(共60张PPT)
第三章 整式及其加减
3.4问题解决策略：归纳
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能说出归纳策略的核心步骤（从简单情形入手、找规律、验证规律、应用规律），并能运用该策略解决图形分割、幂的个位数字等问题。
01
体会 “从特殊到一般” 的数学思想，感受数学策略在解决复杂问题中的实用性，增强学习数学的兴趣。
03
通过经历长方形内点分割三角形的规律探索过程，发展观察分析、逻辑推理和抽象概括能力。
02
02
新知导入
在本章学习过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。
02
新知导入
【问题】 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。
将长方形区域分割成三角形的过程是：
在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形。
02
新知导入
如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；
当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。
02
新知导入
当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？
请你画一画当长方形内有3个、4个、5个点时，可分得多少个三角形：
要求：用不同颜色笔标记新增的点和分割线，直观感受 “点的增加如何影响三角形数量”
02
新知导入
①
②
⑦
④
③
⑤
⑥
⑧
3个点
02
新知导入
①
②
⑦
④
③
⑤
⑥
⑧
⑨
⑩
4个点
02
新知导入
①
②
⑦
④
③
⑤
⑧
⑨
⑩
⑥
11
12
5个点
02
新知导入
（1）对比 1 个点、2 个点、3 个点的三角形个数，你发现数量变化有什么规律？每次增加 1 个点，三角形个数增加了几个？
解析：
长方形内有1个点时，三角形个数为4；
长方形内有2个点时，三角形个数为6；
长方形内有3个点时，三角形个数为8；
长方形内有4个点时，三角形个数为10；
长方形内有3个点时，三角形个数为12。
对比可得：每增加 1 个内部点，三角形个数增加 2 个。
画完以后，请你回答下列问题：
02
新知导入
（2）为什么每增加 1 个内部点，三角形个数会增加 2 个？试着从图形分割的过程（一个三角形被新点分成三个三角形）解释这个现象。
解析：当在长方形内新增 1 个内部点时，这个点必然落在某个已有的三角形内部。我们把这个新点与该三角形的三个顶点连接，会将原来的1个三角形分割成3个三角形。
此时，三角形的数量变化为：3 - 1 = 2，即每增加 1 个内部点，三角形个数会增加 2 个。
02
新知导入
03
新知讲解
（1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。
理解问题
请你尝试画一下当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？
03
新知讲解
这要画多少条线段啊
（2）已知条件是什么？目标是什么？
已知条件：
①长方形内点的数量与三角形个数的对应关系：当有 1 个点时，可分得 4 个三角形；当有 2 个点时，可分得 6 个三角形。
②分割规则：在长方形内取点，连同 4 个顶点逐步连接，所有连线不相交产生新的点，直到所有区域都变成三角形。
目标：利用上述代数式，计算当长方形内有 35 个点时，可分得的三角形个数。
03
新知讲解
03
新知讲解
（1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？
拟订计划
由于35个点数量过多，无法通过直接画图的方式直观分割图形并数出三角形个数，操作繁琐且极易出错，因此必须通过寻找规律来解决。
容易研究的情形：长方形内有1个点、2个点、3个点等点数较少的情形，可通过直接画图分割，直观数出三角形个数。
发现的规律：每增加1个长方形内部的点，三角形个数增加2个。由此归纳出代数式规律：若长方形内有n个点，可分得的三角形个数为(2n+2)。
（2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？
03
新知讲解
①正确性验证：
当n=1时，2×1+2=4，与“1个点时得4个三角形”的已知条件一致；
当n=2时，2×2+2=6，与“2个点时得6个三角形”的已知条件一致；
以此类推，可验证规律的合理性。
②规律解释：
当长方形内新增1个内部点时，该点必然落在某个已有三角形内部。将此点与该三角形的三个顶点连接，会把原来的1个三角形分割成3个三角形，即增加了2个三角形。因此，每增加1个内部点，三角形个数增加2个，从而推导出规律2n+2。
（3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？
03
新知讲解
03
新知讲解
写出你的解决方案，并说明其中的道理
实施计划
①绘制并分析少量点的情况
画长方形内有1个点的分割图，数出三角形个数为4；
画长方形内有2个点的分割图，数出三角形个数为6；
画长方形内有3个点的分割图，数出三角形个数为8；
画长方形内有4个点的分割图，数出三角形个数为10。
03
新知讲解
②寻找数量变化规律：对比以上结果：4→6→8→10，发现每增加1个内部点，三角形个数增加2个。
③递推计算35个点的情况
从1个点开始，到35个点需要增加35-1=34个点。
每增加1个点增加2个三角形，因此总共增加34×2=68个三角形。
初始1个点时有4个三角形，所以35个点时的三角形个数为4+68=72。
小明的思考过程如下。
（1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图）
