2026年中考数学专题复习 尺规作图 强化训练（含答案）

2026年中考数学专题复习《尺规作图》强化训练含答案
一．选择题（共13小题）
1．（2025 金凤区校级模拟）如图，以点O为圆心，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使得OA＝OB，然后分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．如果点P的坐标为（3a，a+4），则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025 义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．28° B．56° C．68° D．34°
3．（2025 西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2025 肥东县校级三模）如图，在△ABC中，∠CAB＝2∠B，利用尺规以点A为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝AD＝8，则CD的长是（　　）
A． B． C． D．4
5．（2025 当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1：
C．AD＝BD D．CDBD
6．（2025 武城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝16，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
7．（2025 望城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C． D．
8．（2025 门头沟区二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P． 求作：直线PE，使得PE∥BC． 作法：如图2，①在直线BC上取一点A，连接PA． ②作∠PAC的平分线AD． ③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E． ④作直线PE． ∴直线PE就是所求作的直线．
上述的方法是通过判定∠PEA＝∠EAC得到PE∥BC的，其中判定PE∥BC的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
9．（2025 二道区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和∠ADC的关系是（　　）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC＝∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
10．（2025 邯郸模拟）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2025 古塔区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝16，AB＝20，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　）
A．6 B． C． D．24
12．（2025 汇川区四模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，连接AG并延长交CD于点M，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点N．则MN的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
13．（2025 阜阳三模）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ交直线m于点E，连接BE．若∠1＝α，则∠CBD＝（　　）
A．90°﹣α B． C．2α﹣135° D．
二．填空题（共7小题）
14．（2025 平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　 　 ．
15．（2025 南岗区校级三模）已知：如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝120°，点E为AB的中点，连接CE，以点E为圆心任意长为半径画弧，交EC、EA于点G、H，分别以G、H为圆心大于线段GH一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线EP交CD于点F，则EF的长为 　 　 ．
16．（2025 大东区校级二模）如图，已知∠ABC＝60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点D为圆心，BE长为半径画弧，交DA于点G；以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线DH；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M；画射线BM，交DH于点N；以点N为圆心，BN长为半径画弧，交BC于点P，则的长为 　 　 cm．
17．（2025 太平区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，按如下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②作直线MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的周长为　 　 ．
18．（2025 新宾县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠DCB，以点D为圆心、CD的长为半径作弧，与AB交于点E，连接DE；以点D为圆心、适当长为半径作弧，分别与DE，DC交于点M，N；再分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠EDC的内部交于点P，作射线DP，交BC于点F．若DF∥AB，CF＝2，DE＝4，则BE与AE的长度的比值为 　 　 ．
19．（2025 银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 　 　 ．
20．（2025 天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　 　 ；
（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在∠ABC的角平分线上有一点P，BC上有一点Q，使CP+PQ的值最小．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形．
22．（2025 湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点．
（1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形．
23．（2025 分宜县模拟）追本溯源
（1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
性质应用
（2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ的面积为27，则△OMP的面积为 　 　 ．
24．（2025 余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；
（2）在图2中，画出△ABC的高CH．
25．（2025 宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B B B B D C B B C
题号 12 13
答案 B B
一．选择题（共13小题）
1．（2025 金凤区校级模拟）如图，以点O为圆心，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使得OA＝OB，然后分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．如果点P的坐标为（3a，a+4），则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】作图题；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由作图可知点P在∠AOP的角平分线上，即点P在直线y＝x上，即得3a＝a+4，解之即可求解，掌握直线y＝x上点的坐标特征是解题的关键．
【解答】解：由作图可知点P在直线y＝x上，
∴3a＝a+4，
解得a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的作法，坐标与图形，一次函数的几何应用，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025 义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．28° B．56° C．68° D．34°
