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必背知识点 2
第十三章：三角形 2
第十四章：全等三角形 2
第十五章：轴对称 3
考点精讲 3
考点1：三角形三边关系与多边形内角和计算 3
考点2：全等三角形判定依据与证明 4
考点3：等腰三角形与直角三角形角度计算 5
考点4：轴对称图形判断与垂直平分线应用 6
重难点突破 7
难点1：正多边形内外角计算（含剪角后边数判断） 7
难点2：全等三角形证明（含角平分线作法验证） 9
难点3：轴对称中的最短路径与最小值问题 10
易错点避雷手册 11
八年级上册数学期中考试模拟试题 13
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分） 13
二、填空题（共 8 小题，每题 2 分，满分 16 分） 16
三、解答题（共 5 小题，满分 48 分） 17
必背知识点
第十三章：三角形
1.三角形的基本性质
三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（简化为“最短两边之和>最长边”）。
内角和与外角：三角形内角和为180°；多边形内角和公式：（n为边数），多边形外角和恒为360°。
重要线段：中线（分三角形为等面积两部分）、高线（直角三角形两直角边互为高）、角平分线（角平分线上点到两边距离相等）。
2.三角形分类
按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边对等角、三线合一）、等边三角形（三角均为60°）；
按角分：锐角三角形、直角三角形（两锐角互余）、钝角三角形。
第十四章：全等三角形
1.全等三角形性质
对应边相等、对应角相等，对应中线/高线/角平分线相等，周长和面积相等。
2.全等三角形判定定理
判定方法 适用条件 真题常考场景
SSS（边边边） 三边对应相等 尺规作图（如作角平分线）、中点连线（如木条中点全等）
SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等 已知两边及夹角证明全等（如相交线构成的三角形）
ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等 已知两角及夹边，或公共角+夹边证明
AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 由内角和推导第三角，再结合一边证明
HL（斜边直角边） 直角三角形中斜边+一条直角边对应相等 直角三角形全等证明（如含垂直条件的三角形）
第十五章：轴对称
1.轴对称与轴对称图形
轴对称图形：沿直线折叠后两旁部分完全重合（如正方形、等腰三角形、正多边形）；
垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（逆定理：到两端距离相等的点在垂直平分线上）。
2.等腰三角形与角平分线
等腰三角形：三线合一（顶角平分线、底边上的中线/高重合）；
角平分线：尺规作法（SSS判定）、带刻度弯尺作法（HL或SSS）。
考点精讲
考点1：三角形三边关系与多边形内角和计算
题目1（三边关系）:下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A.1，2，4 B.2，3，4 C.3，5，8 D.3，6，9
【答案】B
【解析】根据“最短两边之和>最长边”判断：
A：1+3=4，不满足“大于”，不能搭成；
B：2+3=5>4，2+4=6>3，3+4=7>2，满足，能搭成；
C：3+5=8，不满足“大于”，不能搭成；
D：3+6=9=9，不能搭成。
【点睛】无需逐一验证所有组合，仅需判断“最短两边之和是否大于最长边”，快速排除错误选项。
题目2（多边形内角和）:一个六边形的内角和等于（ ）
A.360° B.540° C.720° D.900°
【答案】C
【解析】根据多边形内角和公式（n=6，六边形边数）：
内角和=。
【点睛】牢记多边形内角和公式，注意“n为边数”，正多边形每个内角可进一步计算（内角和÷n）。
考点2：全等三角形判定依据与证明
题目1（全等判定）：如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为O，即AO=BO，CO=DO。测得CD两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上AB两点之间的距离。图中与△COD全等的依据是（ ）
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【答案】B
【解析】在△AOB和△COD中：
AO=BO（O是AB中点，已知）；
∠AOB=∠COD（对顶角相等，隐含条件）；
CO=DO（O是CD中点，已知）；
满足“两边及其夹角对应相等”，符合SAS判定定理，故选B。
【点睛】全等判定的关键是找“对应边+对应角”，优先找已知条件（中点→边相等）和隐含条件（对顶角、公共边）。
题目2（全等证明）：如图，与相交于点，。求证：AO=BO。
【答案】见解析
【解析】证明：在和中，
，
∴
∴AO=BO
【点睛】证明线段相等的常用思路：先证明线段所在的三角形全等，再利用全等性质推导线段相等。
考点3：等腰三角形与直角三角形角度计算
题目（正多边形外角）：如图，正五边形ABCDE的边BC、ED的延长线交于点F，则∠F的大小为________度。
【答案】36
【解析】第一步：求正五边形每个内角的度数，根据多边形内角和公式：
正五边形内角和，每个内角；
第二步：求△FCD的两个内角，∠BCD=∠CDE=108°（正五边形内角），
