浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·杭州期中）命题“”的否定形式是（ ）（其中为常数）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·杭州期中）设， 则 “”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·杭州期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3
5．（2024高一上·杭州期中）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．（2024高一上·杭州期中）已知，则的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·杭州期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资 薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过3000元的部分 3%
超过3000元至12000元的部分 10%
超过12000元至25000元的部分 20%
有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元
A．1200 B．1040 C．490 D．400
8．（2024高一上·杭州期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
9．（2024高一上·杭州期中）下列各组函数中，表示同一函数的是
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024高一上·杭州期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
11．（2024高一上·杭州期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．当时，
12．（2024高一上·杭州期中）若，则 ．
13．（2024高一上·杭州期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 .
14．（2024高一上·杭州期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ．
15．（2024高一上·杭州期中）（1）求值：；
（2）已知，求值：.
16．（2024高一上·杭州期中）已知集合， .
（1）若，求；
（2）设；， 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·杭州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论.
18．（2024高一上·杭州期中）新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
19．（2024高一上·杭州期中）已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】明确集合的表示形式，集合是绝对值不等式且元素为整数的集合，需先求解绝对值不等式并结合整数条件确定集合的元素；集合是简单的区间表示的集合.根据交集的定义，找出同时属于集合和集合的元素，从而得到.
2．【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定形式是“”.
故答案为：D.
【分析】全称命题的否定是特称命题，需要将全称量词“”改为存在量词“”，同时否定原命题的结论.明确原命题是全称命题，然后按照全称命题否定的规则来得到其否定形式.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如.故答案为：A.
【分析】判断“”是“”的什么条件，需分别验证充分性和必要性。充分性是由“”能否推出“”；必要性是由“”能否推出“”.
4．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点，
则，又，
则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，点C在幂函数图像上，
则曲线对应的指数分别为
故答案为：D.
【分析】幂函数在第一象限的单调性与的取值有关.当时，函数在第一象限单调递增，且越大，递增速度越快；当时，函数在第一象限单调递减.通过观察图象、、的单调性和增长速度，结合特殊值法来确定的值.
5．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故答案为：C.
【分析】用指数函数的单调性比较和的大小，再利用幂函数的单调性比较和的大小，从而得出、、的大小关系.
6．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，解得，
所以，
则，.
故答案为：B.
【分析】通过换元法求出的表达式，进而得到的解析式，再将替换为，求出的解析式，同时要注意换元过程中变量的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：元，其中有3000元应纳税3%，元应纳税10%，所以一共纳税元.
故答案为：C
【分析】算出应纳税所得额，再根据分段计税的规则，将应纳税所得额按不同税率对应的区间分段，分别计算各段的纳税额，最后将各段纳税额相加，得到总的纳税额.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知：函数是幂函数，
则或，
又对任意的且，满足，
所以函数为的增函数，故，
所以，又，所以为单调递增的奇函数，
由，则，所以，则
故答案为：B
【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再依据函数在上的单调性确定的具体值，从而得到函数的表达式，接着判断函数的奇偶性与单调性，最后结合的条件，利用函数性质分析的取值情况.
9．【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A：，定义域为，化简得.，
定义域为，化简得. 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数.
B：，定义域为.，定义域为，化简得.
定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
C：对于，要使根式有意义，需且，
即定义域为，化简得. ，定义域为.定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
D： ，化简得. 对应关系不同，不是同一函数.
故答案为：BC.【分析】判断两个函数是否为同一函数，需要从定义域和对应关系两方面进行分析.对于每个选项，分别求出两个函数的定义域，再化简对应关系，看是否完全一致.
10．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B：，
，所以本命题是真命题；
选项C：，
，所以本命题是真命题；
选项D： 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故答案为：BC．
【分析】1. 对选项A，通过特殊值验证.
2. 对选项B、C，依据不等式“乘负数变向”等性质，推导不等关系.
