第1章一元二次方程易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程 的根是（ ）
A． B．2 C．或 D．2或
3．如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
4．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2024 B．4 C．2022 D．0
6．已知关于的方程均为常数，且的两个根分别是，则方程的两个根分别是（ ）
A． B．
C． D．
7．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依此类推，则当多边形的边数为90时，该多边形是由正（ ）边形“扩展”得到的（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
9．如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，绿地的面积之和为．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为，则可以列关于x的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．题目：“如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，C的坐标分别为，点D的坐标为，点M在边上，P为的中点，当为直角三角形时，求点P的坐标．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙的答案合在一起才完整
B．甲、乙、丁的答案合在一起才完整
C．乙、丙、丁的答案合在一起才完整
D．四人的答案合在一起才完整
二、填空题
11．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则整数m的值可以为 (写一个)．
12．已知m是方程的根，则代数式的值为
13．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共天，每天场比赛．设比赛组织者邀请个队参赛，则根据题意所列方程正确的是 ．
14．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则
15．已知a、b实数且满足，则的值为 ．
16．如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动．将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒．当四边形为菱形时，的值为 ．
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
18．若等边的边长是方程的一个根，求的周长．
19．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）．
(1)若，求x的值；
(2)若，求证：方程总有实数根．
20．“双”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为元时，日销售量为件；当销售价定为元时，日销售量为件．
(1)试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式；
(2)若该网上微店为尽快减少库存积压利用“双”促销这批服装，打算日获利达到元，问这种服装每件售价是多少元？
21．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，且）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程的根为，，，则方程是“邻根方程”，若是直角三角形，斜边的长为，的两边、的长是一个“邻根方程”的两个实数根，且，求的长
22．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为
(1)连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
23．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
(1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克．
(2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克，
（i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空）
（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？
《第1章一元二次方程易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B D A C C B
1．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
利用一元二次方程的定义逐项进行判断即可，含有一个未知数，并且所含未知数项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【详解】解：A.当时，该选项不是一元二次方程，不符合题意；
B.该选项是分式方程，不符合题意；
C.该选项整理后，不含二次项，是一元一次方程，不符合题意；
D.该选项是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】此题考查了解一元二次方程—直接开平方法．利用直接开平方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
解得：．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解．
【详解】解：、是一元二次方程的两个根，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程的常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再将方程左边写成平方的形式即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系．
根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可．
【详解】解：，，
将代入方程可得，
．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．
根据题意把看作一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵的方程的两个根分别是，
∴对方程，，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，即可列方程．
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查图形的变化类，一元二次方程的解法，首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为是解题关键．①边数是，②边数是，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．
【详解】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是，
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是，
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为，
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为，
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．
当多边形的边数为90时，
∴，
解得：或（舍去），
故选：C．
9．C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出长和宽是解题关键．
利用平移的性质，进而表示出长与宽，进而得出答案．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意可得：
，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程．
根据题意分和两种情况讨论即可．
【详解】解：设点M坐标为，
∵P为的中点，
∴，
①当时，即，
此时M与原点重合，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
在中，
∵，
∴，
整理得，
解得，，
∴或．
综上所述，点P的坐标为或或．
故选：B．
11．2(合理即可)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的解与判别式的关系是关键；由题意知，判别式为正数，则得关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得 ，
解得，
∴整数m的值可以为2．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．由题意得，则有，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据比赛总场数的等量关系，参赛的每两个队之间都要比赛一场，最后的总场数应除以，这是解决本题的关键．根据题意，参赛的每两个队之间都要比赛一场，结合一元二次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：设比赛组织者邀请个队参赛，
根据题意得，
故答案为：．
14．或
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴
∴，整理得：，
解得：或，
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
故答案为：或．
15．3
【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可．
【详解】解：设，由原方程得到，
整理，得，
所以或（舍去），
即的值为3．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，根据菱形的性质得，故，，理解题意得，结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动．设点运动的时间为秒．
∴，
则，
在中，，
∴，
整理得，
∴，
∴解得（舍去），
故答案为：
17．(1)
(2)．
【分析】本题考查了利用因式分解的方法解二次方程，熟练掌握解方程的方法是解决此题的关键．
（1）采用十字相乘法因式分解即可求解；
（2）采用提公因式法因式分解即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
解得；
（2）解：，
，
，
，
，
解得．
18．等边的周长为．
【分析】本题考查了解一元二次方程，等边三角形的性质，先解方程，再根据等边三角形的性质和周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴等边的边长为，
∴等边的周长为．
19．(1)x的值为1或
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，
对于（1），先得出一元二次方程的一般形式，再根据因式分解法求解即可；
对于（2），求出，再整理可得结果，然后根据结果判断即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
解得，
∴x的值为1或；
（2）证明：∵，
∴，
∴
，
∴方程总有实数根．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据时及时，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将、代入，
，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
整理，得：，
解得：，．
减少库存积压，
．
答：这种服装每件售价是70元．
21．的长为．
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意设，则，由勾股定理得，即，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵、的长是一个“邻根方程”的两个实数根，且，
∴设，则，
由勾股定理得：，
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
∴的长为．
22．(1)不存在，见解析
(2)存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或
【分析】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．
（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明．
【详解】（1）解：不存在，
理由：当点在上，即时， ，， ，．
，
，
解得，，均不合题意，舍去．
当点在上，即时， ，．
∵，
∴，解得(不合题意，舍去)．
不存在的值，使的面积为 ．
（2）存在由题意，得 ，， ，．
当时，由题意，得，，
，
，即，
解得．
当时，在中，，
在中，，
，解得不合题意，舍去，．
存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或
23．(1)28
(2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键．
（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（重复利用率），代入数据计算即可；
（2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，（千克），
答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.
（2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为.
（ii）由题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克．
∴.
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克．
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