江西省新十校协作体2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷（含解析）

江西省新十校协作体2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题
一、单选题
1．复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
3．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．13
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．无法判断有几解
5．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．向量是直线的一个方向向量
B．直线在坐标轴上的截距之和为
C．直线与直线之间的距离为
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．当为等边三角形时， B．的最小值为4
C．的最小值为 D．直线过定点
三、填空题
12．若，则 .
13．如图，在圆锥中，已知的直径，点为的中点，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则直线与所成的角为 .

14．已知点，是圆上位于第三象限内的不同两点，，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)设，为第二象限角，求的值.
16．已知直线的方程为.
(1)求直线过定点的坐标；
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？
17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：

(1)平面；
(2)平面平面.
18．在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点.
（ⅰ）若，，求的长；
（ⅱ）若点满足，求的值.
19．已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；
(3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B A C A ABD BC
题号 11
答案 ACD
1．B
计算，写出的对应点，从而得解.
【详解】复数在复平面内对应点为，
在复平面内的对应点位于第二象限，选项B正确.
故选：B.
2．D
利用两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为，，所以直线的斜率.
故选：D.
3．C
根据椭圆的定义直接得出结果.
【详解】由题知，所以点到另一个焦点的距离为.
故选：C.
4．C
【详解】根据余弦定理求出有两个解，即可得出答案.
根据余弦定理可得
，代入数据得，
即，解得.
所以此三角形有两解.
故选：C.
5．B
由光学知识可知点关于轴的对称点在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可.
【详解】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故选：B.
6．A
先化简变形，令，则，利用圆与直线的位置关系列不等式计算即可.
【详解】由题意，.
令，则，
由题知，圆与直线有公共点，故圆心到直线的距离，
整理得，解得，所以，
所以的取值范围为.
故选：A.
7．C
由题意可得圆与圆有两个交点，由两圆的位置关系求解即可.
【详解】由题知圆的标准方程为，
圆与圆有两个交点，
故，
解得.
故选：C.
8．A
根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案.
【详解】由图知函数的最小正周期，所以.
由，得，即.
因为，所以，所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，
由得，
所以的单调递增区间为，
可得，则，解得，
又因为对，在上都不单调，所以，解得.
综上，.
故选：A.
9．ABD
根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断C；根据投影向量的坐标公式可判断D.
【详解】因为，，所以，A正确；
因为，，
所以，B正确；
设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误；
在方向上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．BC
根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误.
【详解】对于A，由直线，可得直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量为，
因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误；
对于B，当时，；当时，，
可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确；
对于C，由直线可化为，
两平行直线间的距离为，所以C正确；
对于D，直线的斜率为，
因为，所以，
故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误.
故选：BC.
11．ACD
利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得，可计算并判断C，通过设点的坐标为，可得以线段为直径的圆的方程为，与圆方程联立可得交线的方程为，从而可得出定点判断D.
【详解】
对于A，若为等边三角形，则，
又，根据余弦定理，，故A正确；
对于B，由，得，故B错误；
对于C，在中，根据等面积法，可得，
得，故C正确；
对于D，设点的坐标为，
以线段为直径的圆的方程为，整理得，
将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确.
故选：ACD.
12．
由，可求得，再结合正切两角和公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
13．
先根据的长证明，然后作辅助线，证明平面，最后根据余弦定理求出结果.
【详解】由题知的周长为，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
设扇形的半径为，则，，解得，即，
所以，即.
又点为的中点，所以为等腰直角三角形，.
取的中点，连接，则，；取的中点，连接，则，
故（或其补角）即为与所成角，连接，则平面，
取的中点，连接，，则，故平面，
又平面，所以，其中，，，，，，
在中，由余弦定理得，
故，，
所以，则直线与所成的角为.
故答案为：.

14．
如图作辅助线，观察可得，利用三角形的边角关系，结合三角恒等变换以及正弦函数的性质可求得最值.
【详解】

如图，作直线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
.
设，则.
又，所以，，
则，当时，取得最大值为，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
（1）先对函数进行三角恒等变换，化为正弦型函数，再根据正弦函数的单调性求解单调递减区间.
（2）先根据已知条件求出，再结合角的范围求出，最后利用两角差的余弦公式求出.
【详解】（1）由题意，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）由，得.
因为为第二象限角，所以，，，
所以，
即的值为.
16．(1)
(2)时，到直线的距离最大，最大距离是.
（1）化简直线为，联立方程组，即可求解；
（2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）直线的方程可化为，
联立方程组，解得，
所以直线过定点的坐标为.
（2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，即的方程为，
则点到直线的最大距离为，
故当时，到直线的距离最大，最大距离是.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面.
【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以是中点，
又因为是中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面.

（2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.

18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
（1）利用正弦定理化简可得，从而得，化简得，即可求解；
（2）（ⅰ）由余弦定理可得，再结合，从而可求解；
（ⅱ）由，可得，从而得，，从而得，再结合即可求解.
【详解】（1）由正弦定理对化简，可得.
又因为，
所以，
由，得，又，则.
（2）（ⅰ）由余弦定理，知，所以.
又，所以.
由，得，
整理得.
（ⅱ）因为，所以.
因为为的平分线，所以，则.
又，
，
所以
，
，，
所以.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值.
【详解】（1）解：由圆，可得圆的圆心为，半径为，
又由圆，可得圆心为，半径为，
因为圆心与圆心关于直线对称，
可得，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）证明：设，，且，
联立方程组，整理得，
则，且，，
则，
所以当不断变化时，轴始终平分.
（3）解：假设存在定点，使得为定值，设，，，
因为点在圆上，所以，则，
因为为圆的切线，所以，
所以，，
所以，
整理得（），
若使（）对任意恒成立，则，可得，
代入③整理得，解得或，
所以或，
所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值.