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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第一章：直角三角形的边角关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在中，，，，那么的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（本题3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如果△ABC的、满足，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）在△ABC，已知、都是锐角，，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
7．（本题3分）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米
8．（本题3分）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．（本题3分）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在中，，，，则的长为 ．
12．（本题3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ．
13．（本题3分）在实数，0，中，无理数的个数是 ．
14．（本题3分）已知，，则的度数为 ．
15．（本题3分）在中，，则 ， ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本题7分）如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（1）中，作出，使得且点C在格点上；
(2)在图（2）中，作出，使得且点P在格点上．
18．（本题8分）在中，是的对边，是的对边，是的对边．
(1)若，，，求和的度数；
(2)若，，，求和的度数．
19．（本题8分）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？
20．（本题8分）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度．
21．（本题9分）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求：
(1)车架的长；
(2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，）
22．（本题9分）如图，网格中每个小正方形的边长为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以为边的菱形，点C和点D均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为5；
(2)在图中画出以为边的锐角，点G在小正方形的顶点上，且；
(3)连接，请直接写出线段的长．
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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第一章：直角三角形的边角关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点A作于点D，
根据题意得：，，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
2．（本题3分）如图，在中，，，，那么的值为（ ）
A． B．2 C． D．
解：在中，，，，由勾股定理，得
．
由锐角的余弦，得．
故选：C．
3．（本题3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由图可得，，，
∴，
∴．
故选：D．
4．（本题3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是有限的小数，不是无理数，故A不符合题意；
B、是整数，不是无理数，故B不符合题意；
C、是无理数，故C符合题意；
D、为整数，不是无理数，故D不符合题意；
故选：C．
5．（本题3分）如果△ABC的、满足，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，，
∴，，
∵、是的内角，
∴，，
由三角形内角和定理，得，
故选：D．
6．（本题3分）在△ABC，已知、都是锐角，，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
解：由题意得：，
∴；
∴、；
∴；
∴△ABC是直角三角形；
故选：B
7．（本题3分）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米
解：在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
8．（本题3分）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得，米，，
，
，
解得：，
（米），
（米），
故选：A
9．（本题3分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
解：迎水坡的坡比，，
堤高米，（米）．
故选：C．
10．（本题3分）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点A作于点D，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：C
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在中，，，，则的长为 ．
解：∵，
∴
故答案为： 6．
12．（本题3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ．
解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上，
由图可得，
故答案为：．
13．（本题3分）在实数，0，中，无理数的个数是 ．
解：，0是整数，是分数，是有限小数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，
故答案为：2个．
14．（本题3分）已知，，则的度数为 ．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）在中，，则 ， ．
解：∵在中，，
∴，
∴，．
故答案为：，．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）．
（2） ，
当时，原式．
17．（本题7分）如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（1）中，作出，使得且点C在格点上；
(2)在图（2）中，作出，使得且点P在格点上．
解（1）无刻度的直尺以A为顶点，从A出发，向右数4个格，再向下数2个格，确定一个格点C，连接，设网格中每个小正方形的边长为1，与所在直角三角形的直角边长度均为，，根据勾股定理可得，，即，所以是等腰直角三角形，所以，如图，即为所求：
（2）以A为顶点，通过观察网格，找到合适的格点，从A出发，向右数1个格，再向下数1个格，确定一个格点P，连接，，，，即，因此是直角三角形，满足，如图，即为所求：
18．（本题8分）在中，是的对边，是的对边，是的对边．
(1)若，，，求和的度数；
(2)若，，，求和的度数．
（1）解：如图，
∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，
∴．
19．（本题8分）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？
（1）解：不能穿过，理由如下：
如图，过作于，
设，
，，，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得：(米)(米)，
不会穿过古建筑保护群；
（2）设原计划每天完成修建a米公路，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天完成修建米公路．
20．（本题8分）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度．
解：过点作，垂足为，
∵是的一个外角，，，
∴，
∵，
∴米，
在中，（米），
∴该主塔的高度是米．
21．（本题9分）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求：
(1)车架的长；
(2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，）
（1）解：
，
即，
（cm），
答：车架的长约为45cm．
（2）解：过点作于点，如图．
在中，
，
，得：，
答：车座点到车架的距离约为63cm．
22．（本题9分）如图，网格中每个小正方形的边长为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以为边的菱形，点C和点D均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为5；
(2)在图中画出以为边的锐角，点G在小正方形的顶点上，且；
(3)连接，请直接写出线段的长．
（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：由图可知．
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