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必背知识点 2
第二十一章一元二次方程 2
第二十二章二次函数 3
第二十三章旋转 3
考点精讲 4
考点1：一元二次方程的解法（基础考点） 4
考点2：二次函数的图象性质（高频考点） 5
考点3：旋转的性质应用（中档考点） 5
重难点突破 6
难点1：一元二次方程的实际应用（利润最值问题） 6
难点2：二次函数与几何综合（面积最值） 6
难点3：旋转与几何综合（构造全等） 7
易错点避雷手册 8
九年级上册数学期中模拟试题 9
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分） 9
二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分） 10
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 10
必背知识点
第二十一章一元二次方程
定义与一般形式
只含一个未知数，最高次为2的整式方程：（a≠0，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项）
注意：a=0时退化为一元一次方程，不属于二次方程。
核心解法
解法 适用场景 关键步骤
直接开平方法 开方得，注意漏负根
因式分解法 左边可分解为两个一次因式乘积 化为，得根
公式法 所有二次方程（通用） 先算判别式Δ=b^2-4ac，再代入求根公式
配方法 二次项系数为1且一次项系数为偶数 移项→化1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方
关键定理与公式
判别式：（Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根）
韦达定理：若的根，则（需满足Δ≥0）
实际应用模型：增长率/下降率，利润问题“利润=（售价-成本）×销量”
第二十二章二次函数
表达式形式
一般式：（a≠0）
顶点式：（(h,k)为顶点坐标，对称轴x=h）
交点式：为与x轴交点横坐标）
图象与性质
性质 a>0（开口向上） a<0（开口向下）
对称轴 （或x=h） （或x=h）
顶点坐标 或(h,k) 或(h,k)
