沪科版数学八年级上册全等三角形之倍长中线、角平分线模型
一、倍长中线（直接倍长）
1．（2021八上·平塘期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长.
解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（ ▲ ）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（ ▲ ）
∠H＝∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8.（ ▲ ）
【答案】解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（垂直的定义）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（中点的定义）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（全等三角形的对应边相等）
∠H＝∠BCD＝90°，（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8.（直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，根据垂直的概念可得∠BCD＝90°，由角的和差关系可得∠ACD的度数，根据中点的概念可得AD＝BD，证明△ADH≌△BDC，得到AH=BC=4，∠H＝∠BCD＝90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
2．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF.
【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示，
∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DMB，
∴BD=MD，
∵BD=CE
∴MD=CE
在△DMF和△ECF中
∴△DMF≌△ECF（AAS）
∴DF=EF
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论.
3．（2025八上·长兴月考） 如图
（1）问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围.
思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用
三边关系，可得AD的取值范围.
问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.：
问题解决2：AD的取值范围是 ，AB和CE的位置关系是 .
（2）问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明.
【答案】（1）解：问题解决1：
证明：延长AD至点E，使，连接CE.
是BC边上的中线，
.
在和中，
.
.
问题解决2：，平行
（2）解：. 理由如下：.
证明：如图，延长AD至点E，使，连接CE.
∵AD是边上的中线，
∴.
在和中：
.
.
，
.
.
.
在和中：
.
∴MN=AE
∵AE=AD+DE=2AD
∴MN=2AD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）问题解决2：由（问题解决1）可得AD=DE，EC=AB，，
∴∠B=∠C，
∴ AB∥CE，
∵ AB=5，
∴EC=5，
∵ AC=9 ，AC-EC
∴ 9-5∴ 4∴ 2故答案为：；平行.
【分析】（1） 问题解决1： 需利用倍长中线法构造全等三角形，证明AB与CE的数量关系 ；
问题解决2： 通过构造全等三角形后，结合三角形三边关系确定AD的取值范围，并分析AB与CE的位置关系 ；
（2） 需通过构造全等三角形，结合已知条件（AB=AM，AC=AN，直角条件），推导AD与MN的数量关系及位置关系 .
二、倍长中线（间接倍长）
4．（2024八上·咸安期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
图1 图2 图3
（1）如图1，是的中线，，，求的取值范围.
我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；
（2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明.
【答案】（1）
（2）证明：如图，延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，
同（1）可证△ADC≌△TDB，
∴AC＝BD，∠C＝∠EBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BD，
∴AC＝BF．
（3）解：CD＝AD＋BC，理由如下：
如图，延长CE交DA的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC，EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD＋AG＝AD＋BC，
∴CD＝AD＋BC．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB 中，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝6，
∵AB＝8，
∴AB BM＜AM＜AB＋BM，
∴2＜AM＜14，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】（1）先利用“SAS”证出△ADC≌△MDB，可得AC＝BM＝6，再利用三角形三边的关系可得AB BM＜AM＜AB＋BM，再将数据代入求出1＜AD＜7即可；
（2）延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，先证出AC＝BD，∠C＝∠EBD，再结合∠T＝∠BFT，可得BF＝BD，最后利用等量代换可得AC＝BF；
（3）延长CE交DA的延长线于点G，先利用“AAS”证出△AEG≌△BEC，可得AG＝BC，EC＝EG，再利用线段的和差及等量代换可得CD＝AD＋BC．
5．（2024八上·义乌月考）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用倍长中线法构造三角形，再利用三角形三边关系即可，即延长AD至点E，连接BE，则可证明，则，从而把AB、AC、2AD转化到的三条边上即可；
（2）同理延长至点，使，连接，可通过证明得、，则垂 直平分，所以，在中由三角形的三边关系得出，再等量代换即可；
（3）延长交延长线于点，则可证明，则，再由角平分线的概念结合平行线的性质可得，则，即．
三、角平分线（基础全等）
6．（2025八上·杭州月考） 如图，AB=AC， BD=CD. 求证： AD平分∠BAC.