3. 对选项D，用特殊值，验证.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、中，令得，
令得，所以，故A正确；
B、中，令得，解得，
中，令得，所以为奇函数，故B正确；
C、由得，即，
由时，，知，
即，所以在R上单调递增，故C错误；
D、 由A知，，
又，所以，又因为在R上单调递增，所以，故D正确。
故答案为：ABD。
【分析】A、赋值得，，；B、先赋值得到，令得；C、令，且，结合时，，得在R上递增；D、变形得到，又，故，由函数单调性可判断D。
12．【答案】9
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】分段函数求值需‘先判断自变量所在区间，再代入对应解析式’，对于复合函数，遵循‘从内到外’的顺序，先求内层，再求外层内层结果，体现了分段函数与复合函数求值的“区间判断+分步计算”思路.
13．【答案】16
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【解答】解：因为且过定点，则，，
若且，则 ，
当且仅当 且，即， 时取等号．
所以的最小值为16.
故答案为：16.
【分析】确定指数函数过的定点，得到、的值，得出的值，用基本不等式“1的代换”法求的最小值.找定点，再构造可应用基本不等式的形式.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：根据题意函数的图象对称中心为，
设，则为奇函数，
则，
所以，
得，
即，即，
则有，所以.
故答案为：.
【分析】根据函数图象中心对称的条件，构造奇函数，利用奇函数的性质，展开等式后通过对比系数求出和的值，进而计算.
15．【答案】解：（1）原式.
（2）由，而，
则，
故.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）用指数的运算性质，包括负指数幂、零指数幂、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法等规则，对各项分别化简后再进行计算.
（2）已知的值，通过完全平方公式逐步求出和的值，再代入式子计算.
16．【答案】解：（1） 当时，
因为，所以.
（2）；， 若是的充分不必要条件，则是的真子集，
由可得：，方程的两根为和，
当时，，此时不符合题意；
当时，，此时不符合题意；
当时，，若是的真子集，则，解得：，
所以实数的取值范围为.
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入集合的不等式，求解得到集合，再根据交集的定义求出.
（2）由充分不必要条件得出是的真子集，先对集合的不等式因式分解，然后分情况讨论与的大小关系，确定集合，再根据真子集的条件列出不等式组求解的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为是定义在的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，所以.
（2）解：在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，
则，即，
即函数在上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）用奇函数性质，再通过设，将其转化为，代入已知时的解析式，结合奇函数定义求出时的解析式，从而得到在上的解析式.
（2）根据函数单调性的定义，在内任取两个自变量、，比较与的大小，判断单调性.
（1）因为是定义在的奇函数，所以，
当时，，
所以当时，则，则，则，
所以.
（2）在上单调递减，
证明如下：
设，则
，
因为，所以，
则，即，
即函数在上单调递减.
18．【答案】解：（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，
政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，公司生产防护服的利润
；
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；
即在上恒成立；
因为，
令，因为，所以，
记，任取，
则
，因为，，所以，即，
所以，即，所以函数在上单调递增；
因此，即的最大值为；
所以只需，即.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据利润的计算公式，利润等于收入减去成本，这里的收入包括政府.补贴和收购款，成本是生产投入成本，据此列出利润关于补贴的函数.
（2）使公司不产生亏损，即利润非负，将其转化为关于的不等式恒成立问题，通过对不等式右边的函数进行变形，利用换元法和函数单调性求出最大值，进而确定的取值范围.
19．【答案】（1）解： 由题意得恒成立，得恒成立，
即，解得．
（2）解：当，当，
由题意得，∴，得，此时对称轴为，
故，即，
得或，
综上可得．
（3）解： 由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；二次函数模型
【解析】【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为二次函数恒大于的问题，利用判别式求解的范围.
（2）把条件转化为两个函数值域的包含关系，结合二次函数的对称轴和单调性确定的范围.
（3）化简不等式，构造函数，再根据函数的最值求解的范围.
