3.3幂函数同步练习（含解析）-2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础巩固
题型一：幂函数的概念
1．下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
3．“”是“为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ．
题型二：函数的图像
5．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数的图象经过的部分是．
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑦ D．③⑧
6．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（ ）
A． B． C． D．
题型三：幂函数的性质与应用
8．已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过点
C．函数图象过点，若，则
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
10．（多选）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则或
D．当时，，若，则
11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知幂函数在上单调递增，则 .
13．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ．
14．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.
能力提升
15．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知幂函数（是常数），则（ ）
A．的图象一定经过点
B．在上单调递增
C．的定义域为
D．的图象有可能经过点
17．幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ）
A． B． C．1 D．3
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知，若实数且，则的最小值是 ．
23．若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个．
24．已知幂函数的图象不关于原点对称.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增.
25．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围．
试卷第2页，共5页
试卷第1页，共5页
《2025年10月29日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A B C A D BCD ABD D
题号 15 16 17 18 19 20 21
答案 C A A C C A ACD
1．C
【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
2．C
【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可.
【详解】是幂函数，所以,解得或；
当时，是定义在上的偶函数，不满足题意；
当时，是定义在上的奇函数，满足题意；
故选：C
3．A
【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，为幂函数，故充分性满足；
当为幂函数时，，
即，解得或，故必要性不满足，
所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
4．
【分析】由幂函数解析式结合图象过点得，则，由分母中根式内部的代数式大于0求解定义域.
【详解】设幂函数．
的图象过点，
，．
，
，
则，即，
的定义域为．
故答案为：.
5．B
【详解】试题分析：对于幂函数，当时，；当时，；故函数的图象经过的部分是④⑧
考点：幂函数；
6．C
【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D.
【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于C，函数，，函数，；可能成立；
对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立．
故选：C．
7．A
【分析】由幂函数的图象性质，观察得答案.
【详解】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快，
当时，在上递减，从而可知，曲线对应的，
曲线对应的依次为.
故选：A
8．D
【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可.
【详解】设，
因为幂函数的图象过点，
所以，即，所以，
于是不等式可转化为，即，
所以，即或，
故选：D
9．BCD
【分析】利用幂函数的性质计算可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，因为，所以点不在的图象上，
故的图象不是一条直线，故A错误；
对于B，幂函数的图象都经过点，故B正确；
对于C，因为函数图象过点，所以，解得，
所以，当，则，故C正确；
对于D，幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D.
【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得，
所以，故A正确；
的定义域为，对，则，且，
所以函数是偶函数，故B正确；
因为，所以在上单调递增，
由，是偶函数，得，即，
解得，故C错误；
因为当时，，所以，，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．D
【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.
【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，，
，所以，则.
故选：D.
12．8
【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出.
【详解】因为为幂函数，
所以，得，
，解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，得，所以，
所以，所以.
故答案为：8
13．
【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，
又，所以．
又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数，
所以，故不等式为，
因为函数的定义域为，且在和上单调递减，
当时，，当时，，
故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为．
故答案为：
14．（1）；（2）.
【解析】（1）由单调性确定的范围，再由奇偶性确定值；
（2）由二次函数性质求解．
【详解】（1）在区间上是单调增函数，即，解得.
又，.
当时，不是偶函数；
当时，是偶函数.
故函数的解析式为.
（2）由（1）知，则.
对任意的恒成立，，且.又，，解得.
故实数c的取值范围是.
【点睛】本题考查幂函数的奇偶性与单调性，考查二次函数恒成立问题．属于中档题
15．C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
16．A
【分析】根据幂函数的定义与性质，判断选项中的命题是否正确即可.
【详解】解：幂函数（是常数），其函数图象一定经过点（1，1），所以A正确；
当时，在上单调递减，所以B错误；
当时，的定义域不是，所以C错误；
幂函数的图象不过第四象限，即不过点，所以D错误.
故选：A.
【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题.
17．A
【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案.
【详解】设幂函数为，则，故，，
则的定义域为，
故满足，解得.
故选：A
18．C
【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值.
【详解】由题得：点，，，
所以，，分别代入，，
因为，，
所以.
故选：C.
19．C
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
20．A
【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.
【详解】令，则，
所以不等式可化为，
即，因为是奇函数且在上单调递增，
所以，则，
所以在上恒成立，则，
即实数的取值范围是.
故选：A
21．ACD
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数在单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数在上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
22．/
【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值.
【详解】函数，定义域为R，
，则为奇函数，
若实数且，函数单调递增，
则有，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
23． （答案不唯一） 4
【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解.
【详解】作出五个函数图象，如图：
由图可知：
图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；
图像与、、的图像有1个、1个，1个交点；
图像与、的图像有2个、2个交点；
图像与的图像有3个交点.
综上可得，函数与的图象若有1个交点，
则，，，，；
满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：
，，，．
故答案为：（答案不唯一）；4.
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据幂函数定义列出方程，解得m，将m的值代入检验，得出符合题意的函数解析式；
（2）由（1）可知，，利用单调性的定义证明在上的单调性即可.
【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或.
当时，，定义域为R，关于原点对称，
显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意；
当时，，
此时的定义域为，不关于原点对称，
故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意.
故.
（2）由（1）可知，，则，
任取，，且，
则
.
因为，所以，，
则，，所以，
则，
所以，
则，即，
故在上单调递增.
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）令，求出函数在区间上的值域即可；
（3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增，
则，解得，
故.
（2）当时，可得，
令，因为，所以，即可得，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，，当时，.
所以函数在区间上的值域为.
（3）令，因为，所以，
因为，即转化为，
由参变量分离法可得，其中，所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，
综上可知，实数的取值范围为.
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