第2章二次函数易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第2章二次函数易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
3．观察下面的表格，确定关于的方程的解的取值范围是（ ）
… …
… …
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（　　）
A．或 B．2 C． D．1
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线经过两点，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．已知二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当时，；②若且，则；
③若，则；④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
10．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ．
11．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
12．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表格，判断一元二次方程（为常数，且）的解为 ．
… 0 1 3 5 …
… 16 0 0 …
13．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于x的方程的解为 ．
14．如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ．
15．如图，已知抛物线与轴交于两点，其中，与轴交于点为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中存在一点，恰好使得，为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点坐标 ．
三、解答题
16．抛物线过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)垂直于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围．
18．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（单位：元/）与种植面积x（单位：）之间的函数关系如图，乙种花卉种植费用为15元/．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积，才能使种植总费用w（单位：元）最少？最少是多少元？
19．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和．
(1)由图象可知，不等式的解集是_____；
(2)在什么范围内，随增大而减小？
20．（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
（2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值．
21．抛物线与x轴交于，与y轴交于点，P为抛物线上的动点．设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，若P为抛物线上的动点，且在第一象限内，连接，过P作轴，交直线于点Q．
①请求出直线的解析式；
②请用含m的式子表示的长，写出自变量m的取值范围，并求出的最大值；
(3)如图2，若P为x轴上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点H．设线段的长为l．
①求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②记上问的函数图象为T，若直线与图象T有三个交点，直接写出n的取值范围．
《第2章二次函数易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A C C D C B A D
1．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查抛物线的顶点式的性质，掌握抛二次函数中其顶点坐标为是解题的关键，
在二次函数中其顶点坐标为，对称轴为直线，据此求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律是解题关键．观察表格，首先求出二次函数图象的对称轴为直线，根据第二行的值的变化，即可确定出方程解的范围．
【详解】解：由表格可知，当和时，二次函数的函数值都为，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
由表格可知，当时，，当时，，
，，
∴当时，，当时，，
∵，
∴方程的取值范围为或．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．
由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解．
【详解】解：二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上，
点，到对称轴的距离分别为，，
，
，
解得：，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，是解题的关键．
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得抛物线对应的函数表达式为．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵，在对称轴右侧，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，由当时，，当时，，故，从而，进而可判断C，由抛物线对称性及时可判断D，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断B．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，
故A错误；
由图可得，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
故C错误；
∵抛物线对称轴为直线，时，
∴时，，
故D错误；
∵，
∴当时，，
∴，
∴，即，
故B正确．
故选：B．
8．A
【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解．
【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，
∵，，
∴，
∴，故当最大时，最大；
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．
∴轴，，
则，，，
∴，，
∴，则，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，则，
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，最大值为，
此时，的最大值为，
∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，
则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键．
由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，，即，故①正确；
当且时，则直线和直线关于对称轴对称，
，故②正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，
当时，则，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
把代入抛物线解析式中得，
，
，
∴点的坐标为，，故③正确；
，抛物线对称轴为直线，
，
设，
，，，
，
，
，解得，
，故④错误．
∴正确的有3个，
故选：D．
10．0
【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得；
故答案为：0．
11．
【分析】本题考查了抛物线与与y轴的交点坐标，根据在y轴上的点的横坐标为0，即把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，令，则，
即抛物线与y轴的交点坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．
根据表格中对应值可知对称轴的值，根据二次函数的对称性即可求得．
【详解】解：二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
一元二次方程变形为，
根据表格可得当或时，二次函数值为，
故一元二次方程的解为，
故答案为：
13．，
【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．
观察函数图象可直接写出方程的一个解，二次函数对称轴为直线，根据函数图象与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值，进而可得方程的解．
【详解】解：由二次函数图象可得，
抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线，
则抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，关于x的方程的两个解为：，．
故答案为：，．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值．
【详解】解：∵，，点是的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
∵过作轴的垂线交抛物线于，
∴的横坐标为，纵坐标为．
∵，
∴．
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．或或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，把，代入，求出抛物线的解析式为，得，根据平行四边形的性质分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∴抛物线与轴交于两点，其中，与轴交于点
∴，
解得，
∴，
∵为抛物线的顶点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，关于对称轴对称的点为点，
∴点的横坐标为，
∴；
设
①当为对角线时，由平行四边形对角线互相平分，中点也相同，
∴，，
解得，，
∴点的坐标为；
②当为对角线时，同理可得，
，，
解得，；
∴点的坐标为；
③当为对对角线时，同理可得：
，，
解得，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
16．(1)
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】本题考查二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，
（1）设抛物线解析式为：，利用待定系数法将，，三点代入即可求得函数解析式；
（2）将化成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标及对称轴．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，
∵抛物线过，，三点
∴
解得：
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴顶点坐标为，对称轴为直线．
17．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合应用，运用数形结合思想解答是解题的关键．
（）分别把和代入二次函数解析式解答即可求解；
（）根据题意画出函数图象，由函数图象可知当时，，再求出和时的值，进而即可求解；
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，，
∵点在点的左侧，
∴，，
把代入，得，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵垂直于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，，
∴画函数图象如下：
由函数图象可知，当时，，
当时，，
当时，把代入得，，
解得或，
此时，
∴当时，．
18．(1)y与x之间的函数关系式为
(2)甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）分三种情况，用待定系数法求出y与x的函数关系式；
（2）根据总费用=甲种花卉种植费用+乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，设，
把代入得：，
解得：，
∴；
当时，；
综上所述：y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴，
解得：，
当时，，
∵，即w随a的增大而增大，
∴当时，w最小，最小为（元），
当时，，
∵，对称轴为直线，且，
∴当时，w取最小值，最小为（元），
∵，
∴当时，w取最小值，最小为5625元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
19．(1)或
(2)
【分析】（）根据二次函数图象解答即可求解；
（）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可；
本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为：或；
（2）解：∵二次函数图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小．
20．（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键；
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可；
（2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案；
②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可
【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：每件服装应降价20元；
②设每件服装应降价m元，每天盈利w元，
由题意得，
，
∵，且降价金额不超过30元且不少于5元，
∴当时，w最大，最大为1250，
∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元．
21．(1)
(2)①；②，的最大值为
(3)①；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①设直线的解析式为，再将和代入求解即可；②根据题意表示出点P的坐标为，进而根据和点Q在直线上，求得点Q的坐标为，最后列式表达出的值即可；
（3）①由直线解析式为，抛物线解析式为，设，因为，所以、纵坐标相同，故有，解得，从而有；②当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点，分别求出的值，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）解：与轴交于，与轴交于点，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：①设直线的解析式为，
将和代入得，
解得，
直线的解析式为；
②点P的横坐标为m，且P为抛物线上的动点
点P的坐标为，
，且点Q在直线上，
点Q的坐标为，
，
在第一象限内，且，
的取值范围为，
在，，
解析式的抛物线开口向下，
当，有最大值，最大值为；
（3）解：①由上得，直线解析式为，抛物线解析式为，点坐标为，
，
、纵坐标相同，
解得，
，
，
当时，；
当时，；
；
②如图，当直线与只有一个交点时，即直线与T图象有两个交点，
，
∴
，
解得，
如图，当直线经过点时，即直线与图象T有两个交点，
∴，
∴直线与图象T有三个交点，n的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最大值问题，二次函数与一次函数交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
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