增减性 左减右增 左增右减
最值 顶点处取最小值 顶点处取最大值
平移规律
遵循“上加下减，左加右减”（针对顶点式）：
向上平移m个单位→
向右平移n个单位→
第二十三章旋转
旋转三要素
旋转中心：固定不动的点
旋转方向：顺时针或逆时针
旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角（如∠AOA'，A'为A的对应点）
核心性质
对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA'）
对应线段相等（AB=A'B'）、对应角相等（∠B=∠B'）
旋转前后图形全等
中心对称与中心对称图形
类型 定义 性质
中心对称 两图形绕某点旋转180°重合 对称点连线过对称中心且被平分
中心对称图形 自身绕某点旋转180°与自身重合 如平行四边形、正方形、圆（等边三角形不是）
考点精讲
考点1：一元二次方程的解法（基础考点）
例题：解方程
【答案】
【解析】用配方法求解：
移项：；
配方：
开方：
求解：。
【点睛】配方法的关键是“加一次项系数一半的平方”，确保等式平衡；若系数复杂，可优先用公式法。
考点2：二次函数的图象性质（高频考点）
例题：已知二次函数的图象过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)，判断a、b的符号
【答案】a>0，b<0
【解析】1.由A、B是与x轴交点，得对称轴，即，故b=-2a；
2.图象过C(0,-3)，代入得c=-3；
3.抛物线与x轴交于两点且开口向上（因A、B在x轴上，C在y轴负半轴，图象呈“U”型），故a>0；
4.由b=-2a，a>0得b<0。
【点睛】二次函数系数符号判断：a看开口方向，b看对称轴（“左同右异”，对称轴在y轴左则a、b同号），c看与y轴交点。
考点3：旋转的性质应用（中档考点）
例题：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若AB=4，∠BAC=30°，求∠BAE的度数。
【答案】90°
【解析】1.由旋转性质，旋转角∠BAD=∠CAE=60°（对应点与旋转中心连线的夹角）；
2.已知∠BAC=30°，则∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°。
【点睛】旋转角是“对应点与旋转中心的连线夹角”，需准确识别对应点（如B→D，C→E），避免误将∠BDE当作旋转角。
重难点突破
难点1：一元二次方程的实际应用（利润最值问题）
例题：某文创产品成本30元，售价40元时日售60件，售价每降1元日售多10件，求利润630元时的降价金额。
【答案】降价1元或3元
【解析】1.设降价x元，则每件利润(40-x-30)=(10-x)元，日销量(60+10x)件；
2.列方程：(10-x)(60+10x)=630；
3.整理：；
4.因式分解：。
【点睛】利润问题需明确“单利”和“销量”的表达式，列方程后优先用因式分解法求解；若求最大利润，可将函数化为顶点式（），得降价2元时利润最大640元。
难点2：二次函数与几何综合（面积最值）
例题：矩形花园长24米，一面靠墙，用篱笆围三边，求面积最大时的边长。
【答案】垂直墙边长6米，平行墙边长12米，最大面积72㎡
【解析】1.设垂直墙边长x米，平行墙边长y=24-2x米（篱笆长24米），面积；
2.化为顶点式：；
3.因a=-2<0，顶点(6,72)为最大值点，故x=6，y=12。
【点睛】几何面积问题需用含x的式子表示边长，建立二次函数模型，结合自变量取值范围（如y≤墙长）求最值。
难点3：旋转与几何综合（构造全等）
例题：正方形ABCD中，E、F在AB、BC上，∠EDF=45°，将△DAE绕D逆时针旋转90°得△DCG，求证EF=FG。
【答案】见解析
【解析】1.由旋转性质：△DAE≌△DCG→DE=DG，AE=CG，∠ADE=∠CDG；
2.因∠EDF=45°，∠ADC=90°，故∠ADE+∠FDC=45°→∠CDG+∠FDC=∠FDG=45°；
3.证△EDF≌△GDF（SAS）：DE=DG，∠EDF=∠FDG，DF=DF→EF=FG。
【点睛】正方形、等腰三角形中常用“旋转构造全等”，将分散的线段/角集中，突破证明难点。
易错点避雷手册
易错误区 错误原因 正确结论
一元二次方程忽略a≠0 认为一定是二次方程 需满足a≠0，若a=0则为一次方程（如有实根，需k≤1且k≠0）
二次函数平移“左加右减”错误 将向右平移n个单位化为 向右平移n个单位应为（“左加右减”针对x本身）
旋转角判断错误 误将图形上任意角当作旋转角 旋转角是“对应点与旋转中心的连线夹角”（如△ABC绕O旋转得△A'B'C'，旋转角为∠AOA'）
韦达定理忽略Δ≥0 直接用韦达定理求参数，不验证根的存在性 用韦达定理前需保证Δ≥0（如方程有两正根，需且m>0）
中心对称图形与轴对称混淆 认为等边三角形是中心对称图形 等边三角形绕中心旋转180°不重合，是轴对称图形，非中心对称图形
九年级上册数学期中模拟试题
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分）
【若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）。
A. B. C. 1 D. 4
下列图形中，是中心对称图形的是（ ）。
A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正五边形 D. 等腰梯形
二次函数的顶点坐标为（ ）。
A. (1,-4) B. (-1,-4) C. (1,4) D. (-1,4)
一元二次方程的两根之和为（ ）。
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
将抛物线向右平移 3 个单位，得到的解析式为（ ）。
A. B. C. D.
△ABC 绕点 O 顺时针旋转 60° 得△A'B'C'，若 OA=5，则 OA' 的长度为（ ）。
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 无法确定
下列一元二次方程中，有两个不相等实根的是（ ）。
A. B. C. D.
二次函数的最大值为（ ）。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
正方形 ABCD 绕点 A 旋转得正方形 AB'C'D'，若∠BAB'=30°，则旋转角为（ ）。
