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必背知识点 2
第一单元：有理数 2
第二单元：有理数的运算 3
第三单元：代数式 3
考点精讲（考点知识+示例解析） 4
考点1：正负数表示相反意义的量（第一单元） 4
考点2：有理数混合运算（第二单元） 4
考点3：科学记数法（第二单元） 4
考点4：列代数式（第三单元） 5
考点5：代数式求值（第三单元） 5
重点难点突破（重点难点解析+示例解析） 5
难点1：绝对值的非负性应用（第一单元） 5
难点2：乘方的符号判断（第二单元） 6
难点3：有理数混合运算的符号与顺序（第二单元） 6
难点4：列代数式中的“多/少/倍”关系（第三单元） 6
难点5：代数式的整体代入求值（第三单元） 7
期中考试模拟试卷 8
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 8
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9
三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分） 9
必背知识点
第一单元：有理数
正负数：大于0的数为正数（如3、5.2%），正数前加“-”为负数（如-2、-0.3）；0既不是正数也不是负数，是相反意义量的分界（如盈利记“+”，亏损记“-”）。
有理数分类：
按定义：整数（正整数/0/负整数）、分数（正分数/负分数）；
按符号：正有理数、0、负有理数。
数轴：三要素（原点、正方向、单位长度）；数轴上左边的数＜右边的数。
相反数：只有符号不同的两个数（如2与-2）；0的相反数是0；若a、b互为相反数，则a+b=0。
绝对值：数轴上数a到原点的距离（记|a|），具有非负性（|a|≥0）：
a＞0时，|a|=a；a＜0时，|a|=-a；a=0时，|a|=0。
大小比较：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（如-3＞-5，因|-3|＜|-5|）。
第二单元：有理数的运算
加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减；互为相反数和为0；一个数加0得本身。
运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
减法法则：a-b=a+(-b)（减法转加法，减号变加号，减数变相反数）。
乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0。
运算律：分配律a(b+c)=ab+ac（简化计算常用）。
除法法则：（b≠0，除法转乘法，除数变倒数）；同号得正，异号得负，绝对值相除。
乘方：n个a相乘记（a为底数，n为指数）；负数奇次幂为负（如），偶次幂为正（如）；0的正整数次幂为0。
科学记数法与近似数：
科学记数法：（1≤a＜10，n为整数，n=原数整数位数-1，如）；
近似数：按四舍五入取近似值，明确精确度（如3.14精确到百分位）。
第三单元：代数式
用字母表示数：字母可表示任意数、公式（如三角形面积）、运算律（如a+b=b+a），体现一般性。
代数式概念与书写规范：
概念：数与字母用运算符号连接的式子（如3x、a-2），单独的数/字母也是代数式（如5、m）；
规范：数字写在字母前（3a而非a3）、除法写分数（）、带分数化假分数（）、和差形式带单位加括号（(x+3)米）。
列代数式：分析数量关系（和/差/倍/分），如“a的2倍多5”为2a+5，“商品原价x元打8折”为0.8x。
代数式求值：代入字母取值（负数/分数加括号），按运算顺序计算；可整体代入（如已知x+2y=3，求2x+4y+1=2×3+1=7）。
考点精讲（考点知识+示例解析）
考点1：正负数表示相反意义的量（第一单元）
考点知识：用正负数表示实际生活中相反的量（如收入/支出、上升/下降），明确“正方向”后，反向量用负数表示。
示例解析：
【内蒙古2025】：若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作（ ）
A.+200元 B.-200元 C.+100元 D.-100元
解：盈利为“正”，则亏损为“负”，亏损200元记-200元，故选B。
考点2：有理数混合运算（第二单元）
考点知识：运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），注意符号规则与运算律简化。
示例解析：
（改编自【河北2025】）：计算
解：①先算乘方：（注意：底数是2，非-2）；
②再算乘除：；
③最后算加减：-4+24=20。
考点3：科学记数法（第二单元）
考点知识：将大数/小数表示为（1≤a＜10，n为整数），n=原数整数位数-1（大数）或第一个非0数字前0的个数的相反数（小数）。
示例解析：
【安徽2025】：521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
解：521.7亿=52170000000，整数位数11位，n=11-1=10，故为，选C。
考点4：列代数式（第三单元）
考点知识：结合实际情境（购物、几何、行程），分析“倍、多、少、折”等关系，准确转化为代数式。
示例解析：
【四川广安2025】：一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件售价是______元。
解：8折即原价的0.8倍，售价=0.8a（或），故填0.8a。
考点5：代数式求值（第三单元）
考点知识：代入字母取值（注意符号），按运算顺序计算；整体代入可简化计算（已知含字母的式子的值）。
示例解析：
【四川自贡2025】：若x-2y=3，则2(x-2y)+1的值为______。
解：整体代入x-2y=3，得2×3+1=7，故填7。
重点难点突破（重点难点解析+示例解析）
难点1：绝对值的非负性应用（第一单元）
难点解析：|a|≥0，若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（如|x-1|+|y+2|=0，则x-1=0且y+2=0）。
示例解析：
已知|a-3|+|b+5|=0，求a+b的值。
解：∵|a-3|≥0，|b+5|≥0，且和为0，
∴a-3=0→a=3；b+5=0→b=-5；
∴a+b=3+(-5)=-2。
难点2：乘方的符号判断（第二单元）
难点解析：的符号由底数a的正负和指数n的奇偶决定：正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；注意与的区别（的相反数，是n个-a相乘）。
