：m＝2，n＝3，然后把m，n的值代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，
∴m＝2，n+1＝4，
解得：m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
15．（2025 临川区二模）按一定规律排列的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…据此规律，第12个单项式为　169m23　 ．
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】169m23．
【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．
【解答】解：由题意可得：
系数的排列规律为：4，9，16，25， ，（n+1）2，
指数的排列规律为：1，3，5，7， ，2n﹣1，
∴第n个单项式为：（n+1）2m2n﹣1，
∴第12个单项式为：（12+1）2m2×12﹣1＝169m23．
故答案为：169m23．
【点评】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．
16．（2025 海陵区校级三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，n2﹣n+41都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（n＜50）的值为　41　 时，n2﹣n+41不是一个素数．
【考点】规律型：数字的变化类；命题与定理．
【专题】规律型．
【答案】41．
【分析】通过代入不同的自然数n（n＜50）到n2﹣n+41中，计算结果并判断是否为素数，找到反例．
【解答】解：当n＝40时，n2﹣n+41＝402﹣40+41＝1600﹣40+41＝1601，1601是素数；
当n＝41时，n2﹣n+41＝412﹣41+41＝1681﹣41+41＝1681，1681＝41×41，不是素数．
故答案为：41．
【点评】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被1和它自身整除的自然数）是解题的关键．
17．（2025 玉树市模拟）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为 　13　 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】推理填空题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5＝3+2×1个，
第三个图形有7＝3+2×2个，
…
故第⑥个图形有3+2×5＝13（个），
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
18．（2025 徐州校级模拟）若实数x满足x3﹣3x+2＝0，则代数式2025+6x﹣2x3的值为 　2029　 ．
【考点】代数式求值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2029．
【分析】先根据已知条件求出x3﹣3x＝﹣2，把所求式子写成含有x3﹣3x的形式，再整体代入进行计算即可．
【解答】解：∵x3﹣3x+2＝0，
∴x3﹣3x＝﹣2，
∴2025+6x﹣2x3的
＝2025﹣2（x3﹣3x）
＝2025﹣2×（﹣2）
＝2025+4
＝2029，
故答案为：2029．
【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求值的方法．
19．（2025 乾县校级二模）将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为　20　 颗．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】20．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中棋子的数量为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中棋子的数量为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中棋子的数量为：8＝3×3﹣1；
…，
所以第n个图案中棋子的数量为（3n﹣1）颗．
当n＝7时，
3n﹣1＝3×7﹣1＝20（颗），
即第⑦个图案中棋子的数量为20颗．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的颗数依次增加3是解题的关键．
20．（2025 西城区校级三模）如图所示，在一个半径为1m的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为d（d＞0），在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离h，用h1、h2…hn表示n个不同位置测量的距离．
当h1+h2+ +hn﹣1＝hn时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的d为最佳距离，
（1）当最佳距离d＝1m时，hn的最大值为　3m　 ；
（2）当n的最大值为6时，最佳距离d的范围是　0.4m≤d＜0.5m　 ．
【考点】规律型：图形的变化类；平面展开﹣最短路径问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）3m；
（2）0.4m≤d＜0.5m．
【分析】（1）根据圆的性质，当最佳距离d＝1m时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解hn最大值；
（2）根据h1+h2+ +hn﹣1＝hn以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合n的最大值为6，建立不等式求解，即可得最佳距离d的范围．
【解答】解：（1）如图，轨道圆心记为点O，立柱所在直线记为MN，作OH⊥MN，与⊙O交于点B，点A，与MN交于点H，
根据题意可知，OA＝OB＝1m，d＝AH，
∴AB＝OA+OB＝1+1＝2（m），
当最佳距离d＝1m时，AH＝1m，
∴BH＝2+1＝3（m），
∴1m≤h≤3m，hn的最大值为3m，
故答案为：3m；
（2）当n＝6时，h1+h2+h3+h4+h5＝h6，
根据题意可得，d≤h≤d+2m，
∵h1+h2+h3+h4+h5＞5d，h6≤d+2m，
∴5d＜d+2m，
∴d＜0.5m，
当n的最大值为6时，h1+h2+h3+h4+h5+h6＞6d，h7＞d+2m，
∴6d≥d+2m，
∴d≥0.4m，
∴0.4m≤d＜0.5m，
故答案为：0.4m≤d＜0.5m．
【点评】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
（1）根据上述规律写出第5个等式：　　 ；
（2）第n个等式：　　 ；（用含n的式子表示）
（3）计算：．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）观察可知两个连续的正整数的负倒数的乘积等于较小数的负倒数加上较大数的倒数，又等于两个正整数乘积的负倒数，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据所得规律把所求式子裂项求解即可．
【解答】解：（1）由前三个等式以此类推可知，第n个等式：（n为正整数），
∴第5个等式：；
（2）由（1）可得第n个等式：；
（3）原式
．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．
