第2章对称图形-圆易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
第2章对称图形-圆易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．垂线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧
2．已知圆锥的底面圆直径为6，侧面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，是的外接圆，，连接并延长交于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线交于点E，连接，下列结论错误的是（）
A． B．
C． D．四边形为菱形
4．如图，与相切于点A，连接并延长，交于点C，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅲ中最小的内角是，最大的内角是；②Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；③Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②④
6．如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，内接于是的切线，连接并延长交弦于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B．45 C．50 D．
10．如图，已知直线的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心、为半径画弧，与直线交于点，记弧的长为；过点作轴，交直线于点，以为圆心、为半径画弧，交轴于点，记弧的长为；过点作，交轴于点，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，记弧的长为；……；按此规律作下去，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若圆锥的母线长为5，高为4，则此圆锥的底面直径为 ．
12．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ．
13．如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的度数为 ．
14．过圆外一点P作的两条切线，连接，若切线长为的半径为，则线段的长为 ．
15．如图，是的直径，是的切线，切点为A，交于点D，点E是的中点．若的半径为1，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，直线直线， 点在直线上，点，在直线上，以的中点为圆心，的长为半径画弧交直线于点．若，，则的长为
三、解答题
17．如图，为的直径，弦交于点E，，，，则的长是多少？
18．如图，在中，，，用尺规作图法在找一点，以为半径作，使得与相切．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．为的切线，连接并延长交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是．
(1)求证：是的切线．
(2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中如图所示．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标；
(3)在（2）过程中所经过的路径长（结果保留）
22．【问题提出】
（1）如图①，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A，B两点，作，使其与直线l相切，切点为P，在直线l上另取一点Q，连接，，请判断与的大小关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图②是部分足球场的示意图，是球门，一位足球左前锋球员在点P处接到球后，沿方向带球跑动，准备在射线上找一点M将足球射入球门，已知射门角越大，足球越容易被踢进，测得米，米，米，，．若该球员想在射门角度最大时射门，请你帮球员找出射线上点M的位置，并求出此时的长．
《第2章对称图形-圆易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C C D A C B
1．A
【详解】本题考查命题的判断，解题关键是准确记忆垂线段、平行四边形、矩形、圆相关的性质与定理来判断命题真假。
依据垂线段性质、平行四边形对称性、矩形对角线性质、圆中弦与直径的关系等知识，判断命题是否正确。
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是一个基本的几何定理，该选项正确，故符合题意；
B．平行四边形沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，该选项错误，故不符合题意；
C．矩形的对角线相等，但一般情况下不互相垂直，菱形和正方形（特殊的矩形）的对角线才互相垂直，该选项错误，故不符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．当弦是直径时，任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定互相垂直，该选项错，故不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即圆锥的母线长为，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【详解】解：连接，交于点，如图：
由题意得：是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，故A选项不符合题意；
∵
∴，
，
，
∴四边形为菱形，故D选项不符合题意；
∵，
，
∵四边形为菱形，
，
∴四边形为平行四边形，
，
， 故B选项不符合题意；
设，
∴，
∴，
∴，
∴与不一定相等，故C选项符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据与相切于点，可知，所以可得，根据三角形外角的性质可得．
【详解】解：如图所示，连接，
与相切于点，
，
又∵，
，
又，
，
，
．
故选：B ．
5．C
【分析】由六边形是正六边形，得，，由，，，即可判断①；从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，可判断②；证明和都是等边三角形，则，可判断③；证明，得，可判断④，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵六边形是正六边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，
故①说法错误；
∴，
∴，则，
∴Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故②正确；
∵，，
∴和都是等边三角形，
∴，
如图，移动到处，移动到处，
∵，
∴四边形是菱形，
∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，
故③正确；
∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∴，和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，故④说法错误；
综上，正确结论的序号是①②③
故选C．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的综合，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．D