示例解析：
计算的值。
解：①：先算，再取相反数，得-9；
②：2个-3相乘，即(-3)×(-3)=9。
难点3：有理数混合运算的符号与顺序（第二单元）
难点解析：易漏符号（如减法转加法时减数未变号）、混淆运算顺序（如先算加减再算乘除），需严格按“先乘方→再乘除→最后加减”计算，步骤清晰。
示例解析：
计算
解：①乘方：；
②乘除：(-2)×3=-6，-(-6)÷2=3；
③加减：-6+3+(-1)=-4。
难点4：列代数式中的“多/少/倍”关系（第三单元）
难点解析：遇到“比a少3的数”（a-3）、“a的3倍多2”（3a+2）时，易混淆运算顺序；需先找“基准量”（如“宽比长短2”，基准量是长，宽=长-2）。
示例解析：
一个长方形的长为x，宽比长的少1，求长方形的周长。
解：①先求宽：宽=；
②。
难点5：代数式的整体代入求值（第三单元）
难点解析：已知式子的值（如x +2x=5），求含该式子的代数式（如2x +4x-3），需将代数式变形为含已知式子的形式，再整体代入。
示例解析：
若m -3m=2，求3m -9m+5的值。
解：①变形代数式：3m -9m+5=3(m -3m)+5；
②整体代入m -3m=2：3×2+5=11。
期中考试模拟试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
下列数中不是正数的是（ ）
A. 5 B. 0.2 C. 0 D.
若向东走 10 米记作 + 10 米，则向西走 15 米记作（ ）
A. +15 米 B. -15 米 C. +5 米 D. -5 米
的相反数是（ ）
A. 7 B. -7 C. D.
有理数 x，y 在数轴上的对应点位置如图所示（x 在 - 1 和 0 之间，y 在 2 和 3 之间），下列结论错误的是（ ）
A. x 0 C. y - 2 > 0 D. |x| > |y|
下列各数中，比 - 1.2 大的数是（ ）
A. -2 B. -1.5 C. 0 D. -3
计算：(-3) - 5 + (-2) 的结果是（ ）
A. -10 B. 0 C. 4 D. 10
据统计，2024 年某省粮食总产量约为 12340000 吨，用科学记数法表示该数为（ ）
A. 1.234×10 B. 12.34×10 C. 1.234×10 D. 1234×10
下列说法正确的是（ ）
A. 0 的相反数是它本身 B. 正数的相反数是正数
C. 负数的相反数是负数 D. 1 的相反数是 1
用代数式表示 “x 的 2 倍与 y 的差的一半”，正确的是（ ）
A. B. C. D.
观察图形规律：第 1 个图中有 3 个三角形，第 2 个图中有 7 个三角形，第 3 个图中有 11 个三角形，…，则第 5 个图中有（ ）个三角形
A. 15 B. 19 C. 23 D. 27
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
计算：7 - (-4) = ________。
数据 表示的原数是________。
若 2a + b = 5，则代数式 4a + 2b - 3 的值为________。
某工厂每天生产 n 个零件，改进技术后每天多生产 5 个零件，改进技术后每天生产________个零件。
按一定规律排列的数：1，-3，5，-7，9，…，第 6 个数是________。