（1）由题意得恒成立，
得恒成立，即
解得．
（2）当，当，
由题意得
∴得，
此时对称轴为，
故，即得或，
综上可得．
（3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．
1 / 1浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】明确集合的表示形式，集合是绝对值不等式且元素为整数的集合，需先求解绝对值不等式并结合整数条件确定集合的元素；集合是简单的区间表示的集合.根据交集的定义，找出同时属于集合和集合的元素，从而得到.
2．（2024高一上·杭州期中）命题“”的否定形式是（ ）（其中为常数）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定形式是“”.
故答案为：D.
【分析】全称命题的否定是特称命题，需要将全称量词“”改为存在量词“”，同时否定原命题的结论.明确原命题是全称命题，然后按照全称命题否定的规则来得到其否定形式.
3．（2024高一上·杭州期中）设， 则 “”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如.故答案为：A.
【分析】判断“”是“”的什么条件，需分别验证充分性和必要性。充分性是由“”能否推出“”；必要性是由“”能否推出“”.
4．（2024高一上·杭州期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点，
则，又，
则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，点C在幂函数图像上，
则曲线对应的指数分别为
故答案为：D.
【分析】幂函数在第一象限的单调性与的取值有关.当时，函数在第一象限单调递增，且越大，递增速度越快；当时，函数在第一象限单调递减.通过观察图象、、的单调性和增长速度，结合特殊值法来确定的值.
5．（2024高一上·杭州期中）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故答案为：C.
【分析】用指数函数的单调性比较和的大小，再利用幂函数的单调性比较和的大小，从而得出、、的大小关系.
6．（2024高一上·杭州期中）已知，则的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，解得，
所以，
则，.
故答案为：B.
【分析】通过换元法求出的表达式，进而得到的解析式，再将替换为，求出的解析式，同时要注意换元过程中变量的取值范围.
7．（2024高一上·杭州期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资 薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过3000元的部分 3%
超过3000元至12000元的部分 10%
超过12000元至25000元的部分 20%
有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元
A．1200 B．1040 C．490 D．400
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：元，其中有3000元应纳税3%，元应纳税10%，所以一共纳税元.
故答案为：C
【分析】算出应纳税所得额，再根据分段计税的规则，将应纳税所得额按不同税率对应的区间分段，分别计算各段的纳税额，最后将各段纳税额相加，得到总的纳税额.
8．（2024高一上·杭州期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知：函数是幂函数，
则或，
又对任意的且，满足，
所以函数为的增函数，故，
所以，又，所以为单调递增的奇函数，
由，则，所以，则
故答案为：B
【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再依据函数在上的单调性确定的具体值，从而得到函数的表达式，接着判断函数的奇偶性与单调性，最后结合的条件，利用函数性质分析的取值情况.
9．（2024高一上·杭州期中）下列各组函数中，表示同一函数的是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A：，定义域为，化简得.，
定义域为，化简得. 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数.
B：，定义域为.，定义域为，化简得.
定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
C：对于，要使根式有意义，需且，
即定义域为，化简得. ，定义域为.定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
D： ，化简得. 对应关系不同，不是同一函数.
故答案为：BC.【分析】判断两个函数是否为同一函数，需要从定义域和对应关系两方面进行分析.对于每个选项，分别求出两个函数的定义域，再化简对应关系，看是否完全一致.
10．（2024高一上·杭州期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B：，
，所以本命题是真命题；
选项C：，
，所以本命题是真命题；
选项D： 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故答案为：BC．
【分析】1. 对选项A，通过特殊值验证.
2. 对选项B、C，依据不等式“乘负数变向”等性质，推导不等关系.
3. 对选项D，用特殊值，验证.
11．（2024高一上·杭州期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、中，令得，
令得，所以，故A正确；
B、中，令得，解得，
中，令得，所以为奇函数，故B正确；
C、由得，即，
由时，，知，
即，所以在R上单调递增，故C错误；
D、 由A知，，
又，所以，又因为在R上单调递增，所以，故D正确。
故答案为：ABD。
【分析】A、赋值得，，；B、先赋值得到，令得；C、令，且，结合时，，得在R上递增；D、变形得到，又，故，由函数单调性可判断D。
12．（2024高一上·杭州期中）若，则 ．
【答案】9
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】分段函数求值需‘先判断自变量所在区间，再代入对应解析式’，对于复合函数，遵循‘从内到外’的顺序，先求内层，再求外层内层结果，体现了分段函数与复合函数求值的“区间判断+分步计算”思路.