【答案】证明： ，
即AD平分
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】由题意根据SSS可证 可得 AD，即可求解.
7．（2025八上·长兴月考）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC=OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线.这里判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ 点C、D处的刻度相同，
∴CE=DE，
∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌OCE（SSS）.
故答案为：B.
【分析】根据SSS证明△ODE≌OCE.
8．（2021八上·隆安期中）如图，于于F，若，
（1）求证：平分；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵于于F，
∴（HL）
∴ED=DF
∵于于F，AD=AD
∴（HL）
∴
故平分．
（2）解：∵BE=CF
∴AF=AC-BE=10-2=8
∴AE=AF=8
∴AB=AE-BE=8-2=6．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念得∠E=∠DFC=90°，结合BD=CD，BE=CF，由HL证△BED≌△CFD，得到ED=DF，再利用HL证明△AED≌△AFD，得到∠EAD=∠CAD，据此证明；
（2）根据BE=CF可得AF=AC-BE=8，然后根据AB=AE-BE进行计算.
9．（2021八上·内江期中）如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
10．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接DB，
AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
DF=DG，
DE垂直平分BC，
DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
，
Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ，
BG=CF．
（2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD，
在△ADG与△ADF中
△ADG≌△ADF(AAS)，
AG=AF，
BG=CF，
，
AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论；
（2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算.
四、角平分线（构造全等）
11．（2024八上·江北期中）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如图1，当∠C=90°， AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ；
（2）如图2，当 ∠C≠90°， AD为 ∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD的数量关系为 ；
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD 的数量关系为 ；
【答案】（1）证明：由已知条件可知，
在中，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
为的角平分线，
在上截取，连接，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）
（3）
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）在中，，，为的角平分线，在上截取，连接，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴；
（3）在中，，为的角平分线，在的延长线上截取，连接，
∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理边角边，在上截取，连接，证明，则可得，，再由，，证明，可求出；
（2）由（1）可求得；
（3）首先在的延长线上截取，，连接，根据全等三角形边角边判定定理，可得，可得，，再由，可得即可求得
12．（2020八上·石阡月考）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD.
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
【答案】（1）猜想： .
证明：如图②，在 上截取 ，连结 ，
∵ 为 的角平分线时，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2）解：猜想： .
证明：在 的延长线上截取 ，连结 .
∵ 平分 ，∴ .
在 与 中， ， ， ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
又 ， ， .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，利用“SAS”证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠C，ED=CD，结合∠ACB=2∠B可得∠AED=2∠B，结合外角的性质可得∠B=∠EDB，推出EB=ED，据此解答；
（2）在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，利用“SAS”可证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠ACD，ED=CD，推出EB=ED，根据线段的和差关系可得EA+AB=EB=ED=CD，据此解答.
13．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
14．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
15．（2024八上·中山期中）（1）如图1，在中，平分交于点D，于点E．求证：
（2）①如图2，中，，，平分，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
②如图3，中，，，点F在线段上，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为64，求的长．
【答案】解：（1）延长交于点F，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：①，证明如下：
延长、交于点F，如图，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质和判定．
（1）延长交于点F，利用角平分线的定义可得：，根据，利用垂直的定义可得：，再结合CE=CE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得：，利用等量代换可证明结论；
（2）①延长、交于点F，根据垂直的定义可得，利用角的运算可得，再结合AB=AC，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角平分线的定义可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用等量代换可证明；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，根据题意可得，利用垂直的定义可得：，再根据FE=FE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得：HB=HF，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明，进而可得，再通过三角形的面积可得，据此可求出．
1 / 1沪科版数学八年级上册全等三角形之倍长中线、角平分线模型
一、倍长中线（直接倍长）
1．（2021八上·平塘期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长.