在三阶幻方中，每一横行、竖列及斜对角线上的三个数之和相等。若幻方中某一行的三个数分别为 m，8，n，且另一列的三个数分别为 m，10，p，则 8 + n = ________。
三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分）
（10 分）计算下列各题：
（1）12 + (-18) - (-23)
（2）
（10 分）（1）已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，求 a - 2b 的值；
（2）先化简，再求值：2 (ab - 3a ) + 5ab + 2a - (3ab - a )，其中 a = 1，b = -2。
（10 分）某出租车公司的收费标准如下：3 千米以内（含 3 千米）收费 10 元；超过 3 千米，每千米收费 2.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。
（1）若乘客乘坐出租车行驶了 5.2 千米，应付多少元？
（2）若乘客乘坐出租车行驶了 x（x > 3，且 x 为整数）千米，应付多少元？（用含 x 的代数式表示）
（11 分）观察下列图形与等式的关系：
图 1：1 + 3 = 2 ；
图 2：1 + 3 + 5 = 3 ；
图 3：1 + 3 + 5 + 7 = 4 ；
…
（1）写出图 4 对应的等式；
（2）根据以上规律，写出图 n（n 为正整数）对应的等式；
（3）利用上述规律计算：1 + 3 + 5 + … + 2023。
（11 分）用相同的小正方形拼大长方形，拼第 1 个大长方形用了 2 个小正方形，拼第 2 个大长方形用了 6 个小正方形，拼第 3 个大长方形用了 12 个小正方形，拼第 4 个大长方形用了 20 个小正方形，…（小正方形均不重叠）
（1）请写出拼第 1 个、第 2 个、第 3 个、第 4 个大长方形所用小正方形个数的规律；
（2）求拼第 5 个大长方形所用小正方形的个数；
（3）写出拼第 n 个大长方形所用小正方形的个数（用含 n 的代数式表示），并说明理由。
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期中考试模拟试卷（参考答案及解析）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.
【答案】：C
【解析】：正数是 “大于 0 的数”，分析选项：A.5＞0（正数），B.0.2＞0（正数），C.0 既不是正数也不是负数，D.＞0（正数），因此选 C。
【点睛】：本题考查正数的概念，关键是牢记 “0 是正数与负数的分界，不属于正数”。
2.
【答案】：B
【解析】：题目规定 “向东走记为正”，则 “向西走” 与 “向东走” 是相反意义的量，应记为负；向东走 10 米记作 + 10 米，故向西走 15 米记作 - 15 米，选 B。
【点睛】：用正负数表示相反意义的量时，需先确定 “正方向”，再用 “正符号” 对应正方向，“负符号” 对应反方向。
3.
【答案】：D
【解析】：根据相反数的定义 “只有符号不同的两个数互为相反数”，的符号变为负，即为，因此 的相反数是，选 D。
【点睛】：求分数的相反数，只需改变分数的符号，分子分母保持不变，避免误改分子或分母。
4.
