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第4章 三角形
4.2.2 证明，举反例
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。
2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。
3.经历“猜想—验证—反驳—修正”的完整探究，体会反例在数学发现中的价值。
学习重点：
1.证明的概念与步骤，包括分析命题条件、选择推理依据、逐步推导结论。
2.反例的构造方法，明确命题条件与结论的矛盾点，选取合适的反例验证假命题。
学习难点：
1.复杂命题证明中，准确选择定理、定义和基本事实作为推理依据。
2.针对不同类型的命题，构造具有说服力的反例。
学习过程
一、初步感知
你能判断这些命题的真假吗？
1.越贵的东西质量越好。
2.天气冷就一定会感冒。
3.运动时间越长，健身效果越好。
4.戴眼镜的人学习成绩都好。
5.解答题太复杂，我肯定做不出来。
思考：如何判断一个命题是假命题呢？
二、新知探究
探究一：举反例
教材第98页
判一判：下列命题是真命题还是假命题？你能说明原因吗？
1.若a是有理数，则a是整数。
2.有理数的绝对值是正数。
【定义】举反例：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例2 命题“如果 ，那么 = 0”是真命题还是假命题？
【做一做】用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1) 若 a = b ，则 a = b；
(2) 一个角的余角大于这个角；
(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；
(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
探究二：证明
【思考】如何判断一个命题是真命题呢？
【定义】证明：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例3证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么 a +b ≠0.
三、探究性质
探究三：反证法
教材第99页
例4证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
【定义】反证法：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【做一做】你能用反证法证明本节例3吗？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
2.下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
3.对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
选做题
4.若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ．
5.命题“若，，则”是 命题．（填“真”“假”）
6.4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
【综合拓展类作业】
7.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在证明过程中须注意什么？
六、作业布置
1.已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
2.有下列命题：
①若则a=b；
②若则a=b；
③若ab=0，则a=b=0；
④若a=0，则ab=0.
其中假命题有( ).
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
4.命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故答案为：A.
2.【答案】B
【解析】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例；
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：．，
∴此选项不符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意；
．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，
∴此选项符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
4.【答案】．
【解析】解：在中，若，则，则应假设.
故答案为：．
5.【答案】假
【解析】解：例如a=3，b=4，c=3，满足a≠b，b≠c，但是a=c.所以命题是假命题.
故答案为：假.
6.【答案】1．
【解析】解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾，
下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示：
所以至少有一局为平局.
故答案为：1.
7.【答案】（1）解：一个三角形最多有一个直角，理由：
假设一个三角形有两个直角（每个直角为 90 ），则第三个角的度数为 180 90 90 = 0 ，显然不成立；因此，一个三角形最多有一个直角.
（2）解：一个三角形最多有一个钝角，理由：
假设一个三角形有两个钝角（每个钝角大于 90 ），则两个钝角之和至少为 91 + 91 = 182 ，超过 180 ，与内角和定理矛盾；因此，一个三角形最多有一个钝角.
（3）解：直角三角形的外角不可以是锐角，理由：
假设存在一个锐角的外角，则其相邻内角为 180 锐角结果为钝角，此时三角形存在两个角（原直角和新钝角），与内角和定理矛盾；因此，直角三角形的外角不可能是锐角.
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：不等式组 ，解得，
∵不等式组无解，
∴k+12 ，
解得k1，但题意说命题为假命题，即k<1才符合题意，
∴A符合题意；
故选A.
2.【答案】B
【解析】解：①当a=2，b=-2时，有，此时a≠b，故①是假命题；
② 当时，有a=b，故②是真命题；
③当a=0，b=1时，有ab=0，故③是假命题；
④当a=0时，有ab=0，故④是真命题；
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°
则三角形的三个内角的和大于180°
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
故答案为：C
4．【答案】解：是真命题.
证明：原式.
是自然数，则代数式是自然数.
代数式的值是5的倍数.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.2.2 证明，举反例
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。
01
知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。
02
经历“猜想—验证—反驳—修正”的完整探究，体会反例在数学发现中的价值。
03
02
新知导入
你能判断这些命题的真假吗？
1.越贵的东西质量越好。
2.天气冷就一定会感冒。
3.运动时间越长，健身效果越好。
4.戴眼镜的人学习成绩都好。
5.解答题太复杂，我肯定做不出来。
如何判断一个命题是假命题呢？
03
新知探究
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
判一判：下列命题是真命题还是假命题？
1.若a是有理数，则a是整数。
2.有理数的绝对值是正数。
假命题
0. 1是有理数，但不是整数
假命题
0的绝对值是0，不是正数
03
新知探究
命题“如果 ，那么 = 0”是真命题还是假命题？
例2
解：1×0 = 0，但是 1≠0，
因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题.
