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北师大版九年级上学期期中模拟数学试题（范围：第1-4章）
（考试范围：第一章-第四章）
考试时间：100分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
2．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设正方形边长为，则，
正方形内接于，上的高，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】设正方形边长为，由正方形四边相等得，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EDNP是矩形，由矩形的对边相等得出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，解出的值即可.
3．（2024九上·金沙期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，
依题意可列表格如下，
小霞 小艺 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种，
∴她们恰好选到同一类岗位的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
4．（2023九上·株洲期中）如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AB被截成三等分，
∴AB=3AE，AF=2AE，
∵EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1：4：9，
∴S△AEH= S△ABC， S△AFG=4 S△AEH，
S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC．
故答案为：C．
【分析】先证出△AEH∽△AFG∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1：4：9，再求出S△AEH= S△ABC， S△AFG=4 S△AEH，最后利用割补法求出阴影部分的面积即可.
5．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
6．（2022九上·东乡区期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
7．（2024九上·南山期中）如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
又∵，
∴平分，，即，
在中，，
∴，
故选：B ．
【分析】先利用菱形的性质结合可证明，则点O是AC中点；由于菱形的对角互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角，则可得与互余．
8．（2024九上·珠海期中）如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，使点A恰好落在矩形的对称中心O处，，则的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点O是矩形的对称中心，
∴B、O、D共线，，
∵沿折叠，点A恰好落在矩形的对称中心O处，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】
连接，首先说明B、O、D共线，由折叠的性质得出，进而求出，利用勾股定理即可求出的长．
9．（2024九上·深圳期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据根据平行线分线段成比例及，可得出得出，则，进而可得，再根据，可求得，进而在中，根据勾股定理即可求得MG= ，即可得出答案。
10．（2024九上·兰州月考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ）
A．80 B．160 C．40 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024九上·南海期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
12．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
13．（2024九上·双流期中）一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗．
【答案】26
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：，解得：，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：26．
【分析】设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”，据此列出关于x的方程求解即可．
14．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
15．（2024九上·横州期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
根据题意可得：，
解方程可得：（舍去），
答：应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
【分析】设应邀请个球队参加比赛，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分
得分
16．（2024九上·涟源期中）解方程∶
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（2）利用“配方法”求解一元二次方程即可．
（1）解：
，
即：或，
，；
（2）解：
，
，．
17．（2024九上·双流期中）已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵
，
∴方程总有实数根
（2）解：由根与系数的关系可得，，，∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式，再根据判别式的结果进行证明即可.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系分别表示出，，再将代数式化简，然后整体代入求值即可，
（1）解：∵
，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
18．（2023九上·永修期中） 如图，矩形中，点P，Q分别为边上的点，．BD平分．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，进而根据角平分线的性质等角对等边得出，即可得证；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解．
19．（2024九上·杭州期中）如图，在中，分别是的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可以得到，然后证明是平行四边形，由三线合一得出，即可得到是矩形；
（2）解直角三角形得到的长，再根据三线合一得到的长，进而求出的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
20．（2024九上·滨江期末）如图，是的角平分线，在边上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由角平分线得到，然后根据化为，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）先由三角形外角的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据相似三角形的对应角相等得到即可解题．
21．（2024九上·黄岛月考）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该纪念品的销售单价为45元时，当天销售量为 （件），
故答案为：230.
【分析】（1）根据当天销售量为280减去10乘以增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量件，根据产品的当天销售利润是2610元列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，列出一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可．
（1）解：（件），
故答案为：230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
整理解得，，
答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
，
故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
22．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
【答案】（1）500，210
（2）18
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；
（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．
（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率．
23．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
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北师大版九年级上学期期中模拟数学试题（范围：第1-4章）
（考试范围：第一章-第四章）
考试时间：100分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
2．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2024九上·金沙期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·株洲期中）如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2022九上·东乡区期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·南山期中）如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·珠海期中）如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，使点A恰好落在矩形的对称中心O处，，则的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
9．（2024九上·深圳期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·兰州月考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ）
A．80 B．160 C．40 D．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024九上·南海期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
12．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
13．（2024九上·双流期中）一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗．
14．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
15．（2024九上·横州期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛．
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分
得分
16．（2024九上·涟源期中）解方程∶
（1）；
（2）．
17．（2024九上·双流期中）已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
18．（2023九上·永修期中） 如图，矩形中，点P，Q分别为边上的点，．BD平分．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
19．（2024九上·杭州期中）如图，在中，分别是的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的面积．
20．（2024九上·滨江期末）如图，是的角平分线，在边上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
21．（2024九上·黄岛月考）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
22．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
23．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设正方形边长为，则，
正方形内接于，上的高，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】设正方形边长为，由正方形四边相等得，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EDNP是矩形，由矩形的对边相等得出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，解出的值即可.
3．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，
依题意可列表格如下，
小霞 小艺 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种，
∴她们恰好选到同一类岗位的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AB被截成三等分，
∴AB=3AE，AF=2AE，
∵EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1：4：9，
∴S△AEH= S△ABC， S△AFG=4 S△AEH，
S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC．
故答案为：C．
【分析】先证出△AEH∽△AFG∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1：4：9，再求出S△AEH= S△ABC， S△AFG=4 S△AEH，最后利用割补法求出阴影部分的面积即可.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
又∵，
∴平分，，即，
在中，，
∴，
故选：B ．
【分析】先利用菱形的性质结合可证明，则点O是AC中点；由于菱形的对角互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角，则可得与互余．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点O是矩形的对称中心，
∴B、O、D共线，，
∵沿折叠，点A恰好落在矩形的对称中心O处，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】
连接，首先说明B、O、D共线，由折叠的性质得出，进而求出，利用勾股定理即可求出的长．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据根据平行线分线段成比例及，可得出得出，则，进而可得，再根据，可求得，进而在中，根据勾股定理即可求得MG= ，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
11．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
12．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
13．【答案】26
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：，解得：，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：26．
【分析】设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”，据此列出关于x的方程求解即可．
14．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
15．【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
根据题意可得：，
解方程可得：（舍去），
答：应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
【分析】设应邀请个球队参加比赛，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（2）利用“配方法”求解一元二次方程即可．
（1）解：
，
即：或，
，；
（2）解：
，
，．
17．【答案】（1）解：∵
，
∴方程总有实数根
（2）解：由根与系数的关系可得，，，∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式，再根据判别式的结果进行证明即可.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系分别表示出，，再将代数式化简，然后整体代入求值即可，
（1）解：∵
，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
18．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，进而根据角平分线的性质等角对等边得出，即可得证；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可以得到，然后证明是平行四边形，由三线合一得出，即可得到是矩形；
（2）解直角三角形得到的长，再根据三线合一得到的长，进而求出的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
20．【答案】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由角平分线得到，然后根据化为，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）先由三角形外角的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据相似三角形的对应角相等得到即可解题．
21．【答案】（1）230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该纪念品的销售单价为45元时，当天销售量为 （件），
故答案为：230.
【分析】（1）根据当天销售量为280减去10乘以增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量件，根据产品的当天销售利润是2610元列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，列出一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可．
（1）解：（件），
故答案为：230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
整理解得，，
答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
，
故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
22．【答案】（1）500，210
（2）18
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；
（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．
（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率．
23．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
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