解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（ ▲ ）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（ ▲ ）
∠H＝∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8.（ ▲ ）
2．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF.
3．（2025八上·长兴月考） 如图
（1）问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围.
思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用
三边关系，可得AD的取值范围.
问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.：
问题解决2：AD的取值范围是 ，AB和CE的位置关系是 .
（2）问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明.
二、倍长中线（间接倍长）
4．（2024八上·咸安期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
图1 图2 图3
（1）如图1，是的中线，，，求的取值范围.
我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；
（2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明.
5．（2024八上·义乌月考）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
三、角平分线（基础全等）
6．（2025八上·杭州月考） 如图，AB=AC， BD=CD. 求证： AD平分∠BAC.
7．（2025八上·长兴月考）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC=OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线.这里判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
8．（2021八上·隆安期中）如图，于于F，若，
（1）求证：平分；
（2）已知，求的长．
9．（2021八上·内江期中）如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
10．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
四、角平分线（构造全等）
11．（2024八上·江北期中）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如图1，当∠C=90°， AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ；
（2）如图2，当 ∠C≠90°， AD为 ∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD的数量关系为 ；
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD 的数量关系为 ；
12．（2020八上·石阡月考）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD.
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
13．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
14．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
15．（2024八上·中山期中）（1）如图1，在中，平分交于点D，于点E．求证：
（2）①如图2，中，，，平分，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
②如图3，中，，，点F在线段上，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为64，求的长．
答案解析部分
1．【答案】解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（垂直的定义）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（中点的定义）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（全等三角形的对应边相等）
∠H＝∠BCD＝90°，（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8.（直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，根据垂直的概念可得∠BCD＝90°，由角的和差关系可得∠ACD的度数，根据中点的概念可得AD＝BD，证明△ADH≌△BDC，得到AH=BC=4，∠H＝∠BCD＝90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
2．【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示，
∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DMB，
∴BD=MD，
∵BD=CE
∴MD=CE
在△DMF和△ECF中
∴△DMF≌△ECF（AAS）
∴DF=EF
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论.
3．【答案】（1）解：问题解决1：
证明：延长AD至点E，使，连接CE.
是BC边上的中线，
.
在和中，
.
.
问题解决2：，平行
（2）解：. 理由如下：.
证明：如图，延长AD至点E，使，连接CE.
∵AD是边上的中线，
∴.
在和中：
.
.
，
.
.
.
在和中：
.
∴MN=AE
∵AE=AD+DE=2AD
∴MN=2AD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）问题解决2：由（问题解决1）可得AD=DE，EC=AB，，
∴∠B=∠C，
∴ AB∥CE，
∵ AB=5，
∴EC=5，
∵ AC=9 ，AC-EC∴ 9-5∴ 4∴ 2故答案为：；平行.
【分析】（1） 问题解决1： 需利用倍长中线法构造全等三角形，证明AB与CE的数量关系 ；
问题解决2： 通过构造全等三角形后，结合三角形三边关系确定AD的取值范围，并分析AB与CE的位置关系 ；
（2） 需通过构造全等三角形，结合已知条件（AB=AM，AC=AN，直角条件），推导AD与MN的数量关系及位置关系 .