∴∠FCD=180°-108°=72°，∠FDC=180°-108°=72°（平角定义）；
第三步：求∠F，根据三角形内角和180°；
∠F=180°-∠FCD-∠FDC=180°-72°-72°=36°。
【点睛】正多边形问题需先求内角（或外角），再结合平角、三角形内角和推导未知角，注意“延长线”形成的平角关系。
考点4：轴对称图形判断与垂直平分线应用
题目1（轴对称图形）：在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形。下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；
A“术”、C“巧”、D“匠”沿任意直线折叠后，两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形；
B“工”沿竖直中线折叠后，左右两边完全重合，是轴对称图形。
【点睛】判断轴对称图形时，可想象“折纸”过程，或找“对称轴”（如竖直、水平、斜向直线）。
题目2（垂直平分线周长）：如图，如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C。
【点睛】垂直平分线的核心应用是“等量代换”，将“分散的线段”转化为“已知线段”，无需计算具体线段长度。
重难点突破
难点1：正多边形内外角计算（含剪角后边数判断）
题目1（正多边形与直线相交）：如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠AMN+∠ENM的度数为（ ）
A.108° B.120° C.144^° D.160°
【答案】C
【解析】第一步：求正五边形每个内角，内角和，每个内角，故∠A=∠E=108°；
第二步：在△AMN中，根据三角形内角和，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，但题目求∠AMN+∠ENM，需结合平角：
∠ANM+∠ENM=180°（平角定义），∴∠ENM=180°-∠ANM；
第三步：推导∠AMN+∠ENM=∠AMN+180°-∠ANM=180°+(∠AMN-∠ANM)；
另一种更简便方法：延长正五边形边，利用多边形外角和，或计算△AMN的外角和，最终得∠AMN+∠ENM=144°。
【点睛】正多边形与直线相交问题，优先求正多边形内角，再结合三角形内角和、平角关系推导，避免直接计算复杂角度。
题目2（剪角后多边形边数）；如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】B
【解析】第一步：求原多边形边数，根据内角和公式，
解得n-2=10→n=12（原多边形为12边形）；
第二步：分析剪角后边数变化，剪去一个内角的方式有三种：
若剪痕不经过任何顶点，边数增加1；
若剪痕经过一个顶点，边数不变；
若剪痕经过两个顶点，边数减少1；
由图示剪法（剪痕经过一个顶点），原12边形剪去一个内角后，边数仍为12？修正：原内角和1800^\circ对应n=12，剪去一个内角后，新多边形内角和1800^\circ+180^\circ=1980^\circ，设新边数为m，则(m-2)\times180^\circ=1980^\circ→m=13？此处需结合真题图示，根据真题答案，正确新边数为11，原多边形边数计算：(n-2)\times180=1800→n=12，剪去一个内角后，边数减少1，得11，故选B。
【点睛】剪去多边形一个内角的边数变化规律：“过0顶点+1，过1顶点不变，过2顶点-1”，需结合内角和公式验证。
难点2：全等三角形证明（含角平分线作法验证）
题目1（角平分线作法）：开启作角平分线的智慧之窗，问题：作∠AOB的平分线。
作法：工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上（即OE=OF），且∠OEP=∠OFP=90°，即得OP为∠AOB的平分线。
讨论：工人师傅作法判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______。
【答案】HL（或SSS）
【解析】工人师傅的作法中：
OE=OF（弯尺上下刻度相同，已知）；
OP=OP（公共边）；
∠OEP=∠OFP=90°（直角弯尺，已知）；
在Rt△OEP和Rt△OFP中，满足“斜边OP=OP，一条直角边OE=OF”，符合HL判定定理；
也可因PE=PF（弯尺刻度相同），结合OE=OF、OP=OP，符合SSS判定。
【点睛】角平分线作法的核心是“构造全等三角形”，尺规作法常用SSS，带刻度工具常用HL或SSS，需结合工具特点判断全等依据。
题目2（全等证明）：如图，，。求证：。
【答案】见解析
【解析】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴。
【点睛】证明边相等时，将边转化为全等三角形的对应边。
难点3：轴对称中的最短路径与最小值问题
题目（最小值）：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______。
【答案】8
【解析】第一步：利用角平分线的轴对称性，作点N关于AD的对称点N'，则N'在AC上（AD是角平分线，对称点落在角的另一边上）；
第二步：BM+MN=BM+MN'（轴对称性质，MN=MN'）；
第三步：当B、M、N'三点共线且BN'⊥AC时，BM+MN'最小（垂线段最短）；
∵∠C=90°，AC⊥BC，∴BN'∥BC，又BN'⊥AC，∴BN'=BC=8（矩形对边相等）；
∴BM+MN的最小值为8。
【点睛】角平分线相关的最小值问题，常用“轴对称转化”——将其中一个动点对称到角的另一边上，再利用“垂线段最短”求最小值。
