13.2勾股定理的应用 华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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13.2勾股定理的应用华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱粮仓模型如图如图，是底面直径，是圆柱的高现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点接头不计，则装饰带的长度最短为( )
A. B. C. D.
2.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为( )
A. B. C. D.
3.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯 内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外 壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂点的最短距离为 ．
A. B. C. D.
6.九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵着绳索退行，在离木柱根部尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是．
A. B. C. D.
8.如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为 米．
A. B. C. D.
9.如图，已知，垂足为点，，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示已知书的长度为，厚度为书角到书柜底部的距离比书角到书柜底部的距离少，则书角与书角的距离为 ．
12.用一根长的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，则这个直角三角形较短的直角边长为 ．
13.如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前不包括树根长度是_________．
14.现有两根木棒，它们的长度分别是和，若要钉成一个直角三角形木架，所需第三根木棒长度最短是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
学过勾股定理后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为，到旗杆的距离为如图．

若旗杆的高度，那么绳子的长度可以表示为 ；用含的代数式表示
求旗杆的高度．
16.本小题分
九章算术中记载，“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户邪几何？”译文是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门的对角线的长是多少？
17.本小题分
如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
求旗杆的高度；
小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米即的长？结果保留根号
18.本小题分
一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？
19.本小题分
如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
求旗杆的高度；
小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米即的长？
20.本小题分
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内包括为受影响区域．
海港受台风影响吗？为什么？
若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？若海港不受台风影响，则说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：依题意，，，
在中，，
，
，，
在中，，
，
故选：．
在中由勾股定理求出，再在中运用勾股定理即可求出．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，
由题意可知，，，，，，
，
，
，
在中，
，
答：，两港之间的距离为．
故选：．
证明是直角三角形，根据勾股定理即可求出结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算首先将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【解答】
解：如图图中数据的单位：，将杯子的侧面展开，
作关于的对称点，连接，易知的长为所求的最短距离，
根据勾股定理得，
所以，即所求的最短距离为．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用。勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们需要根据题目所描述的情境，找出直角三角形的三条边，然后根据勾股定理列出方程。
【解答】
解：设绳索长度为尺，因为绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，所以木柱的高度为尺。
已知牵着绳索退行，在离木柱根部尺处时绳索用尽，所以离木柱根部尺的距离就是直角三角形的一条直角边，长度为尺。
绳索长度尺就是直角三角形的斜边。
根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以可列方程为。
故选C。
7.【答案】
【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据、两村庄到站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
、两村庄到站的距离相等，
，
，
，
，
解得，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】过点作于，则，米，由勾股定理得出米，则米，即可得出答案．
【解答】解：过点作于，如图所示：
则，， 在中，， 由勾股定理得：米，米，米， 故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
故选：．
设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
即的值最小为，
故选：．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设，则，
如图，设两个书柜交点为，
，
，
由题易得，，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
在中，，
即，
解得，
，，
，，
∽，
，即，
解得，
故答案为：．
先证≌，可得，进而利用勾股定理得到，再证∽即可得解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：长的铁丝围成一个斜边长为的直角三角形，设一条直角边长为，则另一条直角边长为，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得：，，
两直角边长分别为和，
较短的直角边长为，
故答案为：．
设一条直角边长为，则另一条直角边长为，根据勾股定理可列出关于的等式，解出的值即可得出答案．
本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题．
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：
由题意得，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：米．
所以大树的高度是米．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键，难度适中．
当斜边为，直角边为时，所需第三根木棒的长度最短，根据勾股定理得出答案即可．
【解答】
解：现有两根木棒的长度分别是和，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，
当斜边为，直角边为时，所需第三根木棒的长度最短，
此时，木棒的最短长度为
．
故答案为：．
15.【答案】【小题】
【小题】
在中，，，，由勾股定理，得，解得答：旗杆的高度为．

【解析】 略
略
16.【答案】尺．
【解析】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，
依题意得：，
化简得：，
解得：，．
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，．
门高为尺，门宽为尺，
门的对角线长为尺．
答：门的对角线的长是尺．
设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答案．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，解题的关键是找到题目中的等量关系．
17.【答案】【小题】
解：设旗杆的高度为米，则为米，
在中，，
，
米，
，
解得：，
答：旗杆的高度为米；
【小题】
解：如图，过作于点，
，
，
四边形是矩形，
米，，
米，
由可知，米，
在中，，
根据勾股定理，得米，
米，
米，
答：小强后退的距离约为米．

【解析】
本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解；

如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得米，再由即可求解．
18.【答案】岛在港的北偏西．
【解析】解：如图，由题意可知，，，，，，
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
岛在港的北偏西．
由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后求出的度数，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及方向角等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】【小题】
解：设旗杆的高度为，则，
在中，，由勾股定理得：，
，
解得：，
答：旗杆的高度为．
【小题】
解：过作重为，
则，
四边形为长方形，
，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
答：小明需后退．

【解析】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解；

过作重为，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解．
20.【答案】海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
以台风中心为圆心周围以内包括为受影响区域，
海港受到台风影响；
台风影响海港持续的时间为小时
【解析】海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
以台风中心为圆心周围以内包括为受影响区域，
海港受到台风影响；
如图，当，时，正好影响海港，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
因为台风中心移动的速度为，
小时，
即台风影响海港持续的时间为小时．
利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积求出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据时间距离速度，即可得出结果．
本题考查了勾股定理的应用、三角形的面积计算、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
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