03
新知讲解
（2）几种简单情形的数据见下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形的个数 4 6 8 10 …
03
新知讲解
（3）猜想是合理的。在长方形内已经有 个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。
当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2；
当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2。
因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是
03
新知讲解
（1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有 n 个点呢？
回顾·反思
04
新知探究
当长方形内有个点时，根据规律“三角形个数”，可得三角形个数为。
一般地，若长方形内有个点，可分得的三角形个数为（为正整数）。
（2）你还能提出并解决什么问题？
04
新知探究
问题：若一个长方形被分割成50个三角形，长方形内有多少个点？
解答：根据规律2n+2=50，解方程得2n=48，n=24。
因此，长方形内有24个点。
（3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？
04
新知探究
从简单情形思考的好处：
① 降低思维难度：复杂问题（如35个点）直接研究易陷入混乱，从1个点、2个点等简单情形入手，能直观观察、操作，逐步建立认知。
② 发现规律的突破口：简单情形的数量变化具有“重复性、规律性”，是归纳一般结论的关键线索。
③ 验证结论的依据：推导的一般规律可通过简单情形的已知结果验证，确保结论可靠。
04
新知探究
归纳一般性结论的经验：
① 多举例，覆盖不同情形：至少选取3 - 5个简单案例（如n=1,2,3,4），观察数量变化的共性。
② 分析变化的本质原因：不仅关注“数量增加了多少”，更要探究“为什么增加”（如本问题中“内部点分割三角形的过程”），从图形逻辑或数学原理上解释规律。
③ 严谨验证：用更多简单案例或反向问题（如已知三角形个数求点数）验证规律，确保其普适性。
04
新知探究
在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律。初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。
1.请你列举一些实际问题并用字母表示其中的数量关系。
回顾与思考
04
新知探究
实际情境：开学季，某班需采购笔记本和签字笔。已知笔记本每本8元，签字笔每支3元，若购买本笔记本和支签字笔，求采购总费用。
数量关系：总费用 = 笔记本总价 + 签字笔总价
用字母表示为（表示总费用，单位：元）。
2．设计一个情境，使之尽可能多地包含单项式、多项式，并指出单项式的系数、多项式的次数。
04
新知探究
某校园书店推出优惠：
单本《数学练习册》售价15元，单支“学霸笔”售价4.5元；
购买2本及以上练习册，超出2本的部分打8折；
订单满50元免5元运费，不满50元需付3元运费。
若某同学购买x本《数学练习册》（x为正整数）和y支“学霸笔”，求该同学的实际付款金额P。
04
新知探究
① 当时
练习册费用：（单项式，系数，次数）
学霸笔费用：（单项式，系数，次数）
运费：
若，运费为（单项式，系数，次数）；
若，运费为（单项式，系数，次数）。
② 当时
练习册费用：（多项式，次数）
学霸笔费用：（单项式，系数，次数）
运费：
若，运费为（单项式，系数，次数）；
3．举例说明合并同类项、去括号法则。它们的依据是什么？
04
新知探究
04
新知探究
（1）合并同类项
法则：同类项合并时，只把系数相加，字母和字母的指数保持不变。
举例：化简代数式
步骤：找出同类项：与是同类项，与是同类项；
；
整理结果：。
依据：乘法分配律，即
04
新知探究
（2）去括号法则
括号前是““”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号不变；
括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号都改变。
04
新知探究
举例：化简代数式
步骤：
去第一个括号（前为“”）：；
去第二个括号（前为“”）：；
合并同类项：。
依据：乘法分配律，括号前的系数分别乘括号内每一项，即
，。
4.整式的加减运算与数的加减运算有什么联系与区别？
04
新知探究
（1）联系：核心逻辑一致
①都遵循“合并同类对象”的思路：
数的加减是“合并相同类型的数”（如，）；整式的加减是“合并同类项”（如，）。
②都满足加法交换律和结合律：
数的加减：；
整式的加减：。
04
新知探究
（2）区别：运算对象与结果不同
对比维度 数的加减运算 整式的加减运算
运算对象 具体数值 含字母的整式
运算结果 具体数值 可能是整式或数值
关键步骤 直接计算数值 先去括号，再合并同类项
5.请你设计一个数字游戏问题，并用所学知识加以解释
04
新知探究
“猜不透的固定结果”
游戏规则：让同伴在心里想一个任意有理数（记为），不要说出来；
按以下步骤计算：
① 把这个数乘3；② 加6；③ 除以3；④ 减原数；⑤ 加2；
让同伴说出最终结果，你能立刻说出“结果一定是4”，并解释原因。
用代数式表示整个运算过程：
设原数为，运算步骤转化为代数式：
化简过程：去括号/约分：；
合并同类项：。
无论取何有理数，化简后结果恒为4，因此能提前确定最终结果。
04
新知探究
6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