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC＝68°，再利用基本作图得到AE平分∠DAC，则∠EAC＝34°，利用基本作图得到EH垂直平分AC，则∠AHE＝90°，然后利用互余计算出∠AEH，最后根据对顶角相等得到∠α的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°，
由作法得AE平分∠DAC，
∴∠EAC∠DAC68°＝34°，
由作法得EH垂直平分AC，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠AEH＝56°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．（2025 西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，判断出AP垂直平分线段MN，再根据菱形，等边三角形的判定，解直角三角形的知识一一判断即可．
【解答】解：由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，
∴PA垂直平分线段MN，故②正确，
∴PA平分MPN，故③正确，
无法判断△AMN，四边形AMPN是菱形，故①④错误．
∵PM＝PN，AP⊥MN，
∴MO＝ON，
∴cos∠MPN，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
4．（2025 肥东县校级三模）如图，在△ABC中，∠CAB＝2∠B，利用尺规以点A为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝AD＝8，则CD的长是（　　）
A． B． C． D．4
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】B
【分析】由题意知，AD平分∠CAB，结合已知可证明△CAD∽△CBA，由相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：由作图知，AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD；
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∵CB＝CD+BD＝CD+AD＝CD+8，
∴，
解得或（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，作角平分线，解决本题的关键是得到△CAD∽△CBA．
5．（2025 当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1：
C．AD＝BD D．CDBD
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以C选项的结论正确；
∵∠CBD∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
6．（2025 武城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝16，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，设AE与BF交于点O，如图，
由条件可知∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
∵由作图可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝8，OA＝OE，
由勾股定理得：，
∴AE＝2OA＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．
7．（2025 望城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C． D．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；由于∠ABD＝∠CBD＝30°，所以∠ABD＝∠A，则根据等腰三角形的判定方法可对B选项进行判断；根据含30度角的直角三角形三边的关系可对C选项进行判断；由于CDBDAD，则根据三角形面积公式得到，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，所以A选项不符合题意；
∵∠C＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC60°＝30°，
∵∠ABD＝∠A，
∴DA＝DB，所以B选项不符合题意；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴CDBD，所以C选项不符合题意；
∴CDAD，
∴，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
8．（2025 门头沟区二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P． 求作：直线PE，使得PE∥BC． 作法：如图2，①在直线BC上取一点A，连接PA． ②作∠PAC的平分线AD． ③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E． ④作直线PE． ∴直线PE就是所求作的直线．
上述的方法是通过判定∠PEA＝∠EAC得到PE∥BC的，其中判定PE∥BC的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；应用意识．
【答案】C
【分析】结合平行线的判定可得答案．
【解答】解：∵AD为∠PAC的平分线，
∴∠PAE＝∠CAE．
∵由作图过程可得，PE＝PA，
∴∠PEA＝∠PAE，
∴∠PEA＝∠CAE，
∴PE∥BC，
∴判定PE∥BC的依据是内错角相等，两直线平行．
故选：C．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
9．（2025 二道区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和∠ADC的关系是（　　）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC＝∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】利用三角形的外角的性质判断即可．
【解答】解：由作图可知∠B＝∠DAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC＝∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2025 邯郸模拟）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图过程证明△FAO≌△BAO，可得∠AOF＝∠AOB＝90°，FO＝BO＝4，根据勾股定理得AO＝3，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，从而∠DAG＝∠AEB，再根据等腰三角形的性质即可求得AO＝EO＝3，进而得AE的长．
【解答】解：如图，
∵∠BAD的平分线AG交BC于点E，
∴∠FAE＝∠BAE，
由作图可知：AF＝AB，AO＝AO，
在△FAO和△BAO中，
，
∴△FAO≌△BAO（SAS），
∴∠AOF＝∠AOB＝90°，FO＝BO＝4，
∵AB＝5，
∴AO＝3，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AEB，∠FAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AO＝EO＝3，
∴AE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
11．（2025 古塔区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝16，AB＝20，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　）
A．6 B． C． D．24
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于点H．想办法求出DH，BH可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠C＝90°，AC＝16，AB＝20，
∴BC12，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，
∵S△ABC AC BC AC DC AB DH，
∴16×1216×x20×x，
∴x，
∴CD＝DH，
∴BD＝12，
∴BH4，