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
若的值为（ ）。
A. B. C. D.
二次函数的图象过原点，且开口向下，则（ ）。
A. a>0，c=0 B. a<0，c=0 C. a>0，c≠0 D. a<0，c≠0
下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）。
A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形
二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分）
一元二次方程的根为__________。
二次函数的对称轴为__________。
将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得△A'B'C'，若∠AOB=40°，则∠A'OB'=__________。
若方程有两不等实根，则m的取值范围为__________。
二次函数与y轴的交点坐标为__________。
【试题来源：2025 年山西】点A(2,3)关于原点成中心对称的点坐标为__________。
某公司 2023 年营收 500 万元，2025 年营收 605 万元，年平均增长率为__________。
将抛物线向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位，得到的解析式为__________。
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
解方程：（8 分）
已知二次函数过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)，求其解析式。（10 分）
如图，在正方形 ABCD 中，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90° 得△CBP'，求证：。（12 分）
某商场销售一批衬衫，每件成本 40 元，售价 50 元时月售 500 件，售价每涨 1 元月售减 10 件，求月利润 8000 元时的售价。（14 分）
已知二次函数，求：（1）图象与x轴的交点坐标；（2）当x为何值时，y>0。（16 分）
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九年级上册数学期中模拟试题参考答案及解析
一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分）
【若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）。
A. B. C. 1 D. 4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
【点睛】判别式是判断根的情况的核心，需牢记 “Δ=0时两相等实根”。
下列图形中，是中心对称图形的是（ ）。
A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正五边形 D. 等腰梯形
【答案】B
【解析】中心对称图形的定义是 “绕某点旋转 180° 后与自身重合”。矩形绕对角线交点旋转 180° 重合，其余选项均不满足。
【点睛】区分中心对称图形与轴对称图形：中心对称看 180° 旋转重合，轴对称看对称轴两侧对称。
二次函数的顶点坐标为（ ）。
A. (1,-4) B. (-1,-4) C. (1,4) D. (-1,4)
【答案】A
【解析】将一般式化为顶点式：，故顶点坐标为(1,-4)。
【点睛】配方法是求顶点坐标的常用方法，配方时需注意 “加一次项系数一半的平方” 以保持等式平衡。
一元二次方程的两根之和为（ ）。
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】由韦达定理，对于，两根之和为。此处a=1，b=-3，故和为3。
【点睛】韦达定理需先确认方程为一元二次方程（a≠0），再直接套用公式，避免符号错误。
将抛物线向右平移 3 个单位，得到的解析式为（ ）。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线平移遵循 “左加右减”（针对自变量x），右移 3 个单位需将x替换为x-3，故解析式为。
【点睛】平移规律易混淆 “左加右减” 与 “上加下减”，需注意：左右平移变x，上下平移变常数项。
△ABC 绕点 O 顺时针旋转 60° 得△A'B'C'，若 OA=5，则 OA' 的长度为（ ）。
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 无法确定
【答案】B
【解析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等。A与A'是对应点，故OA'=OA=5。
【点睛】旋转不改变图形的形状和大小，对应线段、对应点到中心的距离均相等，这是解决旋转问题的关键。
下列一元二次方程中，有两个不相等实根的是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】计算各方程判别式：A 中Δ=-4<0（无实根）；B 中Δ=0（两相等实根）；C 中Δ=16>0（两不等实根）；D 中Δ=-15<0（无实根）。
【点睛】判别式的符号直接决定根的情况，计算时需注意符号和系数的准确性。
二次函数的最大值为（ ）。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】由顶点坐标公式，顶点纵坐标为。因a<0，抛物线开口向下，顶点为最大值点。
【点睛】二次函数的最值在顶点处取得，开口方向决定是最大值还是最小值。
正方形 ABCD 绕点 A 旋转得正方形 AB'C'D'，若∠BAB'=30°，则旋转角为（ ）。
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】A
【解析】旋转角是 “对应点与旋转中心的连线夹角”，B的对应点为B'，故旋转角为∠BAB'=30°。
【点睛】旋转角的识别是易错点，需明确 “对应点与中心的连线” 形成的角才是旋转角，而非图形上任意角。
若的值为（ ）。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由韦达定理，两根之积为。此处a=2，c=-1，故。
