4.1指数同步练习（含解析）-2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

4.1 指数
4.1.1n次方根与分数指数幂
4.1.2无理指数幂及其运算性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础巩固
题型一：根式
1．下列说法正确的个数是（ ）
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二：分数指数幂
3．将化成分数指数幂的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．求值： .
题型三：实数指数幂的运算性质
6．（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．（多选）下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知正数、满足 ，则 的最小值为 ．
二、 能力提升
10．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．用分数指数幂表示其结果是
A． B． C． D．
12．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
14．化简的结果为（ ）
A． B．
C． D．
15．2023年8月29日，华为发布了备受瞩目的Mate 60系列智能手机，在国际市场上引起了广泛关注.尽管面临外国技术封锁和制裁，华为仍然凭借自主研发的创新技术，成功推出了这款被网友称为“争气机”的新一代旗舰产品.Mate 60系列手机搭载了华为自主研发的最新芯片，其性能和稳定性得到了极大提升.在电池续航、图像处理和用户体验等方面均有显著突破，展现了华为在高科技领域的实力和韧性.华为Mate 60智能手机的核心部件之一是其自主研发的芯片，研究发现，该芯片的性能随着时间的推移会经历指数型衰减.假设芯片的性能衰减可以用函数大致描述，其中表示时间（单位：年），是经过年后的性能指标，是测试开始时的初始性能指标量.则根据上述函数模型，若该芯片使用5年，性能大约降至最初的（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
16．设，若为定值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
18．写出使等式成立的一个实数的值可以是 ．
19．计算与化简：
(1)；
(2)；
(3)计算：；
(4)化简．
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
《4.1 指数》参考答案
题号 1 2 3 4 6 7 8 10 11 12
答案 B C A C B D ABC D B A
题号 13 14 15 16 17
答案 ABD D B B D
1．B
【解析】根据根式的概念和性质求解.
【详解】①16的4次方根应是±2；②=2，
由根式的性质得③④.正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查根式的概念和性质，属于基础题.
2．C
【分析】根据根式的性质化简得解.
【详解】，.
因为，故，所以.
故选：C
3．A
【分析】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解.
【详解】.
故选：A.
4．C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，，
显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
5．28
【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果.
【详解】
.
故答案为：28.
6．B
【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：B
7．D
【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案.
【详解】由，得，而，则，
所以.
故选：D
8．ABC
【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则判断．
【详解】；；
，；，
故ABC均错，D正确，
故选：ABC．
9．
【分析】运用指数运算可得出，利用乘“1”法，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
10．D
【分析】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项.
【详解】A.，故A错误；B.，故B错误；
C.，故C错误；D. ，故D正确.
故选：D
11．B
【分析】根据根式与分数指数幂运算的互化原则直接化简即可得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题》
12．A
【分析】先根据二次根式的性质：将和分别化简，然后相加即可.
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题，要特别注意．
13．ABD
【分析】A选项，对两边平方可得结果；
B选项，先计算，开方即可；
C选项，先计算，再结合，开方求出答案；
D选项，使用立方和即可求解.
【详解】两边平方得：，
所以，A正确；
，
因为的大小不确定，所以，B正确；
，
因为，所以，C错误；
由立方和公式可得：
，
D正确.
故选：ABD
14．D
【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.
【详解】，.
故选：D
15．B
【分析】根据题给条件将5代入函数，利用指数的负指数幂化正指数幂公式化简可求得，再根据即可求解.
【详解】该芯片使用5年，性能指标为.
.
故选：B.
16．B
【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解.
【详解】由题意当时，不为定值，
当时，为定值，
综上所述：实数的取值范围为，故B正确.
故选：B.
17．D
【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
18．（答案不唯一）
【分析】根据指数的运算化简，即可得解.
【详解】由已知，
即，
则，，
故答案为：.
19．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果；
（2）利用指数幂的运算性质化简可得出结果；
（3）利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解；
（4）利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解．
【详解】（1）原式；
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
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