4．【答案】（1）
（2）证明：如图，延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，
同（1）可证△ADC≌△TDB，
∴AC＝BD，∠C＝∠EBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BD，
∴AC＝BF．
（3）解：CD＝AD＋BC，理由如下：
如图，延长CE交DA的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC，EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD＋AG＝AD＋BC，
∴CD＝AD＋BC．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB 中，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝6，
∵AB＝8，
∴AB BM＜AM＜AB＋BM，
∴2＜AM＜14，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】（1）先利用“SAS”证出△ADC≌△MDB，可得AC＝BM＝6，再利用三角形三边的关系可得AB BM＜AM＜AB＋BM，再将数据代入求出1＜AD＜7即可；
（2）延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，先证出AC＝BD，∠C＝∠EBD，再结合∠T＝∠BFT，可得BF＝BD，最后利用等量代换可得AC＝BF；
（3）延长CE交DA的延长线于点G，先利用“AAS”证出△AEG≌△BEC，可得AG＝BC，EC＝EG，再利用线段的和差及等量代换可得CD＝AD＋BC．
5．【答案】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用倍长中线法构造三角形，再利用三角形三边关系即可，即延长AD至点E，连接BE，则可证明，则，从而把AB、AC、2AD转化到的三条边上即可；
（2）同理延长至点，使，连接，可通过证明得、，则垂 直平分，所以，在中由三角形的三边关系得出，再等量代换即可；
（3）延长交延长线于点，则可证明，则，再由角平分线的概念结合平行线的性质可得，则，即．
6．【答案】证明： ，
即AD平分
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】由题意根据SSS可证 可得 AD，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ 点C、D处的刻度相同，
∴CE=DE，
∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌OCE（SSS）.
故答案为：B.
【分析】根据SSS证明△ODE≌OCE.
8．【答案】（1）证明：∵于于F，
∴（HL）
∴ED=DF
∵于于F，AD=AD
∴（HL）
∴
故平分．
（2）解：∵BE=CF
∴AF=AC-BE=10-2=8
∴AE=AF=8
∴AB=AE-BE=8-2=6．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念得∠E=∠DFC=90°，结合BD=CD，BE=CF，由HL证△BED≌△CFD，得到ED=DF，再利用HL证明△AED≌△AFD，得到∠EAD=∠CAD，据此证明；
（2）根据BE=CF可得AF=AC-BE=8，然后根据AB=AE-BE进行计算.
9．【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
10．【答案】（1）证明：如图所示，连接DB，
AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，
DF=DG，
DE垂直平分BC，
DC=DB，
在Rt△CDF与Rt△BDG中
，
Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ，
BG=CF．
（2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD，
在△ADG与△ADF中
△ADG≌△ADF(AAS)，
AG=AF，
BG=CF，
，
AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论；
（2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算.
11．【答案】（1）证明：由已知条件可知，
在中，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
为的角平分线，
在上截取，连接，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）
（3）
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）在中，，，为的角平分线，在上截取，连接，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴；
（3）在中，，为的角平分线，在的延长线上截取，连接，
∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理边角边，在上截取，连接，证明，则可得，，再由，，证明，可求出；
（2）由（1）可求得；
（3）首先在的延长线上截取，，连接，根据全等三角形边角边判定定理，可得，可得，，再由，可得即可求得
12．【答案】（1）猜想： .
证明：如图②，在 上截取 ，连结 ，
∵ 为 的角平分线时，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2）解：猜想： .
证明：在 的延长线上截取 ，连结 .
∵ 平分 ，∴ .
在 与 中， ， ， ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
又 ， ， .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，利用“SAS”证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠C，ED=CD，结合∠ACB=2∠B可得∠AED=2∠B，结合外角的性质可得∠B=∠EDB，推出EB=ED，据此解答；
（2）在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，利用“SAS”可证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠ACD，ED=CD，推出EB=ED，根据线段的和差关系可得EA+AB=EB=ED=CD，据此解答.
13．【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
14．【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
15．【答案】解：（1）延长交于点F，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：①，证明如下：
延长、交于点F，如图，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质和判定．
（1）延长交于点F，利用角平分线的定义可得：，根据，利用垂直的定义可得：，再结合CE=CE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得：，利用等量代换可证明结论；
（2）①延长、交于点F，根据垂直的定义可得，利用角的运算可得，再结合AB=AC，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角平分线的定义可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用等量代换可证明；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，根据题意可得，利用垂直的定义可得：，再根据FE=FE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得：HB=HF，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明，进而可得，再通过三角形的面积可得，据此可求出．
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