12.4逆命题和逆定理 华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.4逆命题和逆定理华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是( )
A. B. C. D.
2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是( )
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D. 不是等腰三角形的两个角不相等
3.对于命题“若，则”，能说明该命题的逆命题是假命题的的值可以是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，于点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.到三角形三个顶点距离相等的点是( )
A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点
6.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.下列各命题的逆命题是真命题的是( )
A. 等边三角形的三个内角都相等 B. 全等三角形的对应角相等
C. 若，，则 D. 对顶角相等
8.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路，，两两相交围成的一块平地上修建一个度假村要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
9.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为点，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( )
A. B.
C. D. 平分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是 ；该逆命题是 命题填“真”或“假”．
12.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ．
13.如图，，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点．连接，，，，则四边形的面积为 ．
14.下列命题中，其逆命题成立的是 填序号．同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们度数相等；如果两个数相等，那么它们的平方相等．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，．
用圆规和直尺在边上作点，使点到，的距离相等；保留作图痕迹
若的点到，的距离相等，求的度数．
16.本小题分
如图，在中，平分，且平分于点，于点，交的延长线于点．
求证：；
如果，，求的长．
17.本小题分
尺规作图不写作法，保留作图痕迹
如图，在边找一点，使得点到边、距离相等；
如图，找一点，使得点到的三个顶点距离相等．
18.本小题分
如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件：
附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出 填“角平分线”或“垂直平分线”．
点到两条道路的距离相等，需要作出 填“角平分线”或“垂直平分线”．
请在图中利用尺规作图保留作图痕迹，不写作法，确定点的位置．
19.本小题分
如图，与是两个居住社区，与是两条交汇的公路，欲建立一个超市，使它到、两个社区的距离相等，且到两条公路、的距离也相等请用尺规作图保留作图痕迹，确定超市的位置．
20.本小题分
如图，已知中边的垂直平分线与的平分线交于点，交的延长线于点，交于点．
求证：；
若，，求的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】 过点作于点，如图，
，，，
和分别平分和，，，，，，，，，即点到的距离是故选C．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】命题“若，则”的逆命题：若，则 当时，成立，不成立．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
．
故选：．
连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得≌，则可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】解：角平分线上的点到角两边的距离相等，
度假村应建在三条角平分线的交点处．
故选：．
角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
本题考查三角形的重心，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
．
故选：．
连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得≌，则可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：点在上，
，
，
，
，
，
故A不符合题意；
，
，
与点所在的位置没有关系，
由不能说明，
故B符合题意；
，，
，
故C不符合题意；
，平分，
，
故D不符合题意，
故选：．
由，且，求得，则，可判断不符合题意；由，得，可知由不能说明，可判断符合题意；由，，根据等腰三角形的“三线合一”得，可判断不符合题意；由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂直的定义、“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确理解和运用等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】周长相等的两个三角形是全等三角形
假

【解析】“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形是全等三角形”，因为周长相等的两个三角形不一定全等，所以该命题是假命题．
12.【答案】有两个内角相等三角形是等腰三角形
【解析】原命题的条件是一个三角形是等腰三角形，结论是这个三角形的两底角相等，
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可．
【详解】同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题．
所以，逆命题成立的是；
故答案为：
15.【答案】

【解析】如图，作线段的垂直平分线，交于点．
则点即为所求；
由题意，得，
．
，
，
，
．
．
作线段的垂直平分线，交于点，得；
由角平分线判定定理得由等边对等角，得，于是，得．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
16.【答案】连接、，
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

【解析】证明：连接、，
，，平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由知，
在和中
，
≌，
，
，
，
，
．
连接、，由角平分线性质得，根据垂直平分线性质可得，再证明≌，即可得出结论；
由得出，证明≌，则，又，代入可求解．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
17.【答案】

【解析】如图：
以为圆心画圆弧与、分别交于、，以、分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，
点到边、距离相等，点即为所求；
如图：
以、为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于、，连接；
以、为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于、，连接；
和交于，点到的三个顶点距离相等，即为所求点．
作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点；
作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点．
本题考查了作图角平分线的作法、作图线段垂直平分线的作法，正确作出图形是解题的关键．
18.【答案】【小题】
垂直平分线
【小题】
角平分线
【小题】
解：如图所示，点即为所求．

【解析】
根据线段垂直平分线的性质即可求解；
【详解】解：附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；

根据角平分线的性质即可求解；
解：点到两条道路的距离相等，需要作出角平分线，
故答案为：角平分线；

分别作线段的垂直平分线和的角平分线，相交于点，点即为所求；
本题考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质及作图，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，点即为所求；

【解析】根据题意做出的垂直平分线和的角平分线交于点，即为所求．
此题考查了作图应用与设计作图，角平分线和垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20.【答案】证明：连接和，
是的垂直平分线，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
．
【解析】根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出≌即可；
由“”可证≌，可得，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
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