04
新知探究
①字母表示数
用字母可以表示数、运算律（如加法交换律）、计算公式（如长方形面积）、数量关系（如路程）。
字母表示数能简洁、普遍地表达规律和数量关系。
04
新知探究
②代数式
定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。
代数式求值：用具体数值代替代数式里的字母，按照运算关系计算结果。
书写规范：数字与字母相乘时，数字在前且省略乘号；带分数要化为假分数；除法运算写成分数形式等。
04
新知探究
③整式
单项式：数与字母的乘积，单独一个数或字母也是单项式。其系数是数字因数，次数是所有字母的指数和。
多项式：几个单项式的和。其中每个单项式是多项式的项，不含字母的项是常数项，多项式的次数是次数最高项的次数。
整式：单项式和多项式统称为整式。
04
新知探究
④整式的加减
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。常数项都是同类项。
合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，依据是乘法分配律。
去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“-”号，去括号后各项符号都改变。
整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项。
04
新知探究
⑤探索与表达规律
方法：从简单情形（如n=1,2,3）入手，观察、分析数量或图形的变化，归纳出一般规律，并用代数式表示。
应用：可用于解决日历数字规律、图形拼接规律（如小棒摆图形）、数字游戏等问题。
05
课堂小结
问题解决策略：归纳
掌握了 “归纳” 这一问题解决策略的完整步骤：能从简单情形入手，观察数量或图形变化规律，最终应用规律解决复杂问题
理解了归纳过程中规律背后的本质原因
学会用数学语言表达归纳出的规律：能将发现的规律转化为代数式
积累了运用归纳策略解决不同类型问题的经验
请用归纳策略解答下列问题。
的个位数字是多少？
06
作业布置
解答：
要解决“的个位数字是多少”的问题，我们沿用“从简单情形入手→找规律→验证规律→应用规律”的归纳策略
第一步：计算3的低次幂，记录个位数字（从简单情形切入）
直接计算难度极大，先从3的1次幂、2次幂等简单情况开始：
，个位数字是 3
，个位数字是 9
，个位数字是 7
，个位数字是 1
，个位数字是 3
，个位数字是 9
，个位数字是 7
，个位数字是 1
，个位数字是 3
06
作业布置
第二步：寻找个位数字的循环规律
观察上述结果，个位数字依次为：3→9→7→1→3→9→7→1→3
可见，个位数字以“3、9、7、1”为一个循环周期，周期长度是4。
第三步：确定在循环中的位置
要判断的个位数字，需计算指数2024除以循环周期4的“余数”：
计算：2024÷4=506，余数为 0
余数含义：余数为0时，说明正好对应循环周期的“最后一个位置” 第四步：得出结论：的个位数字是循环周期的最后一个数，即 1。
06
作业布置
2．如图3-12，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。
06
作业布置
（1）剪12刀，绳子变为多少段？
（2）有可能正好剪得101段吗？
已知：
剪刀，绳子变为段；
剪刀，绳子变为段。
剪刀，绳子变为段；
剪刀，绳子变为段。
由此归纳规律：每多剪刀，段数增加。若设剪刀时，绳子的段数为（为正整数）。
验证规律：
当时，，与“剪1刀变4段”一致；
当时，，与“剪2刀变7段”一致。
规律成立。
步骤3：应用规律解决问题
06
作业布置
（1）剪12刀时的段数
将代入规律，得：
即剪12刀，绳子变为段。
（2）有可能正好剪得101段吗？
假设能剪得101段，即解方程：
由于不是正整数，因此不可能正好剪得101段。
综上，（1）剪12刀绳子变为段；（2）不可能正好剪得101段。
06
作业布置
129
3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图3-13所示。
06
作业布置
（1）第10行的10个数的和是多少？
（2）你还能找到其他规律吗？试一试！
（1）第10行的10个数的和是多少？
我们先计算前几行的和，寻找规律：
第1行：
第2行：
第3行：
第4行：
第5行：
由此归纳规律：第行的数的和为（为正整数）。
验证规律（以第3行为例）：，与实际和一致，规律成立。
因此，第10行的和为。
06
作业布置
（2）你还能找到其他规律吗？试一试！
规律1：每行的数的个数
第n行有n个数（如第1行1个，第2行2个，…，第n行n个）。
规律2：每行的第一个数
第n行的第一个数为n(n-1)+1。
验证：n=1时，1×0+1=1（符合）；
n=2时，2×1+1=3（符合）；
n=3时，3×2+1=7（符合）。
06
作业布置
4．某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？
06
作业布置
解析：①分析前几种化合物的氢原子数（简单情形切入）
观察分子结构模型，数出前6种化合物的氢原子（白球）个数：
第1种（）：氢原子数为第2种（）：氢原子数为
第3种（）：氢原子数为第4种（）：氢原子数为
第5种（）：氢原子数为第6种（）：氢原子数为
②归纳氢原子数的规律
对比序号时，
时，
时，
……
由此归纳规律：第种化合物的氢原子数为（为正整数）。
06
作业布置
步骤3：验证规律
以为例，代入规律得，与实际氢原子数一致；
以为例，代入规律得，与实际氢原子数一致。
规律验证成立。
步骤4：应用规律求第60种化合物的氢原子数
当时，氢原子数为。
答：第60种化合物的分子结构模型中有个氢原子。
06
作业布置
Thanks!
