12.3等腰三角形 华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.3等腰三角形华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知平分，平分，，且过点若，，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.下列各组所述几何图形中，一定全等的是( )
A. 两个底边相等等腰三角形
B. 斜边相等的两个直角三角形
C. 两个等边三角形
D. 有一个角是，腰长相等的两个等腰三角形
4.如图，在中，，垂足为，是的角平分线，分别交，于点，其中正确的结论的个数为( )
；
是等边三角形；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.下列说法错误的是( )
A. 两个内角是的三角形为等边三角形
B. 等腰三角形的两个底角一定都是锐角
C. 三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等
6.如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点在上，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是( )
A. B. C. D.
10.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角 B. 等角对等边
C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一”
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，，将沿射线的方向平移个单位长度后得到，连接，则的周长为 ．
12.如图，已知点是射线上一动点即可在射线上运动，，当 时，为等腰三角形．
13.如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则 ．
14.如图，在中，，、分别是和的平分线，且，，则的周长是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，，求的度数．
16.本小题分
如图，在中，，交于点，交的延长线于点，交于点，且求证：．
17.本小题分
如图，已知和都是等边三角形．求证：．
18.本小题分
如图，在中，、分别是、边上的高，是的中点．
求证：是等腰三角形；
若，，求的长．
19.本小题分
已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点．
如图，若．
求的度数；
求证：；
如图，若，当时，求的值．
20.本小题分
如图，在中，，为内一点，，交的延长线于点，，．
求证：为等边三角形；
探究，与之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：、底边相等的两个等腰三角形的腰长不一定相等，因此底边相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
B、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，不符合题意；
C、两个等边三角形的对应边不一定相等，则这两个等边三角形不一定全等，不符合题意；
D、根据“”可以判定“有一个角是，腰长相等的两个等腰三角形”，符合题意．
故选：．
根据全等三角形的判定定理进行分析判断．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
，，
，
，
，，
，故错误；
，
，
，
，
即，
，
，，
，
，故正确；
即正确的个数是，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余求出，，求出，根据三角形的外角性质求出，再逐个判断即可．
本题考查了等边三角形的判定，角平分线性质，含度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、若两个内角是，则第三个角为：，即三个角均为，故此三角形为等边三角形，所以此说法正确，不符合题意；
B、等腰三角形底角相等，若底角为直角或钝角，那么三角形内角和超过，与三角形内角和定理矛盾，所以此说法正确，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，所以此说法错误，符合题意；
D、三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以此说法正确，不符合题意，
故选：．
根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线与垂直平分线的性质逐一判断即可得到答案．
本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】
解：、由作图可知，点在的垂直平分线上，
，故选项A正确；
B、由作图可知，平分，
，故选项B正确；
C、，，
，
，
，
，，
，故选项C正确；
D、由上，，，则，故选项D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理是解题的关键，由等边对等角得，结合三角形的外角性质得，进而构造方程，求解即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
解得，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
是的外角，
，
又，
，
，
，
．
故选：．
根据得，再根据三角形外角性质及已知条件证明，则，由此可得出的长．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形周长最值，根据已知条件等量代换得到周长最值的求法是解题关键．
先作，并求出的长，根据等边三角形的性质和旋转证明是等边三角形，最后根据等量代换得到周长的最值是，求出的最小值即可得到周长最小值．
【解答】
解：如图，作于，
是等边三角形，，
，，
在中，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
当最小，即时，的周长最小，
最小值．
故选C．
10.【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案．
【详解】解：，
是等腰三角形，
是的中点，
，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”
故选：．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】或或
【解析】若为等腰三角形，则有，和三种情况，当时，，所以；当时，；当时，故答案为或或．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】解：，，，．，．，．
【解析】略
16.【答案】证明：如图，过点作，交于点．，．，，．．．，在和中， ．．

【解析】略
17.【答案】证明：是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】略
18.【答案】证明：连接，
由条件可知，
，为直角三角形，
是的中点，
，
是等腰三角形；
解：，
且，
为等边三角形，
．
【解析】连接，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可证明结论；
证明是等边三角形即可求得结论．
本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
19.【答案】【小题】
解：解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
证明：延长交的延长线于，
，，，
，
，，，
又，，
，
，，
，
，
，
，
；
【小题】
解：如图中，连接，过点作于，在上取一点，使得，设，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，，
，
设，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】
由，，，可得，即得，而，故，可得，根据，可得，从而；
延长交的延长线于，由，，，得，有，，继而可得，得，即得；

连接，过点作于，在上取一点，使得，设，由，，得是等边三角形，而，，可得，，，，根据，有，又，知，，，，设，可得，，故，解得，则，根据，得，从而．
20.【答案】【小题】证明： ，
，
，，
，即，
，
为等边三角形；
【小题】
；
在上截取，连接．
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
．

【解析】 见答案
见答案
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