【点睛】韦达定理中，两根之积的符号由a和c共同决定，需注意负号的处理。
二次函数的图象过原点，且开口向下，则（ ）。
A. a>0，c=0 B. a<0，c=0 C. a>0，c≠0 D. a<0，c≠0
【答案】B
【解析】图象过原点→当x=0时，y=0，故c=0；开口向下→a<0。
【点睛】二次函数系数的几何意义：a决定开口方向，c决定与y轴交点（过原点则c=0）。
下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）。
A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】正方形有 4 条对称轴（轴对称），且绕中心旋转 180° 重合（中心对称）；A、D 仅轴对称，B 仅中心对称。
【点睛】判断复合对称图形时，需分别验证轴对称和中心对称的定义，避免漏判。
二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分）
一元二次方程的根为__________。
【答案】
【解析】因式分解得x(x-5)=0，故根为x=0或x=5。
【点睛】形如的方程，优先用提公因式法分解，避免漏根（如忽略x=0）。
二次函数的对称轴为__________。
【答案】直线x=2
【解析】顶点式的对称轴为直线x=h，此处h=2。
【点睛】顶点式可直接读取对称轴和顶点坐标，比一般式更便捷，建议熟练掌握配方转化。
将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得△A'B'C'，若∠AOB=40°，则∠A'OB'=__________。
【答案】40°
【解析】旋转不改变角的大小，∠A'OB'与∠AOB是对应角，故相等。
【点睛】旋转的 “全等性” 决定了对应角、对应线段相等，这是解决角度计算的核心依据。
若方程有两不等实根，则m的取值范围为__________。
【答案】m<4
【解析】由，解得m<4。
【点睛】已知根的情况求参数范围时，需通过判别式建立不等式，注意不等号方向（两不等实根对应Δ>0）。
二次函数与y轴的交点坐标为__________。
【答案】(0,3)
【解析】令x=0，代入得y=3，故交点为(0,3)。
【点睛】求函数与y轴交点时，直接令x=0计算y值；与x轴交点则令y=0解方程。
【试题来源：2025 年山西】点A(2,3)关于原点成中心对称的点坐标为__________。
【答案】(-2,-3)
【解析】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，故为(-2,-3)。
【点睛】中心对称点的坐标规律：(x,y)→(-x,-y)，与关于坐标轴对称的规律（如关于x轴对称是(x,-y)）区分开。
某公司 2023 年营收 500 万元，2025 年营收 605 万元，年平均增长率为__________。
【答案】10%
【解析】设年增长率为x，则，解得x=0.1（10%），舍去负根。
【点睛】增长率问题公式为（a为初始值，n为年数），计算后需验证结果是否合理（增长率为正）。
将抛物线向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位，得到的解析式为__________。
【答案】
【解析】上移 2 个单位→；左移 1 个单位→（“左加右减” 针对x）。
【点睛】多次平移需分步进行，先处理上下平移（变常数项），再处理左右平移（变x），避免顺序错误。
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
解方程：（8 分）
【答案】
【解析】用因式分解法：
拆项：；
分组：2x(x-3)+1(x-3)=0；
提公因式：(2x+1)(x-3)=0；
求解：2x+1=0或x-3=0→或x=3。
【点睛】二次项系数不为 1 的方程，因式分解时需十字交叉法或拆项分组，确保分解彻底；也可直接用公式法求解。
已知二次函数过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)，求其解析式。（10 分）
【答案】
【解析】1. 代入C(0,-3)得c=-3；
设交点式：y=a(x+1)(x-3)（因过A、B两点）；
代入C(0,-3)：-3=a(0+1)(0-3)→-3=-3a→a=1；
展开得：。
【点睛】已知与x轴交点时，优先用交点式，可简化计算，避免解三元方程组。
【试题来源：2025 年北京】如图，在正方形 ABCD 中，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90° 得△CBP'，求证：。（12 分）
【答案】见解析
【解析】1. 由旋转性质：BP=BP'，∠ABP=∠CBP'（对应角相等）；
正方形中∠ABC=90°，故∠PBP'=∠PBC+∠CBP'=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°；
△PBP' 为等腰直角三角形，由勾股定理：。
【点睛】旋转中常用 “对应边相等” 和 “旋转角等于对应角差” 构造特殊三角形（如等腰直角三角形），结合勾股定理求解线段关系。
某商场销售一批衬衫，每件成本 40 元，售价 50 元时月售 500 件，售价每涨 1 元月售减 10 件，求月利润 8000 元时的售价。（14 分）
【答案】售价为 60 元或 80 元
【解析】1. 设售价上涨x元，则每件利润为(50+x-40)=(10+x)元，月销量为(500-10x)件；
列方程：(10+x)(500-10x)=8000；
整理：；
因式分解：；
售价：50+10=60元或50+30=80元。
【点睛】利润问题的核心是 “总利润 = 单利 × 销量”，需用含x的式子准确表示单利和销量，注意自变量x的取值范围（如销量不能为负）。
已知二次函数，求：（1）图象与x轴的交点坐标；（2）当x为何值时，y>0。（16 分）
【答案】（1）(-1,0)、(3,0)；（2）-1【解析】（1）令y=0，则→x=-1或x=3，故交点为(-1,0)、(3,0)；
（2）抛物线开口向下（a=-1<0），图象在x轴上方时y>0，对应x的范围为两交点之间，即-1【点睛】二次函数与不等式的关系可通过图象直观判断：开口向上时，y>0对应x<小根或x>大根；开口向下时则相反。
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