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分课时学案
课题 3.4问题解决策略：归纳 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.能说出归纳策略的核心步骤（从简单情形入手、找规律、验证规律、应用规律），并能运用该策略解决图形分割、幂的个位数字等问题。 2.通过经历长方形内点分割三角形的规律探索过程，发展观察分析、逻辑推理和抽象概括能力。 3.体会 “从特殊到一般” 的数学思想，感受数学策略在解决复杂问题中的实用性，增强学习数学的兴趣。
重点 掌握归纳策略 “从简单情形入手→寻找规律→验证规律→应用规律” 的核心步骤，并能运用该策略解决实际数学问题。
难点 理解归纳过程中规律背后的本质原因（如长方形内新增 1 个点导致三角形个数增加 2 个的图形逻辑），并能灵活将归纳策略迁移到不同类型的问题中。
教学过程
导入新课 【问题】 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图3-9）。 图3-9 将长方形区域分割成三角形的过程是： 在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形。 如图3-10，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。 图3-10 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 请你画一画当长方形内有3个、4个、5个点时，可分得多少个三角形： 要求：用不同颜色笔标记新增的点和分割线，直观感受 “点的增加如何影响三角形数量” 3个点 4个点 5个点 画完以后，请你思考下列问题： （1）对比 1 个点、2 个点、3 个点的三角形个数，你发现数量变化有什么规律？每次增加 1 个点，三角形个数增加了几个？ （2）为什么每增加 1 个内部点，三角形个数会增加 2 个？试着从图形分割的过程（一个三角形被新点分成三个三角形）解释这个现象。
新知讲解 1.理解问题 （1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 请你尝试画一下当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 当长方形内有 35 个点时，可分得__________个三角形 （2）已知条件是什么？目标是什么？ 已知条件： 目标： 2.拟订计划 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ 3.实施计划 写出你的解决方案，并说明其中的道理 小明的思考过程如下。 （1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图3-11） 图3-11 （2）几种简单情形的数据见下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。 长方形内点的个数1234…三角形的个数46810…
（3）猜想是合理的。在长方形内已经有 n 个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形_______，要么在__________上。 当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成_______个小三角形，三角形的个数增加_____________；当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样________。 因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是 4.回顾反思 （1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有 个点呢？ （2）你还能提出并解决什么问题？ （3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 5.回顾与思考 1.请你列举一些实际问题并用字母表示其中的数量关系。 2．设计一个情境，使之尽可能多地包含单项式、多项式，并指出单项式的系数、多项式的次数。 3．举例说明合并同类项、去括号法则。它们的依据是什么？ 4.整式的加减运算与数的加减运算有什么联系与区别？ 5.请你设计一个数字游戏问题，并用所学知识加以解释 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
课堂练习 1.让同伴在心里想一个任意有理数（记为），不要说出来； 按以下步骤计算： ① 把这个数乘3；② 加6；③ 除以3；④ 减原数；⑤ 加2； 让同伴说出最终结果，你能立刻说出“结果一定是4”，并解释原因。 2.开学季，某班需采购笔记本和签字笔。已知笔记本每本8元，签字笔每支3元，若购买本笔记本和支签字笔，求采购总费用 3.用一张长方形硬纸板制作无盖收纳盒，纸板长为cm，宽为cm，从四角各剪去一个边长为cm的正方形（），求收纳盒的底面积。 4.小明骑自行车从家到学校，原计划速度为km/h，需小时到达。若某天他提速2km/h，求当天到达学校所需时间。 5.某校园书店推出优惠： 单本《数学练习册》售价15元，单支“学霸笔”售价4.5元； 购买2本及以上练习册，超出2本的部分打8折； 订单满50元免5元运费，不满50元需付3元运费。 若某同学购买本《数学练习册》（为正整数）和支“学霸笔”，求该同学的实际付款金额。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课后作业 请用归纳策略解答下列问题。 的个位数字是多少？ 2．如图3-12，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。 图3-12 （1）剪12刀，绳子变为多少段？ （2）有可能正好剪得101段吗？ 3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图3-13所示。