根据垂线段最短可知当点E与点H重合时，DE的值最小，此时△DEB的面积4．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2025 汇川区四模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，连接AG并延长交CD于点M，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点N．则MN的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】证明AD＝DM＝3，求出CN，CN可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，CD∥AB，
∴∠AMD＝∠MAB，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM＝∠MAB＝∠DMA，
∴AD＝DM＝3，
∴CM＝CD＝DM＝5﹣3＝2，
∵CN＝CB＝3，
∴MN＝CN﹣CM＝3﹣2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．（2025 阜阳三模）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ交直线m于点E，连接BE．若∠1＝α，则∠CBD＝（　　）
A．90°﹣α B． C．2α﹣135° D．
【考点】作图—基本作图；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义进行求解即可．
【解答】解：由题意知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴，
由条件可知，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查尺规作图、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025 平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ．
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CDx，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝∠PBA，
∴tan∠PBA＝tan∠CBP，
∵∠C＝90°，，
∴，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB5x，
设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，
∴S△ABCAC BCBC CDAB DE，
∴3x 4x＝（3x+5x） CD，
∴CDx，
∴tan∠PBA＝tan∠CBP，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
15．（2025 南岗区校级三模）已知：如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝120°，点E为AB的中点，连接CE，以点E为圆心任意长为半径画弧，交EC、EA于点G、H，分别以G、H为圆心大于线段GH一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线EP交CD于点F，则EF的长为 　6　 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】6．
【分析】如图，连接AC．证明△ECF是等腰直角三角形，求出EC可得结论．
【解答】解：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠BAC＝∠DAC∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴CE⊥AB，
∴ECBE＝6，
∵EF平分∠AEC，
∴∠CEF＝45°，
∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴EFEC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
16．（2025 大东区校级二模）如图，已知∠ABC＝60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点D为圆心，BE长为半径画弧，交DA于点G；以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线DH；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M；画射线BM，交DH于点N；以点N为圆心，BN长为半径画弧，交BC于点P，则的长为 　　 cm．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；弧长的计算．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】．
【分析】过点N作NQ⊥AB于点Q，连接PN，由作图过程可知，DB＝2cm，∠ADN＝∠ABC＝60°，BN为∠ABC的平分线，可得DN∥BC，∠ABN＝∠CBN30°，进而可得DB＝DN＝2cm．在Rt△DNQ中，可得NQ＝DN sin60°（cm），在Rt△DNQ中，可得BN＝2NQcm．根据BN＝NP，可得∠NBP＝∠NPB＝30°，则∠BNP＝120°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：过点N作NQ⊥AB于点Q，连接PN，
由作图过程可知，DB＝2cm，∠ADN＝∠ABC＝60°，BN为∠ABC的平分线，
∴DN∥BC，∠ABN＝∠CBN30°，
∴∠DNB＝∠CBN，
∴∠ABN＝∠DNB，
∴DB＝DN＝2cm．
在Rt△DNQ中，∠QDN＝60°，DN＝2cm，
∴NQ＝DN sin60°（cm），
在Rt△DNQ中，∠QBN＝30°，NQcm，
∴BN＝2NQcm．
∵BN＝NP，
∴∠NBP＝∠NPB＝30°，
∴∠BNP＝120°，
∴的长为 （cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2025 太平区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，按如下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②作直线MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的周长为　10　 ．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】10．
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得OA＝OC，AD＝CD，AE＝CE，∠AOD＝90°．结合勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，可得OD∥BC，则点D为AB的中点，可得．证明△AOD≌△COE，可得AD＝CE，则AD＝CD＝AE＝CE，进而可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AD＝CD，AE＝CE，∠AOD＝90°．
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB，
∴OD∥BC，
∴点D为AB的中点，
∴．
∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO，
∵OA＝OC，
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD＝CE，
∴AD＝CD＝AE＝CE，
∴四边形ADCE的周长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025 新宾县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠DCB，以点D为圆心、CD的长为半径作弧，与AB交于点E，连接DE；以点D为圆心、适当长为半径作弧，分别与DE，DC交于点M，N；再分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠EDC的内部交于点P，作射线DP，交BC于点F．若DF∥AB，CF＝2，DE＝4，则BE与AE的长度的比值为 　　 ．
【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】连接CE交DF于G点，如图，设GF＝x，利用基本作图得到DE＝DC＝4，DF平分∠EDC，则根据等腰三角形的性质得到EG＝CG，CE⊥DF，再证明△CGF∽△CEB，根据相似三角形的性质得到BE＝2x，接着证明四边形ABFD为平行四边形和等线段代换得到DF＝AB＝CD＝DE＝4，所以DG＝4﹣a，然后双勾股得到42﹣（4﹣a）2＝22﹣a2，解方程求出a，则可得到BE和AE的长，从而得到它们的比值．
