苏科版九年级下册 5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）

苏科版九年级下 5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点个数为（　　）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列二次函数的图象与x轴有两个不同的交点的是（　　）
A．y=x2 B．y=x2+4 C．y=3x2-2x+5 D．y=3x2+5x-1
3．已知二次函数y=（a-1）x2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜-2
4．若二次函数y=x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．6
5．二次函数y=2x2-2x+m（m为常数）的图象如图所示，如果当x=a时，y＜0，那么当x=a-1时，函数值（　　）
A．y＜0 B．0＜y＜m C．m＜y＜m+4 D．y＞m
6．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．-2＜x＜2 B．-4＜x＜2 C．x＜-2或x＞2 D．x＜-4或x＞2
7．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c=0的解为（　　）
A．x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=3
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1
8．若关于x的方程x2+px+q=0没有实数根，则函数y=x2-px+q的图象的顶点一定在（　　）
A．x轴的上方 B．x轴的下方 C．x轴上 D．y轴上
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，若∠OBC=∠OCA，则ac的值为（　　）
A．-1 B．-2 C． D．
10．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；
③当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x=-1或x=3时，函数的最小值是0；
⑤当x=1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共5小题）
11．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线是x=1，它与x轴的一个交点是（3，0），则它与x轴的另一个交点是______．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ______．
13．如图，二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ______．
14．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为 ______．
15．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0）和（3，0），关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0（c≠0）的两个根分别是m和n,则= ______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax（x-2）+c（a为常数，且a＞0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当-2＜x＜-1时，抛物线在x轴上方，当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方，求a,c满足的关系式；
（3）已知该二次函数图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于m-1＜x1＜m,m＜x2＜m+1，总有y1＜y2，求m的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标．
19．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（2，-1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由．
20．如图1，抛物线y=ax2-2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标．
苏科版九年级下 5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、B 7、C 8、A 9、A 10、A
二．填空题（共5小题）
11、（-1，0）； 12、-2＜x＜6； 13、x＜-2或x＞8； 14、两个相等的实数根或两个不相等的实数根； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）已知二次函数y=ax（x-2）+c（a为常数，且a＞0）．
∵二次函数y=ax（x-2）+c=ax2-2ax+c,
∴对称轴为直线；
（2）∵当-2＜x＜-1时，抛物线在x轴上方，对称轴为直线x=1，
∴由对称性可知当3＜x＜4时，抛物线也在x轴上方．
∵当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方，
∴抛物线经过（3，0），即3a+c=0；
（3）由题意可得：当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵m-1＜x1＜m,m＜x2＜m+1，
∴x1＜x2，总有y1＜y2
∴当x=m-1≥1时，y随x的增大而增大，则y1＜y2始终成立，
解得m≥2；
当x=m-1＜1时，y随x的增大而减小，此时m＜2，
如解图，
要使y1＜y2，则x=m-1和x=m在对称轴两侧，且直线x=m-1到直线x=1的距离小于等于直线x=m到直线x=1的距离，
即1-（m-1）≤m-1，
解得
∴，
综上所述．
17、解：当时，函数表达式为y=12x+6，令y=0，得，不符合题意，
当时，在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4中，令y=0，得0=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，
解得或，
∵，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6，
解得或a=-2或或a=-1或a=0或或a=1或，
∵a是整数，
∴a=-2或a=-1或a=0或a=1．
18、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴A（-3，0）；
（2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3），
∵点D位于第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m,
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为．
19、解：（1）∵顶点D的坐标为（2，-1），
∴设y=a（x-2）2-1，
将点C（3，0）代入得：a（3-2）2-1=0，
解得：a=1，
∴y=（x-2）2-1；
（2）△ADC是直角三角形，
当x=0时，y=（x-2）2-1=3，
∴A（0，3），
∵C（3，0），D（2，-1），
∴AC2=32+32=18，AD2=22+42=20，CD2=12+12=2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ADC是直角三角形．
20、解：（1）把B（3，0），C（0，-3），代入y=ax2-2x+c（a≠0）得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3；
（2）在二次函数y=x2-2x-3中，令y=0，得x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为yBC=kx+b,将B（3，0），C（0，-3）代入得，
，解得，
∴直线BC的解析式为yBC=x-3，
设P（x,x2-2x-3），（0＜x＜3），
∵PM∥y轴，
∴M（x,x-3），
∴，
∵-1＜0，
∴当时，PM最大值为，此时．