图3-13 （1）第10行的10个数的和是多少？ （2）你还能找到其他规律吗？试一试！ 4．某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图3-14所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？ 图3-14
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3.4问题解决策略：归纳
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第三单元
课题 问题解决策略：归纳 课时 3.4
课标要求 依据义务教育数学课程标准对七年级数学的要求，本节课需引导学生经历从具体情境（如长方形内点分割三角形、绳子剪开等）中观察特殊情形、归纳一般规律、验证规律合理性、应用规律解决问题的完整过程，发展数学抽象、逻辑推理和数学建模能力，初步掌握归纳这一重要问题解决策略，体会 “从特殊到一般” 的数学思想，提升运用数学方法分析和解决实际问题的意识与能力。
教材分析 本节课是北师大版七年级上册第三章 “整式及其加减” 的问题解决策略课，具有承上启下的作用。它既是对前面所学代数式、整式等知识的综合应用（如用代数式表示归纳出的规律），又聚焦 “归纳” 这一核心问题解决策略，通过长方形内点分割三角形、绳子剪开、幂的个位数字等实例，系统呈现 “理解问题→拟订计划→实施计划→回顾反思” 的问题解决流程，为后续学习更复杂的数学问题（如数列规律、几何图形变化）奠定策略基础，教材设计注重通过动手操作和具体实例降低抽象难度，符合七年级学生的认知特点。
学情分析 七年级学生此前已具备简单的规律探索经验（如找数列、图形的简单规律），但对 “归纳策略” 的完整步骤（从简单情形入手→分析规律→验证合理性→应用规律）缺乏系统认知；抽象思维处于发展阶段，直接解决 “长方形内 35 个点分三角形” 这类复杂问题易感到困难，需借助画图、填表等直观操作辅助；在规律的本质解释（如 “新增 1 个点为何增加 2 个三角形”）和跨情境应用（如从图形规律迁移到幂的个位规律）方面易出现障碍，需要教师引导突破。
教学目标 1.能说出归纳策略的核心步骤（从简单情形入手、找规律、验证规律、应用规律），并能运用该策略解决图形分割、幂的个位数字等问题。 2.通过经历长方形内点分割三角形的规律探索过程，发展观察分析、逻辑推理和抽象概括能力。 3.体会 “从特殊到一般” 的数学思想，感受数学策略在解决复杂问题中的实用性，增强学习数学的兴趣。
教学重点 掌握归纳策略 “从简单情形入手→寻找规律→验证规律→应用规律” 的核心步骤，并能运用该策略解决实际数学问题。
教学难点 理解归纳过程中规律背后的本质原因（如长方形内新增 1 个点导致三角形个数增加 2 个的图形逻辑），并能灵活将归纳策略迁移到不同类型的问题中。
教法与学法分析 教法上采用 “情境导入 + 启发引导 + 动手操作” 相结合的方式，以 “低多边形风格”“绳子剪开” 等情境激发兴趣，通过阶梯式问题（如 “1 个点、2 个点的三角形个数有何规律”）引导学生思考，借助画图、填表等操作活动帮助学生直观感知；学法上以 “自主探究 + 合作交流” 为主，学生通过独立画图分析简单情形、小组讨论规律本质、共同验证规律合理性，主动建构 “归纳策略” 的认知结构，经历 “做数学” 的过程。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 在本章学习过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。 【问题】 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图3-9）。 图3-9 将长方形区域分割成三角形的过程是： 在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形。 如图3-10，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。 图3-10 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 请你画一画当长方形内有3个、4个、5个点时，可分得多少个三角形： 要求：用不同颜色笔标记新增的点和分割线，直观感受 “点的增加如何影响三角形数量” 3个点 4个点 5个点 画完以后，请你回答下列问题： （1）对比 1 个点、2 个点、3 个点的三角形个数，你发现数量变化有什么规律？每次增加 1 个点，三角形个数增加了几个？ 解析： 长方形内有1个点时，三角形个数为4； 长方形内有2个点时，三角形个数为6； 长方形内有3个点时，三角形个数为8； 长方形内有4个点时，三角形个数为10； 长方形内有3个点时，三角形个数为12。 对比可得：每增加 1 个内部点，三角形个数增加 2 个。 （2）为什么每增加 1 个内部点，三角形个数会增加 2 个？试着从图形分割的过程（一个三角形被新点分成三个三角形）解释这个现象。 解析：当在长方形内新增 1 个内部点时，这个点必然落在某个已有的三角形内部。我们把这个新点与该三角形的三个顶点连接，会将原来的1个三角形分割成3个三角形。 此时，三角形的数量变化为：3 - 1 = 2，即每增加 1 个内部点，三角形个数会增加 2 个。 引入 “归纳” 策略的定义，呈现 “低多边形风格” 情境及长方形内点分三角形的问题，明确画图要求（用不同颜色标记新增点和分割线）并引导思考规律。 独立绘制长方形内有 3 个、4 个、5 个点的分割图，观察并对比 1-5 个点的三角形个数，分析数量变化规律并回答问题。 通过直观的画图操作，让学生从简单情形切入感知 “点的增加与三角形个数变化” 的关联，初步建立对归纳策略的认知。