【解答】解：连接CE交DF于G点，如图，设GF＝x，
由作法得DE＝DC＝4，DF平分∠EDC，
∴DF垂直平分CE，
∴EG＝CG，CE⊥DF，
∵GF∥BE，
∴△CGF∽△CEB，
∴，
∴BE＝2x，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF＝AB＝CD＝DE＝4，
∴DG＝DF﹣GF＝4﹣a，
在Rt△CDG中，CG2＝CD2﹣DG2＝42﹣（4﹣a）2，
在Rt△CFG中，CG2＝CF2﹣FG2＝22﹣a2，
∴42﹣（4﹣a）2＝22﹣a2，
解得a，
∴BE＝2a＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图和等腰三角形的性质是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
19．（2025 银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 　8　 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；垂径定理．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】延长CE交BA的延长线于点G，由作图可知，BF为∠ABC的角平分线，据此可证△BEC≌△BEG（ASA），得到CE＝GE＝4，即得CG＝8，再证明△ABD≌△ACG（ASA），得到BD＝CG＝8，即可求解．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，
∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF，
∴BF为∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵CE⊥BF，
∴∠BEC＝∠BEG＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEG（ASA），
∴CE＝GE＝4，
∴CG＝4+4＝8，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAG＝90°，
∵∠ABD+∠G＝90°，∠ACG+∠G＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2025 天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　　 ；
（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在∠ABC的角平分线上有一点P，BC上有一点Q，使CP+PQ的值最小．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求　 ．
【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；垂线段最短；勾股定理；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析，取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AC；
故答案为：
（Ⅱ）如图，点P即为所求．取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求．
故答案为：
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，轴对称最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，垂线段最短解决最值问题．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质．
【专题】作图题；证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）如图，对角线AC的垂直平分线MN即为所求；
（2）如图，设AC与MN交于点O，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AN＝CN
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形．
【分析】（1）直接根据题意作图即可；
（2）设AC与MN交于点O，由MN是AC的垂直平分线得到AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，由四边形ABCD是矩形证明∠AMO＝∠CNO，进而证明△AOM≌△CON（AAS），进而可证△AMN是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N，MN即为所求；
（2）证明：如图，设AC与MN交于点O，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AN＝CN
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形．
【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
22．（2025 湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点．
（1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】（1）在DB的下方作∠BEF＝∠BDC，且EF＝CD，连接CF即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF＝CD，EF∥CD，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE＝BE＝F，AE∥BF，
∴∠EAD＝∠FBC，
∴△EAD≌△FBC（SAS），
∴∠AED＝∠BFC，
∵∠ABE+∠BFC＝180°，
∴∠ABE+∠AED＝180°，
∵∠AEB+∠AED＝180°，∠AEB+∠AED＝180°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．（2025 分宜县模拟）追本溯源
（1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
性质应用
（2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ的面积为27，则△OMP的面积为 　12　 ．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）12．
【分析】（1）利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，再利用全等的性质即可证明；
（2）证明出△MOP∽△OCQ，利用面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】1）证明：由题意知：∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴△OMP，△ONP都为直角三角形，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP平分∠AOB；
（2）解：∵QC⊥OA于点C，
∴QC∥PM，
∴∠MOP＝∠OCQ，∠MOP＝∠COQ，
∴△MOP∽△OCQ，
∴，
∵，即，
解得：S△OMP＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理．
24．（2025 余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；
（2）在图2中，画出△ABC的高CH．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质在图1中，过点E画出CD的平行线EF即可；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，画出△ABC的高CH即可．
【解答】解：（1）图1中EF即为所求；
（2）图1中CH即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质．
25．（2025 宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据作角平分线的步骤作图即可；
（2）利用SAS判定出△EAD≌△CAD，再根据性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，AD，DE即为所求．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD和△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴∠C＝∠AED．
∵∠AED＞∠B，
∴∠C＞∠B．
【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等．