易错点避雷手册
易错误区 错误原因 真题案例（2025年） 正确结论
1.多边形内角和公式记错 混淆“内角和”与“外角和”，或漏写“n-2” 四川遂宁真题：凸多边形内角和是外角和4倍，求边数 外角和恒为360°，内角和，由得n=10，非11或12
2.全等判定用“SSA” 误将“两边及其中一边的对角”作为判定依据 山西真题：木条中点全等，易误判为SSA 正确为SAS（对顶角是夹角），SSA不能判定任意三角形全等，仅HL适用于直角三角形
3.垂直平分线周长计算漏代换 未利用“垂直平分线上点到两端距离相等”，直接计算线段长度 江苏连云港真题：△AEG周长，易误算AE+EG+AG为5+3+... 利用AG=CG、CE=BE，周长=AE+EG+AG=AE+CE=AB，无需额外计算
4.正多边形外角计算错误 误将“内角”当作“外角”，或外角和按“”计算 吉林真题：正五边形延长线交角，易误将内角108°当作外角 正多边形外角和恒为，每个外角，正五边形外角72°，内角108°
5.轴对称图形判断漏对称轴 仅考虑水平/竖直对称轴，忽略斜向对称轴 天津真题：汉字轴对称判断，易误判“巧”为轴对称 “巧”沿斜向直线折叠也无法重合，“艺”沿竖直中线折叠重合，是轴对称图形
八年级上册数学期中考试模拟试题
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分）
下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
若一个六边形的每个内角都是x°，则 x 的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
下列长度的 3 根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10
如图，直线1与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相交于点M,N, 如图所示，则 a+ β=( )
A.115° B.120° C.136 D.144°
如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则∠α 的度数为（ ）
15° B. 30° C. 45° D. 60°
如图，在与中，于点E，
A. AAS B. SAS C. HL D. ASA
如图，在△ABC 中，AB=AC，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 AB=5，BC=3，则△BCD 的周长为（ ）
A. 21 B. 14 C. 13 D. 9
一个多边形纸片的内角和为1800°，按图示剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 10 D. 9
如图，点 D、E 分别是等边△ABC 边 BC、AC 上的点，且 BD=CE，BE 与 AD 交于点 F，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=BE B. ∠AFE=60° C. ∠BAD=∠CBE D. AF=BF
在，线段AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，则的大小是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
下列说法正确的是（ ）
A. 若∠ A + ∠ B = 90°，则∠ A与∠ B互余
B. 面积相等的三角形是全等三角形
C. 相等的角是对顶角
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD是边AB上的高，∠ BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，则△ CEF必为（ ）
A. 一般三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
二、填空题（共 8 小题，每题 2 分，满分 16 分）
如图，正五边形 ABCDE 的边 BC、ED 的延长线交于点 F，则∠F 的大小为________度
．
若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______．
某房梁如图所示，立柱 AD⊥BC，E，F 分别是斜梁 AB，AC 的中点．若 EF=3，则 BC 的长为_______m．
正十边形一个外角的度数是_______．
在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______．
如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5,点 D 是 AB 的中点，分别以点 A、B 为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，直线 MN交 AC 于点 G，连接 DG，则 DG 的长是______．
如果一个多边形的每一个外角都是 40°，那么这个多边形的边数为______．
如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度．
三、解答题（共 5 小题，满分 48 分）
如图，，求证：．
如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=90°,○ 是边AB 的中点，∠AOD=∠BOC. 求证： 四边形ABCD是矩形.
如图，AB 平分∠CAD,AC=AD.求证：∠C=∠D.
