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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1.1 锐角三角函数
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：，，，
，
，
，
，
，
，.
故选：B．
2．（本题3分）如图所示，在△ABC中，若∠B=90 ，，，则（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
∵∠B=90 ，，，
∴，
∴．
故选：A．
3．（本题3分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：连接，如图所示，
由网格可知，，
，
故选：B．
4．（本题3分）在中，，如果，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．
解：∵在中，，如果，
∴，
故选：A．
5．（本题3分）在中，，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：D．
6．（本题3分）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
解：在中，，，，
则，
故选：B．
7．（本题3分）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
解：根据网格可得：
，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：C．
8．（本题3分）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设，
四边形，和都是正方形，
，，，，，
，
，
，
设，则，
，
在和中
，
，，，故选：C．
9．（本题3分）在△ABC中，，如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，
∴，
故选：A．
10．（本题3分）如图，在△ABC中，是边上的高，已知．下列线段中，则与的比值相等的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即C选项符合题意．
故选C．
11．（本题3分）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：，，，
，
故选：B．
12．（本题3分）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵（），
∴，
当时，正弦值是随着角的增大而增大，
∴
∴，
故选：C．
二、填空题（共12分）
13．（本题3分）在中，于，且，则 ．
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为 ．
解：如图，连接，
由图可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（本题3分）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ．
解：在中，
∵，，
∴．
∵M是的中点，
∴，
故答案为3
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ．
解：∵点的坐标为，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为；8．
三、解答题（共52分）
17．（本题7分）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上．
(1)求曲线的解析式；
(2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值．
（1）解：将代入得：；
求得：；
∴；
将代入得：，
求得：；
∴；
（2）解：由（1）可得：；
∵直线和直线平行，
∴直线的解析式为：；
联立与得：；
∴轴，且；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴；
作，如图所示：
则；
∵，，
∴；
∴；
18．（本题8分）如图，是平行四边形的一条对角线．
(1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；
(3)在的条件下，若，，且，则的长为______．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：四边形是菱形．理由如下，
直线是线段的垂直平分线，
，，．
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是菱形，
，，，，
，
．
过点作于点，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
19．（本题8分）如下图，在△ABC中，于点．若为的中点，求的值．
解：．
，．
为的中点，，
，
．
20．（本题9分）如图，已知△ABC的三条边，，，满足，且，．
(1)求，，的值．
(2)求的面积．
（1）解：∵
设，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
；
（2）解：过点C作交于点D，如图，
在中，，
由（1）知，，，
∴，解得，
∴．
21．（本题10分）如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点．
(1)求证；
(2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明．
①；②；③．
（1）证明：∵，
∴；
∵点为的中点．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴；
（2）解：由（1）可知：，
若为的中点，为的中点，
则，
∴四边形是平行四边形；
若选②③：
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
∵，，
∴，
∴；
∴是等腰直角三角形；
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
若选①②：
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵为的中点，
∴四边形是正方形；
若选①③；
∵，，
∴，
∴，
又∵为的中点，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
根据三角函数定义，∴为直角三角形，且，
∵为的中点，
∴，
∴四边形是正方形．
22．（本题10分）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)证明：；
(3)当时，求四边形的面积及线段的长．
（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，为等边三角形，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
在中，，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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§1.1 锐角三角函数
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图所示，在△ABC中，若∠B=90 ，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（本题3分）在中，，如果，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（本题3分）在中，，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．（本题3分）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）在△ABC中，，如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在△ABC中，是边上的高，已知．下列线段中，则与的比值相等的是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共12分）
13．（本题3分）在中，于，且，则 ．
14．（本题3分）如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ．
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ．
三、解答题（共52分）
17．（本题7分）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上．
(1)求曲线的解析式；
(2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值．
18．（本题8分）如图，是平行四边形的一条对角线．
(1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；
(3)在的条件下，若，，且，则的长为______．
19．（本题8分）如下图，在△ABC中，于点．若为的中点，求的值．
20．（本题9分）如图，已知△ABC的三条边，，，满足，且，．
(1)求，，的值．
(2)求的面积．
21．（本题10分）如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点．
(1)求证；
(2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明．
①；②；③．
22．（本题10分）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)证明：；
(3)当时，求四边形的面积及线段的长．
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