03
新知探究
做一做
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1) 若 a = b ，则 a = b；
(2) 一个角的余角大于这个角；
(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；
(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
解：(1) (1)2 = (1)2 = 4，但是 1≠1，
因此“若 a = b ，则 a = b”是假命题.
03
新知探究
解：(2) 一个角是 45°，它的余角是 45°，但是 45°＜45°，
因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
(2) 一个角的余角大于这个角；
(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；
(3) |a+b| = |1+(1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|1| = 1+1 = 2，
但是 0≠2，因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题.
03
新知探究
(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
(4) 在一个等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，比如等腰三角形的两个底角都为 50°，但这两个角并不是对顶角.因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题.
03
新知探究
思考：如何判断一个命题是真命题呢
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
已知条件
定义、基本事实、性质等
结论成立
推理
03
新知探究
证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0，那么 a +b ≠0.
例3
证明：若a≠0，则 a 为正数.
又 b 为正数或 0，从而 a + b 是正数，
因此 a +b ≠0.
同理可得，若b≠0，则 a +b ≠0.
03
新知探究
证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
例4
分析：我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
有一个
有两个
有三个
03
新知探究
证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
例4
证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°.
这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，
故假设不成立.
因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
03
新知探究
反证法：
当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法.
03
新知探究
反证法基本步骤：
(1) 假设命题不成立；
(2) 导出矛盾；
(3) 肯定结论.
你能用反证法证明本节例3吗？
03
新知探究
证明：假设 a + b = 0.
因为对于任意实数 a、b，都有 a ≥0，b ≥0，
要使 a + b = 0 成立，则 a = 0 且 b = 0，
由此可得 a = 0 且 b = 0.
这与已知条件“实数 a≠0 或实数 b≠0”矛盾.
所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0，
那么 a + b ≠0.
证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0，那么 a +b ≠0.
例3
03
新知探究
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难；
(2) 需分成很多类进行讨论；
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
的一类命题；
(4) 结论为“唯一”类命题.
03
新知探究
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
(1)与原命题的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、性质矛盾；
(3)与假设矛盾；
(4)与客观事实矛盾.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
A
04
课堂练习
2.下面四个值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
3.对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
B
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ．
5.命题“若，，则”是 命题．（填“真”“假”）
6.4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
假
1
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（1）一个三角形最多有几个直角 为什么
（2）一个三角形最多有几个钝角 为什么
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗 为什么
（1）解：一个三角形最多有一个直角，理由：
假设一个三角形有两个直角（每个直角为 90 ），则第三个角的度数为 180° 90° 90° = 0° ，显然不成立；因此，一个三角形最多有一个直角.
04
课堂练习
（2）解：一个三角形最多有一个钝角，理由：
假设一个三角形有两个钝角（每个钝角大于 90 ），则两个钝角之和至少为 91° + 91° = 182° ，超过 180° ，与内角和定理矛盾；因此，一个三角形最多有一个钝角.
（3）解：直角三角形的外角不可以是锐角，理由：
假设存在一个锐角的外角，则其相邻内角为 180° 锐角结果为钝角，此时三角形存在两个角（原直角和新钝角），与内角和定理矛盾；因此，直角三角形的外角不可能是锐角.
05
课堂小结
举反例:1.符合命题条件
2.不满足命题结论
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
反证法：(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
06
作业布置
2.有下列命题：
①若则a=b；
②若则a=b；
③若，则a=b=0；
④若a=0，则ab=0.
其中假命题有( ).
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
06
作业布置
3.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题 如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明.
解：是真命题.
证明：原式.
是自然数，则代数式是自然数.
代数式的值是5的倍数.