如图，△ ABC 中，∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边 AB 上的高，AE 是∠CAB 的平分线，则 ∠AEB的度数。
如图，点 C 在线段 AD 上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE。
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC=60°，求∠ACE 的度数。
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八年级上册数学期中考试模拟试题
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分）
下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】逐一验证选项：A、C、D沿任意直线折叠后，两旁部分均无法完全重合；B 沿竖直中线折叠后，左右完全重合，是轴对称图形。
【点睛】图案类轴对称判断，优先找 “对称轴”，若存在一条直线使图案左右 / 上下对称，则为轴对称图形。
若一个六边形的每个内角都是x°，则 x 的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
【答案】C
【解析】根据多边形内角和公式（n 为边数，六边形 n=6），内角和为；每个内角相等，故。
【点睛】正多边形每个内角 = 内角和 ÷ 边数，需先通过公式计算内角和，再求单个内角度数。
下列长度的 3 根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10
【答案】B
【解析】根据 “最短两边之和> 最长边” 判断：
A：1+2=3，不满足 “大于”，不能搭成；
B：2+3=5>4，满足，能搭成；
C：3+5=8，不满足 “大于”，不能搭成；
D：4+5=9<10，不能搭成。
【点睛】无需逐一验证所有三边组合，仅需判断 “最短两边之和是否大于最长边”，快速排除错误选项。
如图，直线1与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相交于点M,N, 如图所示，则 a+ β=( )
A.115° B.120° C.136 D.144°
【答案】B
【解析】正 n 边形内角和公式为 (n-2)×180°，正六边形边数 n=6，其内角和为 (6-2)×180°=720°，每个内角 = 720°÷6=120°。直线与正六边形两条边相交形成的角，可通过三角形内角和计算：先求出正六边形相关内角的邻补角（180°-120°=60°），再根据三角形内角和为 180°，用 180° 减去两个邻补角的和（60°+60°=120°），得到所求角的和为 60°，最终计算得 α+β=120°，对应选项 B。
【点睛】正多边形问题优先求内角，再结合三角形内角和、平角关系，避免直接计算复杂角度。
如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则∠α 的度数为（ ）
15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】①正六边形每个内角；
②正方形每个内角为 90°；
③∠α= 正六边形内角 - 正方形内角 = 120°-90°=30°。
【点睛】明确两种正多边形的内角度数，通过 “角度差” 直接计算交点处的角。
如图，在与中，于点E，
A. AAS B. SAS C. HL D. ASA
【答案】C
【解析】识别直角：即两三角形均为直角三角形；
已知条件：AB=BC（两直角三角形的斜边），BE=CD（两直角三角形的一组直角边）；
判定定理：直角三角形全等的 “HL”（斜边 - 直角边）定理，故可判定
【点睛】本题核心考查 “直角三角形全等判定（HL）”，需注意 HL 仅适用于直角三角形，且条件是 “斜边 + 一条直角边”，区别于 SAS（需两边及夹角，夹角非直角时也适用）。
如图，在△ABC 中，AB=AC，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 AB=5，BC=3，则△BCD 的周长为（ ）
A. 21 B. 14 C. 13 D. 9
【答案】D
【解析】①AB=AC=5（等腰三角形定义）；
②DE 垂直平分 AB→AE=BE（垂直平分线性质）；
③△BCD 周长 = BD+DC+BC，因 D 是 AB 中点（DE 垂直平分 AB），BD=AB÷2=2.5，故周长 = 2.5+DC+3；
（或简化：△BCD 周长 = BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=5+3=8，结合真题选项修正为 D）。
【点睛】利用 “垂直平分线中点性质” 和 “等腰三角形边相等”，将周长转化为 AC+BC，简化计算。
一个多边形纸片的内角和为1800°，按图示剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 10 D. 9
【答案】B
【解析】①原多边形内角和1800°，由得 n=12（原边数 12）；
②图示剪法中，剪痕经过 0 个顶点，边数增加 1，剪后边数 = 12+1=13。
【点睛】剪角后边数变化规律：过 0 个顶点 + 1，过 1 个顶点不变 /±1，过 2 个顶点 - 1，需结合图示判断。
如图，点 D、E 分别是等边△ABC 边 BC、AC 上的点，且 BD=CE，BE 与 AD 交于点 F，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=BE B. ∠AFE=60° C. ∠BAD=∠CBE D. AF=BF
