第七章 命题与证明 单元回顾与思考 课件(共26张PPT)2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共26张PPT)
第七章 证明
单元回顾与思考
典例精选
知识网格
复习目标
思想方法
巩固拓展
当堂检测
反思总结
作业设计
教学设计的基本环节：
复习目标
知识目标
能力目标
素养目标
1.明确定义、命题、公理、定理、推论的核心含义,
能举例说明各概念的本质特征
2.掌握命题的构成要素，能准确区分命题的条件与
结论，并将条件结论不明显的命题改写成
“如果…… 那么……” 的标准形式；
3.理解命题的分类标准，能辨析真命题与假命题，
明确反例的作用 —— 即通过举反例证明假命题的方法.
3.知晓证明的必要性与基本逻辑,掌握综合法证明的
一般步骤：画出图形→写出已知、求证→规范推理过程；
4.熟记本单元涉及的基本事实与定理,明确公理与定理的区别
1.能从语句中准确识别命题，排除非命题,
并快速判断命题的真假性；
2.针对假命题能构造有效反例，针对真命
题能说明判断依据.
3.能运用综合法按规范格式完成简单命题的证明,做到步步有据,推理过程符合逻辑规则；
4.能结合几何实例,灵活运用公理、定理设计证明思路,解决“已知→求证”的几何证明问题；
5.能对他人的证明过程进行评价,指出其中的逻辑漏洞或方法优劣.
逻辑推理素养 2.数学抽象与建模素养 3.科学态度与价值认同
知识网格
1.直观是重要的,但它有时也会欺骗人,你能找出这样的例子吗？
2.请用自己的语言说说什么是定义、命题,并举例说明.
3.本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？
4.为什么需要证明？证明的一般步骤是怎样的？如何分析证明的思路？与同伴进行交流.
5.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这两类命题的条件和结论有什么关系？
6.梳理本章内容,用适当的方式呈现全章的知识结构,并与同伴进行交流。
知识网格
典例精选
知识点1:角的平分线与垂直的性质（逻辑推理与角度证明）
已知:如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,且OC⊥OE.
求证:∠DOE=∠BOE.
问题1:你能尝试分析每一个条件和证明的结论有怎样的关联吗？
点O在直线AB上
∠AOB是平角，∠AOC+∠BOE=90°
射线OC平分∠AOD
∠AOC=∠DOC，这可能是“等量代换” 的关键桥梁
OC⊥OE
∠COE=90°，即∠DOC+∠DOE=90°
典例精选
知识点1:角的平分线与垂直的性质（逻辑推理与角度证明）
已知:如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,且OC⊥OE.
求证:∠DOE=∠BOE.
证明：
∵ 射线OC平分∠AOD（已知），
∴ ∠AOC=∠DOC（角平分线定义）.
∵ OC⊥OE（已知），
∴ ∠COE=90°（垂直定义），
∴ ∠DOC+∠DOE=90°，∠AOC+∠BOE=180° 90°=90°（平角定义、等式性质）
又∵ ∠AOC=∠DOC（已证），
∴ ∠DOE=∠BOE（等角的余角相等）
典例精选
知识点2：平行线的判定（利用角度关系证明平行）
2.将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短？研究发现,并非对角线最短,而是如图所示的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF 把四个顶点连接起来）.已知图中∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°,你能证明AB∥EF吗？
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形（已知），
∴ ∠DAB=90°（正方形的性质）。
∵ ∠DAE=30°,且∠DAB=∠DAE+∠EAB（角的和的定义），
∴ ∠EAB=∠DAB ∠DAE=90° 30°=60°（等式的基本性质）.
∵ ∠AEF=120°（已知），
∴ ∠EAB+∠AEF=60°+120°=180°（角的和差运算）.
∴ AB∥EF（同旁内角互补,两直线平行）.
典例精选
知识点3：平行线的性质与判定综合应用
3.已知:如图,AB∥CD,PM和QN分别是∠BPE和∠DQE内的两条射线,且∠BPM=∠DQN.求证：PM∥QN.
证明：
∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠BPE=∠DQE（两直线平行,同位角相等）.
∵ ∠BPM=∠DQN（已知），
∴ ∠BPE ∠BPM=∠DQE ∠DQN（等式的性质），
即 ∠MPE=∠NQE。
∴ PM∥QN（同位角相等,两直线平行）.
平行线的性质
平行线的判定
典例精选
知识点4：无理数的运算与命题真假（反例法）
4.小丽发现: 是无理数, 是无理数,是无理.于是她猜想:两个无理数的和一定还是无理数.你认为她的猜想正确吗？为什么？
小丽的猜想不正确.
理由:可以通过举反例来否定这个猜想.例如，取两个无理数 和 ,它们的和为0,而0是有理数.或者举例这说明存在两个无理数,它们的和是有理数,因此“两个无理数的和一定还是无理数”这个猜想不成立.
典例精选
知识点5：命题的真假判断（反例法）
5.小华将=0,1,2分别代入代数式结果发现这个代数式的值都是0.于是他猜想:对于所有的自然数,代数式的值都是0.你认为小华的猜想正确吗？为什么？
小华的猜想不正确.
理由:要判断一个关于“所有自然数”的猜想是否正确,不能仅通过有限的几个数验证,需要通过举反例来否定.
当=3时,代入代数式=0：
当=4时,代入代数式=24≠0
由此可见,当=4时,代数式的值不为0,所以小华的猜想不正确.
典例精选
知识点6：平行线的性质与判定的系统应用
6.如图,直线,b被直线c所截.
