人教版九年级上册 第22章 二次函数 单元测试（含答案）

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y=-2（x+1）2的顶点坐标是（　　）
A．（-2，-1） B．（-1，0） C．（-2，0） D．（0，-1）
2．抛物线y=-（x+2）2-1的对称轴是（　　）
A．直线x=2 B．直线x=-2 C．直线x=1 D．直线x=-1
3．若A（0，y1），B（-3，y2），C（3，y3）为二次函数y=-x2+4x-k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
4．将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到抛物线（　　）
A．y=（x+3）2 B．y=（x-3）2 C．y=x2+3 D．y=x2-3
5．已知二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围是（　　）
A．a=2 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=5的根为（　　）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
7．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（-3，2），则此抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图在同一个坐标系中函数y=kx2和y=kx-1（k≠0）的图象可能的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的是（　　）
A．2 B．1 C． D．
10．如图，在直角坐标平面内，O为原点．点M为抛物线y=ax2+bx+c的顶点，那么根据图像，下列结论不正确的是（　　）
A．abc＜0 B．a+b+c＜0 C．a-b+c=0 D．2a+b=0
11．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A（-3，0），当-3≤x≤0时，y的最小值为-4，则m的值为（　　）
A．-2或10 B．10或2 C．2 D．
12．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　）
A．（2，1） B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，则m的取值范围是 ______．
14．抛物线y=2x2-4x-3的对称轴是______．
15．已知函数y=x2-4x+5，当0≤x≤m时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______．
16．已知函数y=（x-1）2+2，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-2kx-（2k+1）．
（1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为直线x=1，求它与x轴的交点坐标．
19．阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 22 24 26
销售量y（千克） 200 180 160
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
20．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标．
21．（2026 江西模拟）已知抛物线Ly=-x2+bx+c（b,c是常数）经过点A（-1，1）．
（1）若抛物线L的对称轴为直线，求b,c的值．
（2）若抛物线L还经过另一点B（m,1），且0＜m＜1，
①求b的取值范围；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在抛物线L上．当x1＞x2，且时，y1＜y2.求m的最大值．
22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a,2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=（x-1）2+2就是“友好二次函数”．
（1）直线y=4x-1上的“友好点”坐标为 ______；
（2）若“友好二次函数”y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（3）若“友好二次函数”的图象过点（-2，8），且顶点在第一象限．
①当m-1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值；
②已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、B 4、B 5、D 6、A 7、B 8、C 9、B 10、A 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、m＞1； 14、直线x=1； 15、2≤m≤4； 16、1； 17、-7；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵y=x2-2kx-（2k+1），
∴Δ=（-2k）2-4×1×[-（2k+1）]
=4k2+8k+4
=4（k2+2k+1）
=4（k+1）2，
∴Δ=4（k+1）2≥0，
即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点．
（2）∵y=x2-2kx-（2k+1），
∴对称轴为直线，
∵该二次函数y=x2-2kx-（2k+1）图象的对称轴为直线x=1，
∴k=1，
即y=x2-2×1×x-（2×1+1）=x2-2x-3，
依题意，令y=0，则x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴它与x轴的交点坐标分别为（3，0），（-1，0）．
19、解：（1）设y=kx+b,将x=22，y=200和x=24，y=180分别代入y=kx+b得，
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+420（16≤x≤28）；
（2）由题意得，w=（x-16）（-10x+420）=-10x2+580x-6720=-10（x-29）2+1690，
∵-10＜0，16≤x≤28，
∴当x=28时，w的值取最大，=-10+1690=1680元，
答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元．
20、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴A（-3，0）；
（2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3），
∵点D位于第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m,
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为．
21、解：（1）∵抛物线L的对称轴为直线x= ，
∴-=-，解得：b=-．
∵抛物线 L：y=-x2-x+c经过点A（-1，1），
∴-1++c=1，
∴c=．
（2）①方法一：∵抛物线L经过A（-1，1），B（m,1），
∴抛物线L的对称轴为直线 x=，
∴=，
∴b=m-1．
∵0＜m＜1，
∴-1＜m-1＜0，
∴b的取值范围为-1＜b＜0．
方法二：将A（-1，1）代入 y=-x2+bx+c,
得-1-b+c=1，
∴c=b+2，
∴y=-x2+bx+b+2．
又∵抛物线L过点B（m,1），
∴-m2+bm+b+2=1，
∴bm+b=m2-1．
由0＜m＜1，可知m≠-1，
∴b=m-1，
∵0＜m＜1，
∴-1＜m-1＜0，
∴-1＜b＜0．
②方法一：将A（-1，1）代入 y=-x2+bx+c,
得-1-b+c=1，
∴c=b+2．
由①可知，b=m-1，
∴c=m+1，
∴y=-x2+（m-1）x+m+1，
∴y1=-+（m-1）x1+m+1，y2=-+（m-1）x2+m+1，
∵y1＜y2，
∴-+（m-1）x1+m+1＜-+（m-1）x2+m+1，
∴（x2-x1）（x2+x1）-（m-1）（x2-x1）＜0，
∴（x2-x1）（x2+x1-m+1）＜0．
∵x1＞x2，
∴x2-x1＜0，
∴x2+x1-m+1＞0，
∴x2+x1＞m-1．
又∵x1+x2＞-，
∴m-1≤-，
∴m≤，
∴m的最大值为；
方法二：∵抛物线L的对称轴为直线x=，
则点P1（x1，y1）到直线的距离d1=|x1-|，点P2（x2，y2）到直线的距离d2=|x2-|．
∵抛物线L的开口向下，
∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小，
∴当y1＜y2时，d1＞d2，
∴＞，即 （x1-）2＞（x2-）2，
整理，得 -＞b（x1-x2），
∴（x1+x2）（x1-x2）＞b（x1-x2）．
∵x1＞x2，
∴x1-x2＞0，
∴x1+x2＞b.
又x1+x2＞-，
∴b≤-，
由①可知，b=m-1，
∴m-1≤-，
∴m≤，
∴m的最大值为．
22、解：（1）设直线y=4x-1上的“友好点”的坐标为（b,2b），
∴2b=4b-1，
解得：，
∴，
∴直线y=4x-1上的“友好点”坐标为，
故答案为：；
（2）∵函数y=-x2+bx+c是“友好二次函数”，设它的顶点为（h,2h），
∴y=-（x-h）2+2h,
由题意知，“友好二次函数”y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，
∴与y轴交点为（0，0），
将（0，0）代入y=-（x-h）2+2h得：
0=-h2+2h,
解得：h1=0，h2=2，
当h=0时，y=-x2；
当h=2时，y=-（x-2）2+4=-x2+4x,
∴这个“友好二次函数”的表达式为y=-x2或y=-x2+4x；
（3）“友好二次函数”的图象过点（-2，8），且顶点在第一象限．设“友好二次函数”的解析式为，
∴，
解得h1=2，h2=-14，
∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴h＞0，
∴h=2，
∴．
①∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4），
当m≤2时，m-1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=m时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m≤2，
∴，
当，即2＜m≤3时，函数的最小值为4，
∴不存在最小值为6；
当m-1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=m-1时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m＞3，
∴，
综上所述，m的值为或；
②．已知点M（5，4），N（1，n），线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点，如图，
∵N（1，n），
∴点N在直线x=1上运动，
设直线x=1与“友好二次函数”交于点C，
当x=1时，，
∴，
设二次函数的顶点为A，
∴A（2，4），
∵M（5，4），
∴当点B的坐标为（1，4）时，此时点B、A、M共线且与二次函数的图象只有一个交点，
当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点；
当点N在点B时，线段MN与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为或n=4．