12.1命题 定义 定理与证明 华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.1命题定义定理与证明华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.能说明命题“任何数的平方都大于”是假命题的一个反例可以是( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
3.下列命题正确的有( )
平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
垂直于弦的直线平分弦
平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 与直径不垂直的弦不能被该直径平分
平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.下列命题为真命题的是( )
A. 有理数和数轴上的点是一一对应的；
B. 任意一个无理数的绝对值都是正数；
C. 负数没有立方根；
D. 一个无理数乘以一个有理数结果一定是无理数．
5.关于直角三角形有如下两个命题：
如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比；
如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似．
下列说法正确的是( )
A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
6.下列命题是假命题的是( )
A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
7.下列命题正确的有( )
平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
垂直于弦的直线平分弦
平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
与直径不垂直的弦不能被该直径平分
平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.下列命题中，是真命题的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
9.下列命题是真命题的是( )
A. 如果，那么，都是正数
B. 三角形的外角大于内角
C. 如果两个三角形全等，那么它们的周长相等
D. 等腰三角形的角平分线与中线重合
10.下列命题的逆命题为假命题的是( )
A. 直角三角形的两个锐角互余
B. 有两边相等的三角形是等腰三角形
C. 全等三角形的面积相等
D. 到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果那么”的形式是______．
12.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是 ．
13.三角形三条中线的交点是三角形的重心，这个命题的逆命题是 ．
14.命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
命题：全等三角形的对应边上的高相等．
写成“如果，那么”：______；
根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
16.本小题分
如图，是射线上的一动点．
若，，则是__________三角形．
若为直角三角形，且，则的度数为__________．
如图，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________填“真命题”或“假命题”
17.本小题分
如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
求证：；
若命题“已知________，则”是真命题，请填空，并说明理由．
18.本小题分
命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
请将此命题改写成“如果那么”的形式：
如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程注明理由．
已知：如图，， 求证： ．
19.本小题分
如图，已知：，，，求的度数．
完成下面的证明过程：
证明：________，
________________________．
，________．
，
________．
20.本小题分
请在括号或横线上，填写下列命题的证明过程和推理的依据．
如图，已知与互补，求证：．
证明： ，
，
_______ ，
______________ ，
______________ ．
，
______________等量代换，
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了命题，反例的作用，解答本题的关键是掌握利用举反例说明命题的真假的思路与方法．
把每个选项中的值代入验证即可．
【解答】
解：当时，，反例不成立；
B.当时，，反例成立；
C.当时，，反例不成立；
D.当时，，反例不成立．
2.【答案】
【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意．
故选：．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，垂径定理及其推论，是基本知识的考查．利用一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦被平分的弦不是直径、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条即可判断．
【解答】
解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦被平分的弦不是直径、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条．
若该弦不是直径，满足平分优弧、平分劣弧两个条件，若该弦是直径，易知正确
只满足其中的一个条件，所以不正确
要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确，
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是定义与命题的有关知识．
直接利用数轴，无理数，绝对值，立方根的定义进行逐一分析即可．
【解答】
解：实数和数轴上的点是一一对应的，故A是假命题；
任意一个无理数的绝对值都是正数，故B是真命题；
负数有立方根，故C是假命题；
，故D是假命题．
5.【答案】
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，真假命题的概念，
根据相似三角形的性质和判定进行解答即可．
【详解】解：如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比，都等于相似比，是真命题；
如图，的边长分别为，，斜边，的边长分别为，，斜边，和分别为斜边上的高线，且，
由面积可得，，
，整理得，
，
，
，
或，
或即两个直角三角形的直角边之比相等，
两个直角三角形三角形相似，
如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似，是真命题；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识，难度不大．
利用平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意；
C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误，符合题意．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及命题的否定的应用，垂径定理及其推论，是基本知识的考查．利用一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦被平分的弦不是直径、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条即可判断．
【解答】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦被平分的弦不是直径、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条．
若该弦不是直径，满足平分优弧、平分劣弧两个条件，若该弦是直径，易知正确，所以正确
只满足其中的一个条件，所以不正确
要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确，
故选A．
8.【答案】
【解析】解：：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，选项为假命题；
：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项为假命题；
：同旁内角互补，两直线平行，选项为假命题；
：平行于同一条直线的两条直线互相平行，选项为真命题；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：分别根据实数的乘法、三角形外角的性质，全等三角形的性质定理对各选项进行逐一分析如下：
A、如果，那么，同号，，可以同为负数，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的外角不一定大于内角，例如钝角三角形，原说法错误，不符合题意；
C、如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，是真命题，符合题意；
D、等腰三角形的顶角平分线与底边中线重合，原说法错误，不符合题意．
故选：．
分别根据实数的乘法、三角形外角的性质，全等三角形的性质定理及等腰三角形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
B、逆命题是：等腰三角形的两条边相等，是真命题，不符合题意；
C、逆命题是：面积相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
D、逆命题是：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不符合题意．
故选：．
根先写出各命题的逆命题，再一一判断即可．
本题考查的命题与定理，涉及到角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等
【解析】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
把命题的条件写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．
本题考查了命题：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．
12.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题，据此求解即可．
【解答】
解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为两直线平行，同位角相等．
13.【答案】三角形的重心是三角形三条中线的交点
【解析】【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：这个命题：三角形三条中线的交点是三角形的重心，
故它的逆命题是三角形的重心是三角形三条中线的交点，
故答案为：三角形的重心是三角形三条中线的交点，
14.【答案】同位角相等
两直线平行

【解析】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．
故空中填：同位角相等；两直线平行．
由命题的题设和结论的定义进行解答．
命题由题设和结论两部分组成，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
15.【答案】解：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等．
已知：如图，≌，，．
求证：．
证明：≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】【分析】
寻找命题的题设和结论，即可解决问题；
写出已知，求证，利用全等三角形的判定方法证明即可．
本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
【解答】
解：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等．
见答案．
16.【答案】【小题】
解：，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【小题】
解：若，
；
若，
，
的度数为或．
故答案为：或．
【小题】
解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下：
，为的中点，
，
为线段的垂直平分线．
故答案为：真命题．

【解析】
本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论．
由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形；

或都有可能是，再求的度数；

由等腰三角形的性质推出，即可证明问题．
17.【答案】【小题】
证明：和是对顶角，
，
，
，
；
【小题】
解：已知，则，
理由如下：
，
，
，
，
，
故答案为：．

【解析】
本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键．
由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证；

由，得到同位角，由，得到同旁内角互补，即可得到答案．
18.【答案】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
，；
证明：如图：
，已知，
，垂直的定义，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】已知两直线平行，同位角相等 ，
证明：已知，
两直线平行，同位角相等．
，．
，
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】已知平角定义等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 已知 内错角相等，两直线平行
【解析】略
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