13．（2024高一上·杭州期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 .
【答案】16
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【解答】解：因为且过定点，则，，
若且，则 ，
当且仅当 且，即， 时取等号．
所以的最小值为16.
故答案为：16.
【分析】确定指数函数过的定点，得到、的值，得出的值，用基本不等式“1的代换”法求的最小值.找定点，再构造可应用基本不等式的形式.
14．（2024高一上·杭州期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：根据题意函数的图象对称中心为，
设，则为奇函数，
则，
所以，
得，
即，即，
则有，所以.
故答案为：.
【分析】根据函数图象中心对称的条件，构造奇函数，利用奇函数的性质，展开等式后通过对比系数求出和的值，进而计算.
15．（2024高一上·杭州期中）（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】解：（1）原式.
（2）由，而，
则，
故.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）用指数的运算性质，包括负指数幂、零指数幂、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法等规则，对各项分别化简后再进行计算.
（2）已知的值，通过完全平方公式逐步求出和的值，再代入式子计算.
16．（2024高一上·杭州期中）已知集合， .
（1）若，求；
（2）设；， 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】解：（1） 当时，
因为，所以.
（2）；， 若是的充分不必要条件，则是的真子集，
由可得：，方程的两根为和，
当时，，此时不符合题意；
当时，，此时不符合题意；
当时，，若是的真子集，则，解得：，
所以实数的取值范围为.
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入集合的不等式，求解得到集合，再根据交集的定义求出.
（2）由充分不必要条件得出是的真子集，先对集合的不等式因式分解，然后分情况讨论与的大小关系，确定集合，再根据真子集的条件列出不等式组求解的取值范围.
17．（2024高一上·杭州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论.
【答案】（1）解：因为是定义在的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，所以.
（2）解：在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，
则，即，
即函数在上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）用奇函数性质，再通过设，将其转化为，代入已知时的解析式，结合奇函数定义求出时的解析式，从而得到在上的解析式.
（2）根据函数单调性的定义，在内任取两个自变量、，比较与的大小，判断单调性.
（1）因为是定义在的奇函数，所以，
当时，，
所以当时，则，则，则，
所以.
（2）在上单调递减，
证明如下：
设，则
，
因为，所以，
则，即，
即函数在上单调递减.
18．（2024高一上·杭州期中）新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
【答案】解：（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，
政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，公司生产防护服的利润
；
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；
即在上恒成立；
因为，
令，因为，所以，
记，任取，
则
，因为，，所以，即，
所以，即，所以函数在上单调递增；
因此，即的最大值为；
所以只需，即.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据利润的计算公式，利润等于收入减去成本，这里的收入包括政府.补贴和收购款，成本是生产投入成本，据此列出利润关于补贴的函数.
（2）使公司不产生亏损，即利润非负，将其转化为关于的不等式恒成立问题，通过对不等式右边的函数进行变形，利用换元法和函数单调性求出最大值，进而确定的取值范围.
19．（2024高一上·杭州期中）已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解： 由题意得恒成立，得恒成立，
即，解得．
（2）解：当，当，
由题意得，∴，得，此时对称轴为，
故，即，
得或，
综上可得．
（3）解： 由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；二次函数模型
【解析】【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为二次函数恒大于的问题，利用判别式求解的范围.
（2）把条件转化为两个函数值域的包含关系，结合二次函数的对称轴和单调性确定的范围.
（3）化简不等式，构造函数，再根据函数的最值求解的范围.
（1）由题意得恒成立，
得恒成立，即
解得．
（2）当，当，
由题意得
∴得，
此时对称轴为，
故，即得或，
综上可得．
（3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．
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