北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元高频题（含解析）

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北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元高频题
一．选择题（共8小题）
1．如果α是锐角，且sinα，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
4．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30°
B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30°
D．cos43°＞sin30°＞cos16°
5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
6．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
7．计算：cos245°+sin245°＝（　　）
A． B．1 C． D．
8．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
二．填空题（共4小题）
9．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 　 　 ．
10．若tan（x+10°）＝1，则锐角x的度数为　 　 ．
11．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　 　 ，tan∠APD的值＝　 　 ．
12．规定sin（α﹣β）＝sinα cosβ﹣cosα sinβ，则sin15°＝　 　 ．
三．解答题（共15小题）
13．计算：
（1）2sin30°+3tan45°﹣2cos60°；
（2）2．
14．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
15．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
16．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．如图，AD是△ABC的中线，tanB，cosC，AC．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
18．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73）
19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
20．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
21．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
22．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
23．计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
24．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
25．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
26．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414，1.732）
27．小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元高频题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A B B A
一．选择题（共8小题）
1．如果α是锐角，且sinα，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，，
∴cos（90°﹣α）＝sinα．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．
2．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据非负数的性质得出cosA，tanB＝1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
【解答】解：由题意得，cosA，tanB＝1，
则∠A＝30°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC，AC，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30°
B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30°
D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；
再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律．
5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解答】解：sin∠A，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
6．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30m，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30m，
∴AE＝BEAB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CEBE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝（30+10）km，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．
7．计算：cos245°+sin245°＝（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】首先根据cos45°＝sin45°，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°＝sin45°，
∴cos245°+sin245°
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
8．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i可设CQ＝4x米、BQ＝3x米，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11米，由AP结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．
【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2米，CQ＝PE，
∵i，
∴设CQ＝4x米、BQ＝3x米，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则CQ＝PE＝8米，BQ＝6米，
∴DP＝DE+PE＝11米，
在Rt△ADP中，∵AP13.1（米），
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米），
故选：A．
【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题）
9．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 　　 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
10．若tan（x+10°）＝1，则锐角x的度数为　20°　 ．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．
【解答】解：∵tan（x+10°）＝1，
∴tan（x+10°），
∴x+10°＝30°，
∴x＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．
11．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　3　 ，tan∠APD的值＝　2　 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴3，
连接BE，与CD的交点为F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为：3，2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
12．规定sin（α﹣β）＝sinα cosβ﹣cosα sinβ，则sin15°＝　　 ．
【分析】令α＝45°，β＝30°，然后代入即可得出答案．
【解答】解：令α＝45°，β＝30°，
则sin15°
．
故答案为：．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，题目比较新颖，解答本题的关键是正确的给α和β赋值，注意掌握赋值法的应用．
三．解答题（共15小题）
13．计算：
（1）2sin30°+3tan45°﹣2cos60°；
（2）2．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝23×1﹣21+3﹣1＝3；
（2）原式＝2111．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式（）2
3
．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
15．计算：（﹣4）﹣12cos30°．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意||，（﹣4）﹣1，（）0＝1．
【解答】解：原式1﹣2．
【点评】本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a﹣p．任何不等于0的数的0次幂是1．
16．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度”进行解答即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．
在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD tan37°≈9×0.75＝6.75（米）．
所以，AB＝AD+BD＝15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25＝13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
17．如图，AD是△ABC的中线，tanB，cosC，AC．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，求出BH即可解决问题；
（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC，AC，
∴CH＝1，AH1，
在Rt△ABH中，∵tanB，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD
在Rt△ADH中，sin∠ADH．
∴∠ADC的正弦值为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．
18．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73）
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OCAC＝4（km），在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB＝OC＝4km，于是得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AOAC（km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OCAC＝4（km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4（km），
∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，
∴飞船从A处到B处的平均速度0.3（km/s）．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．
【解答】解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i：3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD10米，
∴AD＝BD﹣AB＝（1010）米≈7.32米，
∵3+7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
20．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
【分析】（1）直接在Rt△CDE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可得到答案；
（2）①分别在Rt△DCE和Rt△BCA中求出EC和CA的长，即可求解；②过点D作DF⊥AB，垂足为F．则四边形DEAF是矩形．得出，可得BF＝（h﹣15）m．在Rt△BDF中，利用BF＝DF tan∠BDF，列式求解即可．
【解答】解：（1）∠DEC＝90°，∠DCE＝30°，CD＝30m，
∴DECD30＝15（m）；
答：DE的长为15m；
（2）①在Rt△DCE中，，
∴．
在Rt△BCA中，，
∴．
∴．即EA的长为．
②如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．
由题意得：∠AED＝∠FAE＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形．
∴．
∴BF＝AB﹣FA＝（h﹣15）m．
在Rt△BDF中，，
∴BF＝DF tan∠BDF，
∴．
∴．
答：塔AB的高度约为56m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
21．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG．
故四边形EGHD是矩形．
∴ED＝GH．
在Rt△ADH中，
AH＝DH÷tan∠DAH＝10÷tan45°＝10（米）．
在Rt△FGE中，
i，
∴FGEG＝10（米）．
∴AF＝FG+GH﹣AH＝103﹣10＝（107）（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF为（107）米；
（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长
（3+107）×10×500
＝（2500010000）（立方米）．
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（107）米；
（2）完成这项工程需要土石（2500010000）立方米．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
22．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【分析】首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，
∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，
∴设EF＝x，则FCx，
∵CE＝20米，
∴x2+（x）2＝400，
解得：x＝10，
则FC＝10m，
∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，
∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10（35+10）m，
答：建筑物AB的高为（35+10）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
23．计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
＝42
＝2﹣1﹣1
．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
24．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
【分析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．
（2）只需计算出CA的高度即可求出楼层数．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，
tan32.3°，
∴PE＝x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，
tan55.7°，
∴PF＝x tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°＝42，
解得：x＝50
∴楼间距AB＝50m，
（2）由（1）可得：PE＝50 tan32.3°＝31.5m，
∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m
由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属于中等题型．
25．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】利用平角定义先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414，1.732）
【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．
【解答】解：由题意得，AH＝10米，BC＝10米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，
∴AB＝BC＝10，
在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，
∴DB10，
∴DH＝AH﹣AD＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣1010＝20﹣102.7（米），
∵2.7米＜3米，
∴该建筑物需要拆除．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
27．小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过F作FH⊥DE于H，
∴∠FHC＝∠FHD＝90°，
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FHDF＝15，DHDF＝15（cm），
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15（cm），
∴（cm），
∵CE：CD＝1：3，
∴DECD＝（20+20）（cm），
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（40+40）cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AGAC＝（2020）（cm），
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（2020）cm．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
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