11.3乘法公式 华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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11.3乘法公式华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，用个相同的矩形与个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为，小正方形的面积为，我们用、表示小矩形的两边长请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有( )
；；；；．
A. B. C. D.
3.下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是( )
A. B. C. D.
4.张长为、宽为的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为若，则，满足的关系式是( )
A. B. C. D.
5.如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
6.在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积验证了公式的正确性下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是( )
A. B.
C. D.
7.下列乘法公式的运用中，正确的是．
A. B.
C. D.
8.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
9.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，根据计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知，，则 ．
12.已知是一个完全平方式，则 ．
13.若一个正方形的边长增加，它的面积增加，则原来这个正方形的边长是 ．
14.如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果、、对面的数分别为、、，则的值为
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求代数式的值．
16.本小题分
化简求值：，其中．
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
计算求值：
已知，，求的值．
已知，求的值．
19.本小题分
乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用一张种纸片、一张种纸片、两张种纸片拼成如图所示的大正方形．
请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积：方法： ；方法： ；
观察图，请你写出代数式，，之间的数量关系： ；
已知，求的值．
20.本小题分
动手操作：如图，将一个大长方形沿虚线剪开分成四个全等的小长方形，然后按照图所示拼成一个“回形”正方形．
问题探究：
观察图，请用两种不同的式子表示阴影部分的面积______，______；
观察图，三个代数式，，之间的等量关系为______；
问题解决：
根据中的等量关系，请解决问题：若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，可用完全平方公式计算，所以不选项正确；
B、，可用平方差公式计算，所以选项正确；
C、，可用完全平方公式计算，所以选项不正确；
D、，可用完全平方公式计算，所以选项不正确．
故选：．
根据平方差公式得到；而对、、进行变形可得到完全平方式．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，解答的关键是熟记两种公式的形式．
2.【答案】
【解析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断；再由和判断．
【详解】解：大正方形图案的面积为，小正方形的面积为，
大正方形边长为，小正方形边长为，
，，
故正确；
四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积，
，
，
故正确；
，
故正确；
，
故正确，
不正确的有个，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：不符合平方差公式，本选项错误，不符合题意；
B.不符合平方差公式，本选项错误，不符合题意；
C. 符合平方差公式，本选项正确，符合题意；
D.不符合平方差公式，本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据公式判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】提示：根据题意，得，因为，所以，所以因为，所以，所以．
5.【答案】
【解析】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，因此选项B符合题意；
图乙整体上是边长为的正方形，因此面积为，图乙中阴影部分的面积为，即，
，因此选项D不符合题意；
由，可得，，可得，
，因此选项A不符合题意；
，即，
，因此选项C不符合题意．
故选：．
根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景、完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：图形的面积看成，也可以看作，因此，不符合题意，故该选项错误；
B.图形的面积可以为，也可以看作，因此，不符合题意，故该选项错误；
C.图形的面积可以看作，也可以看作，因此，符合题意，故该选项正确；
D.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即
，因此，不符合题意，故该选项错误，
故选：．
根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键．
7.【答案】
【解析】A.，故不正确；
B.，故不正确；
C.，正确；
D.，故不正确故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
分别利用合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算和完全平方公式分别计算得出即可．
解：、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：大正方形的面积为，
中间的小正方形是边长为，则其面积为，
大正方形的面积为，
，即，
故选：．
大正方形是边长为的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的证明，全等图形，完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【详解】分析：根据正方形的面积边长为的正方形的面积两个长为，宽为的长方形的面积边长为的正方形的面积，即可解答．
详解：据题意得：．
故选B．
点睛：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．
11.【答案】
【解析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键．
先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可．
【详解】解：设，
则，
则，
，
，
则，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：是一个完全平方式，
，
．
故答案为：．
根据平方项确定出这两个式子，再根据完全平方公式列式进行计算，即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式，根据平方项确定出这两个式子是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设原来这个正方形的边长为厘米，
根据题意得：
，
，
，
，
，
，
故选：．
设原来正方形的边长为厘米，根据等量关系新正方形的面积原正方形的面积，得出方程，解答即可．
此题考查了完全平方公式的几何背景，找到两个正方形面积的等量关系式是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】本题主要考查了整式的混合运算化简求值问题．本题须先求出，，，再通过对要求的式子进行化简整理，代入相应的值即可求出结果．
【详解】解：正方体的每一个面上都有一个正整数，相对的两个面上两数之和都相等，
，
，，，
，
故答案为：．
15.【答案】解：
．
，原式．

【解析】略
16.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】本题主要考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则．
先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将的值代入计算可得答案．
17.【答案】
【解析】
．
．
根据平方差和完全平方公式以及合并同类项的方法计算即可；
先通分去掉小括号，再按照分式除法的运算法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式，分解因式的方法是解题的关键．
18.【答案】；

【解析】，
即，
，
，
，
即，
，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
；
，
，
，
，
．
根据，得，，进而得，，由解得，，继而可得的值；
根据得得，再根据平方根的意义得，由此即可出的值．
此题主要考查了解二元一次方程组，平方根的意义，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，理解平方根的意义，熟练掌握解二元一次方程组，幂的乘方的运算法则是解决问题的关键．
19.【答案】【小题】
【小题】

【小题】
令，
，
又，即

【解析】 解：第一种是利用正方形面积公式计算大正方形面积
第二种是利用四个小长方形面积和来计算大正方形面积。
故答案分别是 ；
解：由图可得：
解答与解析过程见答案
20.【答案】，；
或；
或
【解析】图中，阴影部分的面积可以表示为：或，
故答案为：，；
，或；
故答案为：，或；
由得，
将，代入，得：，
，
则，
即或．
第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
由面积相等可得等量关系为：；
利用中得出的关系式可求解．
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，平方根，熟练掌握以上知识点是关键．
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