【答案】：D
【解析】：由数轴位置可知-1＜x＜0，2＜y＜3：A.x＜y（负数＜正数，正确）；B.x+1＞0（x＞-1，故 x+1＞0，正确）；C.y-2＞0（y＞2，故 y-2＞0，正确）；D.|x|＜1，|y|＞2，故|x|＜|y|（错误），选 D。
【点睛】：根据数轴确定数的范围后，分析 “符号、绝对值、运算结果” 时，需结合范围逐项验证，避免主观判断。
5.
【答案】：C
【解析】：有理数大小比较规则：“正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小”：A.-2＜-1.2（绝对值 2＞1.2），B.-1.5＜-1.2（绝对值 1.5＞1.2），C.0＞-1.2（正数＞负数），D.-3＜-1.2（绝对值 3＞1.2），因此选 C。
【点睛】：比较负数与其他数的大小时，可先明确 “正数和 0 均大于负数”，再排除负数选项，简化判断。
6.
【答案】：A
【解析】：根据有理数加减混合运算规则，从左到右依次计算：
(-3) - 5 + (-2) = -8 + (-2) = -10（先算 - 3-5=-8，再算 - 8+(-2)=-10）。
【点睛】：有理数加减混合运算可统一为加法（减去一个数等于加它的相反数），再按加法法则计算，避免步骤混乱。
7.
【答案】：A
【解析】：科学记数法表示形式为（1≤|a|＜10，n 为整数）：12340000 的整数位数为 8，故 n=8-1=7，将小数点左移 7 位得 a=1.234，因此表示为，选 A。
【点睛】：用科学记数法表示大数时，n 的值 = 原数整数位数 - 1，a 需满足 1≤|a|＜10，避免 a 的范围错误。
8.
【答案】：A
【解析】：分析各选项：A.0 的相反数是 0（正确，符合相反数定义）；B. 正数的相反数是负数（错误，符号相反）；C. 负数的相反数是正数（错误，符号相反）；D.1 的相反数是 - 1（错误，符号相反），因此选 A。
【点睛】：相反数的核心性质是 “符号相反，绝对值相等”，需牢记 “0 的相反数是自身” 这一特殊情况。
9.
【答案】：B
【解析】：“x 的 2 倍与 y 的差的一半” 需先算 “x 的 2 倍”（2x），再算 “与 y 的差”（2x-y），最后算 “一半”，即：A.是 “x 的 2 倍与 y 的一半的差”，C.是 “x 与 y 的一半的差”，D.是 “x 与 y 的 2 倍的差的一半”，均不符合题意，选 B。
【点睛】：列代数式需遵循 “先读先算，后读后算” 的顺序，遇到 “差、和” 等关键词时，需用括号明确运算顺序，避免歧义。
10.
【答案】：B
【解析】：观察三角形个数规律：第 1 个图 3 个，第 2 个图 7 个（3+4），第 3 个图 11 个（7+4），可知后一个图比前一个图多 4 个三角形，即公差为 4 的等差数列：
第 1 个：3 = 4×1 -1；
第 2 个：7 = 4×2 -1；
第 3 个：11 = 4×3 -1；
第 5 个：4×5 -1 = 19，选 B。
【点睛】：图形规律若为 “依次增加固定数值”，可转化为等差数列（第 n 项 = 首项 +(n-1)× 公差），快速推导结果。
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11.
【答案】：11
【解析】：根据有理数减法法则 “减去一个数等于加它的相反数”，7 - (-4) = 7 + 4 = 11。
【点睛】：有理数减法的关键是 “变减为加，变号”，即 “减负数 = 加正数”，避免符号错误。
12.
【答案】：320000
【解析】：科学记数法中，n=-5 表示将 a 的小数点左移 5 位：3.2 的小数点右移 1 位得 32，右移 2 位得 320，…，右移 5 位得 320000。
【点睛】：将转化为原数时，需将 a 的小数点右移 n 位，若 a 的数位数不足，需补0。
13.
【答案】：7
【解析】：观察代数式4a+2b-3，可变形为2(2a+b)-3；已知2a+b=5，将其整体代入得2×5 - 3 = 10 - 3 = 7。
【点睛】：本题考查 “整体代入法” 求值，关键是将代数式变形为含已知等式的形式，减少计算量，避免求单个未知数。
14.