环节二：新知讲解 1.理解问题 （1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 请你尝试画一下当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 当长方形内有 35 个点时，可分得72个三角形 （2）已知条件是什么？目标是什么？ 已知条件： 长方形内点的数量与三角形个数的对应关系：当有 1 个点时，可分得 4 个三角形；当有 2 个点时，可分得 6 个三角形。 分割规则：在长方形内取点，连同 4 个顶点逐步连接，所有连线不相交产生新的点，直到所有区域都变成三角形。 目标：利用上述代数式，计算当长方形内有 35 个点时，可分得的三角形个数。 2.拟订计划 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ 由于35个点数量过多，无法通过直接画图的方式直观分割图形并数出三角形个数，操作繁琐且极易出错，因此必须通过寻找规律来解决。 （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ 容易研究的情形：长方形内有1个点、2个点、3个点等点数较少的情形，可通过直接画图分割，直观数出三角形个数。 发现的规律：每增加1个长方形内部的点，三角形个数增加2个。由此归纳出代数式规律：若长方形内有个点，可分得的三角形个数为。 （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ ①正确性验证： 当n=1时，2×1+2=4，与“1个点时得4个三角形”的已知条件一致； 当n=2时，2×2+2=6，与“2个点时得6个三角形”的已知条件一致； 以此类推，可验证规律的合理性。 ②规律解释： 当长方形内新增1个内部点时，该点必然落在某个已有三角形内部。将此点与该三角形的三个顶点连接，会把原来的1个三角形分割成3个三角形，即增加了2个三角形。因此，每增加1个内部点，三角形个数增加2个，从而推导出规律2n+2。 3.实施计划 写出你的解决方案，并说明其中的道理 ① 绘制并分析少量点的情况 画长方形内有1个点的分割图，数出三角形个数为4； 画长方形内有2个点的分割图，数出三角形个数为6； 画长方形内有3个点的分割图，数出三角形个数为8； 画长方形内有4个点的分割图，数出三角形个数为10。 ②寻找数量变化规律 对比以上结果：4→6→8→10，发现每增加1个内部点，三角形个数增加2个。 ③递推计算35个点的情况 从1个点开始，到35个点需要增加35-1=34个点。 每增加1个点增加2个三角形，因此总共增加34×2=68个三角形。 初始1个点时有4个三角形，所以35个点时的三角形个数为4+68=72。 小明的思考过程如下。 （1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图3-11）
图3-11 （2）几种简单情形的数据见下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。 长方形内点的个数1234…三角形的个数46810…
（3）猜想是合理的。在长方形内已经有 个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。 当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2；当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2。 因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是 引导学生明确 “长方形内 35 个点分三角形” 的已知条件与目标，分析直接研究的困难，指导学生从简单情形归纳规律、验证规律本质（新增点分割三角形的逻辑），并推导 35 个点的结果。 思考直接研究 35 个点的困难，分析 1-4 个点的规律并归纳代数式，验证规律合理性，计算 35 个点对应的三角形个数。 让学生完整经历 “理解问题→拟订计划→实施计划” 的归纳策略步骤，理解规律背后的图形逻辑，突破 “复杂问题转化为简单情形” 的思维难点。