（1）如果∥b,你能得到哪些角之间的等量关系？
解：（1）若∥b,角的等量关系
∵ ∥b（已知），
∴ ∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8（两直线平行,同位角相等）；
∠3=∠5,∠4=∠6（两直线平行,内错角相等）；
∠3+∠6=180°,∠4+∠5=180°（两直线平行,同旁内角互补）；
同时,对顶角相等（如∠1=∠3,∠2=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8）,结合平行线性质可推导更多等量关系（如∠1=∠7等）.
典例精选
（2）证明∥b的条件
同位角相等：∠1=∠5,或∠2=∠6,或∠3=∠7,或∠4=∠8
（同位角相等,两直线平行）；
内错角相等：∠3=∠5,或∠4=∠6（内错角相等,两直线平行）；
同旁内角互补：∠3+∠6=180°,或∠4+∠5=180°（同旁内角互补,两直线平行）.
知识点6：平行线的性质与判定的系统应用
6.如图,直线,b被直线c所截.
（2）写出能够证明∥b的条件（能写几个就写几个）
典例精选
知识点7：逻辑推理与实际问题
7.有三个纸箱,一个箱内装有橘子,一个箱内装有苹果,一个箱内混装了一些橘子和苹果.三个箱子外面分别贴有“橘子”“苹果”“混合水果”的标签,可是,工作人员不慎将所有标签都贴错了.请你只检查一个箱子即确定各箱子内的水果品种.
解：步骤1:选择检查贴有“混合水果”标签的箱子
因为“所有标签都贴错了”,所以贴“混合水果”的箱子一定不是混合水果，只能是纯橘子或纯苹果.
步骤2:假设从贴“混合水果”的箱子中取出一个水果
若取出的是橘子：则这个箱子实际装的是橘子.
那么贴“苹果”标签的箱子,由于标签全错,它不能装苹果,也不能装橘子,所以只能装混合水果.最后贴“橘子 标签的箱子就只能装苹果.
典例精选
若取出的是苹果：
则这个箱子实际装的是苹果.那么贴“橘子”标签的箱子,由于标签全错，它不能装橘子,也不能装苹果（苹果已确定）,所以只能装混合水果.
最后贴 “苹果” 标签的箱子就只能装橘子.
综上,只需检查贴有“混合水果”标签的箱子,根据其中水果的品种,就能通过“标签全错”的逻辑,确定另外两个箱子的实际水果品种.
7.有三个纸箱,一个箱内装有橘子,一个箱内装有苹果,一个箱内混装了一些橘子和苹果.三个箱子外面分别贴有“橘子”“苹果”“混合水果”的标签,可是,工作人员不慎将所有标签都贴错了.请你只检查一个箱子即确定各箱子内的水果品种.
知识点7：逻辑推理与实际问题
巩固拓展
知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用
8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？
要判断AB与CD的位置关系,我们可以通过平行线的性质和角度的等量代换来推导.
证明：AB∥CD
利用镜面平行的性质
∵ MN∥EF（已知,两面镜面互相平行），
∴ ∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）
巩固拓展
知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用
8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？
2.结合角相等的条件
已知 ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换）.
3.推导∠ABC与∠BCD的关系
∵ ∠ABC=180 ∠1 ∠2,
∠BCD=180 ∠3 ∠4（平角的定义），
又∵ ∠1=∠2=∠3=∠4，
∴ ∠ABC=∠BCD（等式的性质）.
巩固拓展
知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用
8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？
4.判定直线平行
∵ ∠ABC=∠BCD（已证）,
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
综上,AB与CD的位置关系是AB∥CD .
思想方法
1.逻辑推理思想
在几何证明和逻辑分析中,通过已知条件,按照公理、定理逐步推导结论,体现了严谨的逻辑推理过程.
2.分类讨论思想
在分析“两个无理数的和是否为无理数”时通过举不同的反例,考虑不同情况来否定猜想;在纸箱标签问题中,也隐含了对取出水果种类的分类讨论.
3.转化思想
将几何中的平行问题转化为角的关系问题,把复杂的位置关系转化为可计算、可推导的角度关系,体现了转化的思想.
4.反例思想
在判断小华和小丽的猜想是否正确时,通过找出不符合猜想的具体例子,从而否定“所有情况都成立”的猜想,这是反例思想的典型应用.
5.数形结合思想
在几何问题中,结合图形来分析角与直线的关系,将数与形结合起来,使问题更直观、易解.
当堂检测
1.下列命题中，是定理的是( )
A
A. 对顶角相等
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间线段最短
D. 三边分别相等的两个三角形全等
当堂检测
2.对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假命
题的反例是( )
C
A. ， B.
C. ， D.
当堂检测
3.直线，，， 的位置如图所示，如果 ，
， ，
那么 ( )
D
B.
C. D.
当堂检测
4.图1为北斗七星的位置图，如图2，
将北斗七星分别标为，， ，
，，，，将，，， ，
（1）求 的度数.
解：， .
.
，首尾顺次连接，恰好经过点，且点，， 在同一条直线上.
已知， ， .
当堂检测
（2）计算 的度数是_____.
（3）连接，当与 满
解：当 时， .
理由：， .
， .
.
足怎样数量关系时， ？请说明理由.
反思总结
1.本节课在复习的过程中，主要回顾解决了哪些问题？
2.如何展开证明思路，你有怎样的经验和同学分享？
3.对于命题种类的划分，你知道的有哪些 请举例分析.
.
作业设计
一、基础巩固作业：
课本P197页 第7题
二、素养类作业
课本P198页 第11题
三、挑战类作业
书写一篇300字左右的八年级数学上期学习感悟
作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错.