【分析】本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积与等边三角形之间的关系是解题的关键．本题利用等于阴影部分的面积进行计算即可．
【详解】解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点，
，
，
，
为等边三角形，
∴，
，
，
，
在直角中，勾股定理可得：，
，
，
，
阴影部分的面积．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形外角的性质，掌握圆周角定理，切线的性质是关键．
根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，由三角形外角和的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
9．C
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，
∵是弦的垂直平分线，
∴圆心在直线上，
又∵是弦的垂直平分线，，
∴，，
设圆形工件的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴圆形工件的半径为，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，求扇形的弧长，解题关键是牢记弧长公式，同时要求能发现规律，求出扇形半径．
先找出弧的半径的变化规律，再求出圆心角的度数，最后根据弧长的计算公式代入计算即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
将代入得，
∴，
∵，而，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴同理：，
∴同理：，
∴弧长为的弧的半径，
∴的长==，
故选：B．
11．6
【分析】此题考查了求圆锥的底面直径，勾股定理，
勾股定理求出底面圆的半径，进而求得直径即可．
【详解】∵圆锥的母线长为5，高为4，
∴此圆锥的底面半径为
∴此圆锥的底面直径为6．
故答案为：6．
12．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求．
【详解】解：为直径，是的切线，为切点，
，
在中，，
，
对应的圆心角为，圆周角为，
．
13．
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题重点考查切线长定理，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，由切线长定理得，连接，垂直平分线段，勾股定理求出，根据等面积法即可得到问题的答案．
【详解】解；∵过圆外一点P作的两条切线，
，
连接，
则，
∴垂直平分线段，，
∴四边形的面积，
即
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
根据切线的性质得到，求出，的长，得出，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，是的切线，
，
半径为1，
，
，，
，，
，
，
又点E是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
16．
【分析】连接，证明为等边三角形，结合为的中点得，，，由勾股定理得，延长交直线于点，证明得，，进而求得，最后根据弧长公式即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
，，
为等边三角形，
又为的中点，
，，，
，
如图，延长交直线于点，
直线直线，
，
又，
，
，，
又，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，先证，，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半及垂径定理得到线段关系，再利用勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴弧弧，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
设的半径为r，则，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查了角平分线与圆的作图，正确理解题意，结合角平分线与圆的性质确定圆心是解题的关键．作的角平分线交于点即可．再以D为圆心，为半径画圆即可．
【详解】解：如图所示为所求．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得出，，再证明，得出，从而可得结论；
（2）证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理求出，，从而得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∴．
∵为的切线，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴
∴,
∴，
∴．
20．(1)证明见解析；
(2)阴影部分的面积为．
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，即可得出结论；
（2）分别求出，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图：
∵的半径是，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
，
∴．
21．(1)见解析，；
(2)见解析，；
(3)．
【分析】本题考查了平移，旋转，勾股定理和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用平移的性质作出对应点，然后连接即可；
（2）利用旋转的性质作出对应点，然后连接即可；
（3）用勾股定理求出，再利用弧长公式求解；
【详解】（1）解：如图所示即为所求，；
（2）如图所示即为所求，；
（3）∵，
∴点旋转到点所经过的路径长为．
22．（1），理由见解析；（2）图形见解析；此时的长为米
【分析】（1）设与交于点M，连接，则，根据三角形外角的性质，即可解答；
（2）由（1）得：当过A，B两点的圆O与相切，切点为点M时，此时切点的位置为射门M的位置，
如图，过点O作于点H，延长交于点E，过点E作于点F，连接，则，，再由垂径定理可得米，从而得到米，再根据是等腰直角三角形，可得米，米，，从而得到米，然后根据是等腰直角三角形，设圆O的半径为r米，则米，米， 进而得到米，在中，利用勾股定理可得米，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，设与交于点M，连接，则，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
当点P，Q重合时，，
综上所述，；
（2）由（1）得：当过A，B两点的圆O与相切，切点为点M时，此时切点的位置为射门M的位置，
如图，过点O作于点H，延长交于点E，过点E作于点F，连接，则，，
∵米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，米，，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设圆O的半径为r米，则米，米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴米，
∴米，
即此时的长为米．
【点睛】本题主要考查了切线的基本性质，垂径定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数等掌握相关的性质，找出最大角的条件是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)