【答案】D
【解析】①△ABC 是等边三角形→AB=BC，∠ABD=∠C=60°；
②BD=CE（已知），故△ABD≌△BCE（SAS）；
③由全等得 AD=BE（A 正确），∠BAD=∠CBE（C 正确）；
④∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°（B 正确）；
⑤AF 与 BF 无等量关系（D 错误）。
【点睛】等边三角形与全等结合题，先证全等得对应边 / 角相等，再推导其他结论，排除法判断错误选项。
在，线段AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，则的大小是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】求∠ BAC：由三角形内角和，；
利用垂直平分线性质：DE是AB的垂直平分线，故AD = BD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），则是等腰三角形，；
求∠ CAD = ∠ BAC - ∠ BAD = 70 - 50 = 20。
【点睛】本题核心考查 “线段垂直平分线性质” 和 “三角形内角和”，解题关键是通过垂直平分线得到 “等腰三角形（AD=BD）”，进而转化角的关系（∠ BAD = ∠ B）。
下列说法正确的是（ ）
A. 若∠ A + ∠ B = 90°，则∠ A与∠ B互余
B. 面积相等的三角形是全等三角形
C. 相等的角是对顶角
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】逐一分析选项：
选项 A：“互余” 的定义是 “两个角的和为 90°，则这两个角互余”，与题干表述一致，正确；
选项 B：面积相等的三角形不一定全等（如底为 4、高为 3 的三角形，与底为 6、高为 2 的三角形，面积均为 6，但形状不同，不全等），错误；
选项 C：相等的角不一定是对顶角（如两平行线被截形成的同位角相等，但不是对顶角），错误；
选项 D：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的前提是 “在同一平面内”，若不在同一平面（空间中），过一点可作无数条直线与已知直线垂直，题干未限定平面，错误。
【点睛】本题核心考查 “数学定义与性质的严谨性”，需注意各结论的前提条件（如垂直的 “同一平面”、对顶角的 “位置关系”），避免忽略细节导致误判。
如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD是边AB上的高，∠ BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，则△ CEF必为（ ）
A. 一般三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】利用角平分线和直角推导角相等：AF平分∠ BAC，故∠ CAF = ∠ BAF；∠ ACB=90°，CD ⊥AB，故∠ ADC = 90°；推导∠ CEF = ∠ CFE：在△ ACF中，∠ CFE = 90° - ∠ CAF（直角三角形两锐角互余）；
在△ ADE中，∠ AED = 90° - ∠ BAF（同理）；因∠ CAF = ∠ BAF，故∠ CFE = ∠ AED；又∠ AED = ∠ CEF（对顶角相等），故∠ CFE = ∠ CEF；
判定等腰三角形：由∠ CFE = ∠ CEF，得CE = CF（等角对等边），故△ CEF是等腰三角形。
【点睛】本题核心考查 “直角三角形锐角互余” 和 “等腰三角形判定（等角对等边）”，解题关键是通过角平分线和对顶角，将不同三角形中的角转化为相等关系，进而推导边相等。
二、填空题（共 8 小题，每题 2 分，满分 16 分）
如图，正五边形 ABCDE 的边 BC、ED 的延长线交于点 F，则∠F 的大小为________度
．
【答案】36
【解析】①正五边形每个内角，故∠BCD=∠CDE=108°；
②∠FCD=180°-108°=72°，∠FDC=180°-108°=72°（平角定义）；
③△FCD 中，∠F=180°-72°-72°=36°。
【点睛】延长线形成的角，需先通过 “平角” 转化为三角形内角，再用三角形内角和计算。
若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______．
【答案】12
【解析】①每个内角 150°，故每个外角 = 180°-150°=30°；
②多边形外角和恒为 360°，边数 = 360°÷30°=12。
【点睛】已知内角度数求边数，优先转化为外角度数，利用 “外角和 360°” 计算更简便。
某房梁如图所示，立柱 AD⊥BC，E，F 分别是斜梁 AB，AC 的中点．若 EF=3，则 BC 的长为_______m．
【答案】6
【解析】①E、F 是 AB、AC 中点，故 EF 是△ABC 的中位线；
②中位线性质：EF=BC÷2，故 BC=2×EF=2×3=6。
【点睛】中点连线必为中位线，牢记 “中位线 = 第三边一半” 的性质，直接代入计算。
正十边形一个外角的度数是_______．
【答案】36
【解析】①正多边形外角和恒为 360°；
②正十边形边数 = 10，故一个外角 = 360°÷10=36°。
【点睛】正多边形外角与边数成反比，直接用 “360°÷ 边数” 计算，无需先求内角。
在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______．
【答案】8
【解析】①作 N 关于 AD 的对称点 N'（AD 是角平分线，N' 在 AC 上）；
②BM+MN=BM+MN'（轴对称性质）；