07
板书设计
证明：
举反例：
反证法：
4.2.2 证明，举反例
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《4.2.2 证明，举反例》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《证明，举反例》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第二节第二课时的内容。本节课内容是初中几何逻辑体系的核心内容，承接《4.2.1 定义，命题》中命题真假判断的基础，进一步深化对真命题的严谨性证明与假命题的批判性分析。本节用4个探究活动、3个例题把“证明的规范格式”与“反例的构造策略”显性化，为后续全等三角形、平行四边形等演绎证明奠定语言与思维模板，是几何课程由“说明”走向“论证”的关键跳板。
学习者分析 学生在上一课时已学习命题结构，但存在三个认知障碍：约60%的学生将"举例验证"等同于严格证明，认为"测试几个数成立"就能证明数学命题；构造反例时，45%的学生仅能举出极端特例，缺乏系统寻找反例的策略；书写证明过程时，常出现"因为看起来相等所以相等"等循环论证，逻辑链条的完整性有待加强。
教学目标 1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。 3.经历“猜想—验证—反驳—修正”的完整探究，体会反例在数学发现中的价值。 4.体验严谨推理带来的确定感，树立“一个反例胜过一打例证”的科学精神，培养勇于质疑、乐于合作的学习品质。
教学重点 1.证明的概念与步骤，包括分析命题条件、选择推理依据、逐步推导结论。 2.反例的构造方法，明确命题条件与结论的矛盾点，选取合适的反例验证假命题。
教学难点 1.复杂命题证明中，准确选择定理、定义和基本事实作为推理依据。 2.针对不同类型的命题，构造具有说服力的反例。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 你能判断这些命题的真假吗？ 1.越贵的东西质量越好。 2.天气冷就一定会感冒。 3.运动时间越长，健身效果越好。 4.戴眼镜的人学习成绩都好。 5.解答题太复杂，我肯定做不出来。 思考：如何判断一个命题是假命题呢？学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真思考，举手回答问题活动意图说明：通过生活问题导入，唤起学生求知的欲望，调动学生思维的积极性，激发学生学习新知识的兴趣，有利于活跃课堂教学氛围。环节二：新知探究教师活动2： 探究一：举反例 判一判：下列命题是真命题还是假命题？你能说明原因吗？ 1.若a是有理数，则a是整数。 2.有理数的绝对值是正数。 【定义】一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2 命题“如果 ，那么 = 0”是真命题还是假命题？ 解：1×0 = 0，但是 1≠0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. 【做一做】用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1) 若 a = b ，则 a = b； (2) 一个角的余角大于这个角； (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. 探究二：证明 【思考】如何判断一个命题是真命题呢？ 【定义】证明：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 例3证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么 a +b ≠0. 证明：若a≠0，则 a 为正数. 又 b 为正数或 0，从而 a + b 是正数， 因此 a +b ≠0. 同理可得，若b≠0，则 a +b ≠0.学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，了解什么是举反例 认真思考，举手回答问题 举手回答问题，举反例 认真听讲 学生认真思考，举手回答问题 学生认真听讲 学生认真作答，举手回答问题 学生认真听讲活动意图说明：引导学生从“判断命题真假”的角度，系统掌握举反例和证明两种逻辑方法，深化对命题本质的理解，初步构建逻辑推理的思维框架。环节三：例题探究教师活动3： 探究三：反证法 例4证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°， 则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 【定义】反证法：当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法的基本步骤： (1) 假设命题不成立； (2) 导出矛盾； (3) 肯定结论. 【做一做】你能用反证法证明本节例3吗？ 证明：假设 a + b = 0. 因为对于任意实数 a、b，都有 a ≥0，b ≥0， 要使 a + b = 0 成立，则 a = 0 且 b = 0， 由此可得 a = 0 且 b = 0. 这与已知条件“实数 a≠0 或实数 b≠0”矛盾. 所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a + b ≠0. 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： (1)与原命题的条件矛盾； (2)与定义、公理、定理、性质矛盾； (3)与假设矛盾； (4)与客观事实矛盾.学生活动3： 认真思考，进行证明 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解反证法的基本步骤 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解应用反证法的一般情形 认真听讲，了解导出矛盾的几种可能活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 举反例：1.符合命题条件 2.不满足命题结论 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 反证法：(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 2.下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 3.对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ） A．， B．， C．， D．， 选做题： 4.若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 5.命题“若，，则”是 命题．（填“真”“假”） 6.4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局. 【综合拓展类作业】 7.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A． B． C． D． 2.有下列命题： ①若则a=b； ②若则a=b； ③若ab=0，则a=b=0； ④若a=0，则ab=0. 其中假命题有( ). A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ） A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②① 【综合拓展类作业】 4.命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明.
教学反思 作业检查中发现学生能模仿例题完成证明，但一遇到“非典型”辅助线便无从下手，提示我后续应补充“条件—目标”双向分析示范；再举反例里，有人把“反例”画成极端特殊图形，虽能驳倒命题，却失去一般性，我临时追加“反例是否越简单越具说服力”的辩论，效果良好。后续可建立“反例档案袋”，让学生长期收集并评比，逐步提升构造与评价反例的能力。
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