【答案】：n+5
【解析】：“改进技术后每天多生产 5 个零件”，即改进后的产量 = 原产量 + 5；原产量为 n 个，故改进后每天生产n+5个。
【点睛】：列代数式时，“多生产” 用 “原数 + 增加量” 表示，直接根据数量关系列式，无需复杂变形。
15.
【答案】：-11
【解析】：观察数列 “1，-3，5，-7，9，…”：
符号规律：奇数项为正，偶数项为负（第 6 项是偶数项，符号为负）；
数值规律：依次为 1、3、5、7、9（是连续奇数，第 k 项数值为 2k-1，第 6 项数值为 2×6-1=11）；
综上，第 6 个数为 - 11。
【点睛】：数列规律需分别分析 “符号” 和 “数值”，符号可通过 “奇数项 / 偶数项” 判断，数值可通过 “序号与数值的关系” 推导。
16.
【答案】：10
【解析】：三阶幻方中 “每一横行、竖列的和相等”，设每行和为 S：
某一行：m+8+n=S，故 8+n=S - m；
某一列：m+10+p=S，故 S - m=10；
因此 8+n=10。
【点睛】：幻方的核心性质是 “行和 = 列和 = 对角线和”，可通过 “公共项（如 m）” 建立不同行 / 列的等式，实现未知量的转化。
三、解答题（共 52 分）
17.（10 分）
（1）
【答案】：17
【解析】：根据有理数加减混合运算规则，先去括号：
12 + (-18) - (-23) = 12 - 18 + 23；
再按从左到右顺序计算：12 - 18 = -6，-6 + 23 = 17。
【点睛】：去括号时需注意 “括号前是‘+’，括号内不变号；括号前是‘-’，括号内变号”，避免符号错误。
（2）
【答案】：26
【解析】：根据有理数混合运算顺序 “先乘方，再乘除，最后加减”：
第一步算乘方：；
第二步算乘除：（除以 等于乘 2），注意前面是 “-”，故为-(-8)=8；
第三步算加减：18 + 8 = 26。
【点睛】：混合运算中，“负号” 与 “乘除” 结合时，需先算乘除，再确定符号，避免将 “-(-4)” 误算为 “-4”。
18.（10 分）
（1）
【答案】：-1
【解析】：“最大的负整数” 是 - 1，故 a=-1；“绝对值最小的数” 是 0，故 b=0；
代入a-2b得-1 - 2×0 = -1 - 0 = -1。
【点睛】：本题考查特殊数的性质，需牢记 “最大负整数是 - 1，绝对值最小的数是 0”，这些特殊数是常考考点。
（2）
【答案】：-12
【解析】：第一步化简代数式：
2(ab - 3a ) + 5ab + 2a - (3ab - a )
= 2ab - 6a + 5ab + 2a - 3ab + a （去括号，括号前是 “-”，括号内各项变号）
= (-6a + 2a + a ) + (2ab + 5ab - 3ab)（合并同类项，按 “a ”“ab” 分类）
= -3a + 4ab；
第二步代入a=1，b=-2计算：
-3×1 + 4×1×(-2) = -3×1 + (-8) = -3 - 8 = -12。
【点睛】：化简时需注意 “同类项的判断”（字母相同且相同字母的次数相同），代入时需注意负数与正数相乘的符号（正 × 负 = 负）。
19.（10 分）
（1）
【答案】：17.5 元
【解析】：根据收费标准，不足 1 千米按 1 千米计算，故 5.2 千米按 6 千米计费；
费用分两部分：3 千米内 10 元，超过 3 千米的部分（6-3=3 千米）每千米 2.5 元；
总费用 = 10 + 3×2.5 = 10 + 7.5 = 17.5 元。
【点睛】：“不足 1 千米按 1 千米计算” 是 “进一法” 取整，需先将实际里程向上取整，再分段计算费用，避免直接用实际里程计算。
（2）
【答案】：(2.5x + 2.5)元（或2.5(x - 3) + 10元）
【解析】：x＞3且为整数，费用分两部分：
3 千米内：10 元；