环节三:延申探究 4.回顾反思 （1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有 个点呢？ 当长方形内有个点时，根据规律“三角形个数”，可得三角形个数为。 一般地，若长方形内有个点，可分得的三角形个数为（为正整数）。 （2）你还能提出并解决什么问题？ 问题：若一个长方形被分割成50个三角形，长方形内有多少个点？ 解答：根据规律2n+2=50，解方程得2n=48，n=24。 因此，长方形内有24个点。 （3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 从简单情形思考的好处： ① 降低思维难度：复杂问题（如35个点）直接研究易陷入混乱，从1个点、2个点等简单情形入手，能直观观察、操作，逐步建立认知。 ② 发现规律的突破口：简单情形的数量变化具有“重复性、规律性”，是归纳一般结论的关键线索。 ③ 验证结论的依据：推导的一般规律可通过简单情形的已知结果验证，确保结论可靠。 归纳一般性结论的经验： ① 多举例，覆盖不同情形：至少选取3 - 5个简单案例（如n=1,2,3,4），观察数量变化的共性。 ② 分析变化的本质原因：不仅关注“数量增加了多少”，更要探究“为什么增加”（如本问题中“内部点分割三角形的过程”），从图形逻辑或数学原理上解释规律。 ③ 严谨验证：用更多简单案例或反向问题（如已知三角形个数求点数）验证规律，确保其普适性。 在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律。初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。 引导学生将规律推广到 “100 个点” 和 “n 个点” 的一般情形，提出反向问题（已知三角形个数求点数），组织讨论 “从简单情形思考的好处” 与 “归纳结论的经验”。 推导 n 个点对应的三角形个数公式，解决 “50 个三角形对应多少个点” 的反向问题，讨论并总结归纳策略的优势与归纳经验。 深化对归纳策略 “从特殊到一般” 核心逻辑的理解，培养学生的规律推广能力与反思意识。 4
环节四：巩固内化，拓展延伸 回顾与思考 1.请你列举一些实际问题并用字母表示其中的数量关系。 （1）文具采购问题 实际情境：开学季，某班需采购笔记本和签字笔。已知笔记本每本8元，签字笔每支3元，若购买本笔记本和支签字笔，求采购总费用。 数量关系：总费用 = 笔记本总价 + 签字笔总价，用字母表示为（表示总费用，单位：元）。 （2）长方形收纳盒制作问题 实际情境：用一张长方形硬纸板制作无盖收纳盒，纸板长为cm，宽为cm，从四角各剪去一个边长为cm的正方形（），求收纳盒的底面积。 数量关系：收纳盒底面长为cm，底面宽为cm，底面积（单位：）。 （3）行程问题 实际情境：小明骑自行车从家到学校，原计划速度为km/h，需小时到达。若某天他提速2km/h，求当天到达学校所需时间。 数量关系：家到学校的路程为km，提速后速度为km/h，所需时间（单位：小时）。 2．设计一个情境，使之尽可能多地包含单项式、多项式，并指出单项式的系数、多项式的次数。 情境：校园书店“开学特惠”活动 某校园书店推出优惠： 单本《数学练习册》售价15元，单支“学霸笔”售价4.5元； 购买2本及以上练习册，超出2本的部分打8折； 订单满50元免5元运费，不满50元需付3元运费。 若某同学购买本《数学练习册》（为正整数）和支“学霸笔”，求该同学的实际付款金额。 ① 当时 练习册费用：（单项式，系数，次数） 学霸笔费用：（单项式，系数，次数） 运费： 若，运费为（单项式，系数，次数）； 若，运费为（单项式，系数，次数）。 ② 当时 练习册费用：（多项式，次数） 学霸笔费用：（单项式，系数，次数） 运费： 若，运费为（单项式，系数，次数）； 若，运费为（单项式，系数，次数）。 3．举例说明合并同类项、去括号法则。它们的依据是什么？ （1）合并同类项 法则：同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同）合并时，只把系数相加，字母和字母的指数保持不变。 举例：化简代数式 步骤：找出同类项：与是同类项，与是同类项； 合并系数：，； 整理结果：。 依据：乘法分配律，即（如，把看作“”）。 （2）去括号法则 法则：括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号不变； 括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号都改变。 举例：化简代数式 步骤： 去第一个括号（前为“”）：； 去第二个括号（前为“”）：； 合并同类项：。 依据：乘法分配律，括号前的系数（或“”）分别乘括号内每一项，即，。 4.整式的加减运算与数的加减运算有什么联系与区别？ （1）联系：核心逻辑一致 ①都遵循“合并同类对象”的思路：数的加减是“合并相同类型的数”（如，）；整式的加减是“合并同类项”（如，）。 ②都满足加法交换律和结合律： 数的加减：； 整式的加减：。 （2）区别：运算对象与结果不同 对比维度数的加减运算整式的加减运算运算对象具体数值（如3、5.2、）含字母的整式（如、）运算结果具体数值（如）可能是整式（如）或数值（如时，）关键步骤直接计算数值先去括号，再合并同类项（需判断同类项）
5.请你设计一个数字游戏问题，并用所学知识加以解释 游戏名称：“猜不透的固定结果” 游戏规则：让同伴在心里想一个任意有理数（记为），不要说出来； 按以下步骤计算： ① 把这个数乘3；② 加6；③ 除以3；④ 减原数；⑤ 加2； 让同伴说出最终结果，你能立刻说出“结果一定是4”，并解释原因。 游戏解释（用整式知识）： 用代数式表示整个运算过程： 设原数为，运算步骤转化为代数式： 化简过程：去括号/约分：； 合并同类项：。 无论取何有理数，化简后结果恒为4，因此能提前确定最终结果。 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。 ①字母表示数 用字母可以表示数、运算律（如加法交换律）、计算公式（如长方形面积）、数量关系（如路程）。 字母表示数能简洁、普遍地表达规律和数量关系。 ②代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式求值：用具体数值代替代数式里的字母，按照运算关系计算结果。 书写规范：数字与字母相乘时，数字在前且省略乘号；带分数要化为假分数；除法运算写成分数形式等。 ③整式 单项式：数与字母的乘积，单独一个数或字母也是单项式。