22．（2025 来安县二模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝1×3；第2个等式：42﹣22＝2×6；
第3个等式：62﹣32＝3×9；第4个等式：82﹣42＝4×12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：　142﹣72＝7×21　 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）142﹣72＝7×21；
（2）（2n）2﹣n2＝n 3n，证明如下：
左边＝4n2﹣n2＝3n2，
右边＝3n2，
∴左边＝右边，
∴（2n）2﹣n2＝n 3n成立．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想（2n）2﹣n2＝n 3n，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）根据题目中等式的特点可知：第7个等式：142﹣72＝7×21．
故答案为：142﹣72＝7×21；
（2）猜想：（2n）2﹣n2＝n 3n；
证明如下：左边＝4n2﹣n2＝3n2，
右边＝3n2，
∴左边＝右边，
∴（2n）2﹣n2＝n 3n成立．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，熟练掌握以上知识点是关键．
23．（2025 安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（　5×6+1　 ）2＝（　31　 ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（　n（n+1）+1　 ）2．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（　n　 ）2+（　n+1　 ）2+（　n（n+1）　 ）2，并给出推理证明．
【考点】规律型：数字的变化类；非负数的性质：偶次方．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】（1）①5×6+1；②n（n+1）+1；
（2）n，n+1，n（n+1），
（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
所以左边＝右边，猜想成立．
【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②．
（2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
【解答】解：（1）①当n＝5时，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝312；
②猜想：（n2+n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
故答案为：①5×6+1，31；②n（n+1）+1；
（2）猜想：（n2+n+1）2＝n2+（n+1）2+[n（n+1）]2，
证明：（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
所以左边＝右边，猜想成立．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
24．（2025 宿松县模拟）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“﹣”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次…第n次把所有编号能被n整除的硬币翻一次，游戏结束．
（1）将下列表格补充完整：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 4 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
（2）若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为　①④⑨ 　 ；
（3）按照上述规则，若共有n枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为　（n2+2n
）　 枚（用含有n的式子表示）．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】规律型；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣
（2）①④⑨ ；
（3）（n2+2n）．
【分析】（1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“﹣”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“+”，填表即可；
（2）列出所有游戏结果，可得答案；
（3）根据前20枚硬币的结果，得出前4次硬币数量最多的枚数，即可得出答案．
【解答】解：（1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“﹣”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“+”，填表如下；
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣
（2）结合（1），可知有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为①④⑨ ．
编号
翻次 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6
结果 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
故答案为：①④⑨ ；
（3）当有1枚硬币正面朝上，最多可以有1+2枚硬币；
当有2枚硬币正面朝上，最多可以有22+4枚硬币；
当有3枚硬币正面朝上，最多可以有32+2×3枚硬币；
…，
当有n枚硬币正面朝上，最多可以有n2+2×n＝n2+2n枚硬币．
故答案为：（n2+2n）．
【点评】本题主要考查了数字变化规律，用代数式表示，熟练掌握以上知识点是关键．
25．（2025 蚌埠模拟）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．
（1）观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q＝　　 ；若an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则an＝　　 ；
（2）欲求1+2+22+23+24+ +230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+22+23+24+ +230①，
等式两边都乘2，得2S＝2+22+23+24+25+ +231②，
由②﹣①，得2S﹣S＝231﹣1，
∴S＝231﹣1，即1+2+22+23+24+ +230的值为231﹣1．
请根据以上解答过程，计算：1+3+32+33+ +32025．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）通过观察可知后一个数除以前一个数等于，根据已知数的特点求出an即可；
（2）令S＝1+3+32+33+ +32025，则3S＝3+32+33+ +32026，两式相减即可得出答案．
【解答】解：（1），
∵a1＝1，，，，……，
，
故答案为：，；
（2）令S＝1+3+32+33+ +32025，则3S＝3+32+33+ +32026，
两式相减，得2S＝32026﹣1，
∴，即．
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，探索与表达规律，发现规律是关键．