超过 3 千米的部分：(x - 3)千米，每千米 2.5 元，费用为2.5(x - 3)元；
总费用 = 10 + 2.5 (x - 3) = 10 + 2.5x - 7.5 = 2.5x + 2.5$ 元。
【点睛】：分段计费的代数式需明确 “固定费用（3 千米内）” 和 “可变费用（超过部分）”，再合并化简，确保代数式简洁。
20.（11 分）
（1）
【答案】：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5
【解析】：观察已知等式，图 k 对应的等式左边是 “从 1 开始的 k+1 个连续奇数的和”，右边是(k+1) ：
图 1（k=1）：1+3（2 个奇数）=2 ；
图 2（k=2）：1+3+5（3 个奇数）=3 ；
图 4（k=4）：1+3+5+7+9（5 个奇数）=5 ；
故图 4 对应的等式为1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 。
【点睛】：规律等式需观察 “奇数的个数” 与 “右边平方数的底数” 的关系，个数 = 底数，且底数 = 图号 + 1。
（2）
【答案】：1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) （n 为正整数）
【解析】：由（1）的规律推导，图 n 对应的等式左边是 “从 1 开始的 n+1 个连续奇数的和”，最后一个奇数为2(n+1) - 1 = 2n + 1；右边是(n+1) ，验证：左边和 =（个数） = (n+1) ，与右边相等，故规律成立。
【点睛】：连续奇数的和的规律是 “个数的平方”，需明确 “最后一个奇数与个数的关系（最后一个奇数 = 2× 个数 -1）”，再推导一般式。
（3）
【答案】：1012 = 1024144
【解析】：第一步确定 “1 + 3 + 5 + … + 2023” 中奇数的个数：
设最后一个奇数 2023=2k - 1，解得 k=1012，即共有 1012 个连续奇数；
第二步利用规律 “连续奇数的和 = 个数的平方”：
1 + 3 + 5 + … + 2023 = 1012 = 1024144。
【点睛】：利用 “连续奇数和的规律” 计算时，关键是先求 “奇数的个数”，可通过 “最后一个奇数 = 2k -1” 求解 k（个数），再用规律计算。
21.（11 分）
（1）
【答案】：第 1 个：2=1×2，第 2 个：6=2×3，第 3 个：12=3×4，第 4 个：20=4×5
【解析】：观察小正方形个数：
第 1 个：2 个，对应 1×2；
第 2 个：6 个，对应 2×3；
第 3 个：12 个，对应 3×4；
第 4 个：20 个，对应 4×5；
规律为 “第 k 个大长方形所用小正方形个数 = k×(k+1)”。
【点睛】：图形个数规律可通过 “序号与个数的乘法关系” 推导，需对比序号（1、2、3、4）与个数（2、6、12、20）的因数，找到共同规律。
（2）
【答案】：30 个
【解析】：由（1）的规律 “第 k 个个数 = k×(k+1)”，当 k=5 时，个数 = 5×6=30 个。
【点睛】：规律推导后，直接代入序号计算即可，无需重复画图计数，提高效率。
（3）
【答案】：n(n+1)个（n 为正整数）
【解析】：理由：观察序号与个数的关系：
第 1 个：1×(1+1)=2，符合；
第 2 个：2×(2+1)=6，符合；
第 3 个：3×(3+1)=12，符合；
第 n 个：n×(n+1)，验证：拼第 n 个大长方形时，长为 n+1，宽为 n，面积（即小正方形个数）= 长 × 宽 = n (n+1)，故规律成立。
【点睛】：图形规律的验证可结合 “长方形面积公式”（小正方形个数 = 长方形面积 = 长 × 宽），从几何意义上确认规律的合理性，增强说服力。
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