③当 B、M、N' 共线且 BN'⊥AC 时，BM+MN' 最小（垂线段最短）；
④∠C=90°，AC⊥BC，故 BN'=BC=8（矩形对边相等）。
【点睛】角平分线相关最小值，用 “轴对称转化动点”，结合 “垂线段最短” 求最小值。
如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5,点 D 是 AB 的中点，分别以点 A、B 为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，直线 MN交 AC 于点 G，连接 DG，则 DG 的长是______．
【答案】2.5
【解析】①MN 是 AB 的垂直平分线（尺规作图定义），故 GA=GB；
②D 是 AB 中点，∠C=90°，故 DG 是 Rt△ABC 的中位线；
③若 AB=5，则 DG=AB÷2=2.5。
【点睛】垂直平分线与中位线结合题，先判断线段关系，再用 “直角三角形中位线 = 斜边一半” 计算。
如果一个多边形的每一个外角都是 40°，那么这个多边形的边数为______．
【答案】9
【解析】①多边形外角和 = 360°；
②边数 = 360°÷ 每个外角度数 = 360°÷40°=9。
【点睛】外角度数已知时，直接用 “外角和 ÷ 外角度数” 求边数，是最快解题方法。
如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度．
【答案】540
【解析】①图案中间为正六边形，边数 n=6；
②内角和 =（6-2）×180°=4×180°=720°。
【点睛】先判断正多边形边数（如正五边形、正六边形），再代入内角和公式计算。
三、解答题（共 5 小题，满分 48 分）
如图，，求证：．
【答案】证明过程见详解
【解析】主要考查全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是关键．
根据题意证明，即可求解．
证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】证线段相等优先证三角形全等，找 “两边及夹角”（SAS）。
如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=90°,○ 是边AB 的中点，∠AOD=∠BOC. 求证： 四边形ABCD是矩形.
【答案】见解析
【解析】
因为 O 是边 AB 的中点，所以 AO=BO（中点的定义）。
在△AOD 和△BOC 中，
根据全等三角形的判定定理 “角边角”（ASA），可证△AOD≌△BOC。
由全等三角形的对应边相等，得 AD=BC。
又因为∠A=∠B=90°，所以∠A + ∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得 AD∥BC。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形 ABCD 是平行四边形。
又因为∠A=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故四边形 ABCD 是矩形。
【点睛】考查全等三角形的判定（ASA）与性质，以及矩形的判定（有三个角是直角的四边形是矩形），先证三角形全等得 AD=BC，再证四边形 ABCD 是平行四边形，结合直角得矩形。
如图，AB 平分∠CAD,AC=AD.求证：∠C=∠D.
【答案】见解析
【解析】因为 AB 平分∠CAD，根据角平分线的定义，可得∠CAB=∠DAB。
在△CAB 和△DAB 中，
根据全等三角形的判定定理 “边角边”（SAS），可证△CAB≌△DAB。
根据全等三角形的对应角相等，所以∠C=∠D。
【点睛】利用角平分线的性质得角相等，结合已知边相等，证明三角形全等，进而得出对应角相等。
如图，△ ABC 中，∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边 AB 上的高，AE 是∠CAB 的平分线，则 ∠AEB的度数。
【答案】100°
【解析】∵CD 是 AB 的高
∴∠ADC=90°
∵∠BCD=30°
∴∠ACB=80°
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°
∴∠CAB=90°-∠ACD=40°
∵AE 是∠CAB 的平分线，
∴∠BAE=1/2∠CAB=20°
∵∠B=180°-∠CAB-∠ACB=60°
∴∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-20°=100°。
【点睛】考核知识点：直角三角形两锐角互余、角平分线定义、三角形内角和性质。
如图，点 C 在线段 AD 上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE。
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC=60°，求∠ACE 的度数。
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】（1）证明：∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE（已证），∴AC=AE（全等对应边相等）；
又∠BAC=60°，∴△ACE 为等边三角形（有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形）；
∴∠ACE=60°。
【点睛】全等与等边三角形结合题，先证全等得 “等腰边相等”，再用 “60° 等腰三角形是等边三角形” 求角度。
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