湖北省武汉市问津教育联合体2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

问津教育联合体2027届高二10月联考
数学试卷
考试时间：2025年10月14日 14:30-16:30 试卷满分：150分
一.单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 抛掷一枚骰子两次.设事件为“第一次向上的点数是2”，事件为“第二次向上的点数是奇数”，事件为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互为对立事件
B.
C.
D. 事件与事件相互独立
6. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点是棱的中点，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. 5 C. 4 D. 3
8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 空间中三点是坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 点关于平面对称的点为 D. 与夹角的余弦值是
10. 下列叙述错误的是（ ）
A. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
B. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
D. 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行
11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当，，时，则P到平面的距离的最小值是
C. 当，时，的最小值为
D. 当，且时，则P的轨迹总长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间三点，，，则到直线的距离为__________.
13. 已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________.
14. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点.
（1）若直线，求实数的值；
（2）若直线，求实数的值.
16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对，两部门开展专项技能培训.
（1）已知该公司，两部门分别有3位领导，需要从这6位领导中随机选取3位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求组长中有两位来自于部门的概率；
（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率.
17. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，是棱的中点，点在棱上．
（1）证明：；
（2）若平面，求二面角的余弦值．
18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为，甲胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
问津教育联合体2027届高二10月联考数学答案
一.单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D.
2. C
3. A
4. A．
5. C．
6. A.
7. A．
8. A．
二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. AB
10. BCD.
11. ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. ．
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）
，，
因为，所以，解得或.
又因为，且与不能重合，所以，即，
故.
（2）或
当时，，解得；
当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为，
满足，合题意，故或.
16. （1）
记部门的3名领导为，，，部门的3名领导为，，，
从这6位领导中随机选取3位当组长，不同结果有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共20种，
组长中有两位来自于部门的不同结果有：，，，，，，，，共9种，
所以组长中有两位来自于部门的概率为.
（2）
记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”，
则，，，，
依题意，
，
所以甲经过培训合格的概率为.
17. （1）证明 如图，取的中点，连接，，则，
由知，∴，，，四点共面，
由题设知，，
又，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，且，均为锐角，
∴，
∴，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴；
（2）
∵平面，平面平面，
∴，∴四边形为平行四边形，∴，
由题设知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得．
设是平面的一个法向量，
则，令，得．
∴，
即二面角的余弦值为．
18. （1）
记事件为甲胜乙，则，，
事件为甲胜丙，则，，
事件为乙胜丙，则，，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况分两种：
丙被淘汰的概率为.
（2）
只需四场比赛就决出冠军的情况有四种：
所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为：
.
19. （1）证明
在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）①；②不存在，理由见解析
如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，
因，则，，且
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，，
则有：，
即，化简得：，
解得或，
又因为，即，所以，即；
②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.