其系数是数字因数，次数是所有字母的指数和。 多项式：几个单项式的和。其中每个单项式是多项式的项，不含字母的项是常数项，多项式的次数是次数最高项的次数。 整式：单项式和多项式统称为整式。 ④整式的加减 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。常数项都是同类项。 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，依据是乘法分配律。 去括号法则：括号前是“”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号都改变。 整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项。 ⑤探索与表达规律 方法：从简单情形（如）入手，观察、分析数量或图形的变化，归纳出一般规律，并用代数式表示。 应用：可用于解决日历数字规律、图形拼接规律（如小棒摆图形）、数字游戏等问题。 引导学生列举实际问题并以字母表示数量关系，指导设计含单项式、多项式的情境，组织举例说明合并同类项与去括号法则，鼓励设计数字游戏，帮助梳理全章知识结构。 列举文具采购、收纳盒制作等实际问题并表示数量关系，设计 “校园书店优惠” 情境分析单项式与多项式，举例说明法则依据，设计 “猜固定结果” 数字游戏并解释，梳理整式及其加减的知识体系。 将归纳策略与整式知识结合，强化跨情境应用能力，帮助学生构建 “概念→法则→应用” 的完整知识框架。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ①掌握了 “归纳” 这一问题解决策略的完整步骤：能从简单情形入手，观察数量或图形变化规律，最终应用规律解决复杂问题 ②理解了归纳过程中规律背后的本质原因 ③学会用数学语言表达归纳出的规律：能将发现的规律转化为代数式 ④积累了运用归纳策略解决不同类型问题的经验 引导学生回顾本节课在知识（归纳策略步骤）、能力（规律分析）、思想（从特殊到一般）上的收获，梳理动手操作、归纳推理等学习方法。 分享 “掌握归纳策略步骤”“理解规律本质” 等收获，总结动手画图、合作讨论等学习方法及 “从特殊到一般” 的数学思想。 帮助学生系统梳理本节课的知识与方法，形成结构化认知，强化学习成果。
板书设计 3.3 问题解决策略：归纳 一、归纳策略核心步骤（以“长方形内点分三角形”为例） 理解问题 已知：1个点→4个三角形，2个点→6个三角形；分割规则：连线不相交 目标：求35个点对应的三角形个数 拟订计划 简单情形：1个点（4）→2个点（6）→3个点（8）→4个点（10） 规律：每增1个点，三角形个数+2（猜想：个数=2n+2） 实施计划 验证：n=1→4，n=2→6（符合）；35个点：2×35+2=72 回顾反思 推广：n个点→2n+2；100个点→202个三角形 二、典型案例与规律 案例类型简单情形规律（代数式）应用结果绳子剪开1刀→4段，2刀→7段段数=3n+112刀→37段3 个位数字3 =3，3 =9，3 =7，3 =1周期为4（3,9,7,1）3 →个位1化合物氢原子数1种→4个，2种→6个氢原子数=2n+260种→122个
三、关键原理 新增1个内部点→落在已有三角形内→连接3顶点→1个变3个→净增2个三角形（规律本质） 依据：乘法分配律（合并同类项、去括号） 清晰呈现本节课的知识结构，帮助学生构建归纳策略的逻辑框架，为后续复习回顾提供直观依据，同时强化 “从简单到复杂”“从具体到抽象” 的思维路径。
作业设计 请用归纳策略解答下列问题。 的个位数字是多少？ 2．如图3-12，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。 图3-12 （1）剪12刀，绳子变为多少段？ （2）有可能正好剪得101段吗？ 3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图3-13所示。
图3-13 （1）第10行的10个数的和是多少？ （2）你还能找到其他规律吗？试一试！ 4．某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图3-14所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？ 图3-14
教学反思 本节课通过“低多边形风格”的生活化情境引入，结合画图操作（用不同颜色标记新增点与分割线），有效降低了学生对“归纳策略”的抽象认知难度，让学生能从长方形内点分三角形的简单情形入手，直观感知数量变化规律，逐步经历“理解问题→拟订计划→实施计划→回顾反思”的完整问题解决流程，不仅掌握了归纳策略的核心步骤，还能通过代数式表示规律，实现了与前期整式知识的有效衔接，达成了“发展数学抽象与逻辑推理能力”的教学目标。同时，反向问题（已知三角形个数求点数）与跨案例延伸（绳子剪开、幂的个位数字）的设计，也帮助学生深化了“从特殊到一般”的数学思想，提升了策略迁移能力。 从改进方向来看，本节课在学生对规律本质的深度理解上仍有提升空间，部分学生虽能归纳出“每增1个点三角形个数加2”的规律，但对“新增点落在三角形内分割为3个三角形”的图形逻辑理解不够透彻，后续可增加动态演示或实物操作环节，让抽象逻辑更具象；此外，在跨情境迁移训练中，部分基础薄弱学生从“图形规律”过渡到“幂的个位数字规律”时存在思维断层，需设计更具梯度的过渡案例（如先从数阵规律入手），并增加小组合作探究的频次，让不同层次学生在交流中互补，进一步突破“规律迁移”的教学难点。
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