11.3.2 多边形的内角和

11.3.2 多边形的内角和
一、基 础 题 训 练
1．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）
A．7 B．10 C．35 D．70
3．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）21·cn·jy·com
A．40° B．45° C．50° D．60°
（第3题图） （第7题图） （第10题图）
4．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）
A．27 B．35 C．44 D．54
5．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．六边形的内角和是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．360°
7．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
二、中 档 题 训 练
8．已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是　　　　　　．
9．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转
10．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=　　　　　　．21·世纪*教育网
11．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　　　　　　米．
（第11题图） （第12题图）
12．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于　　　　　　度．www-2-1-cnjy-com
13．（1）如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
（2）用（1）中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．2-1-c-n-j-y
三、综 合 题 训 练
14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90度，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．则AE与FC有什么关系？请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
　
参考答案与试题解析
1．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网
点评：根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
2．
考点：多边形内角与外角；多边形的对角线．21世纪教育网
分析：由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．
解答：解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．
故选C．
点评：本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．　　21*cnjy*com
3．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网
分析：延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．【出处：21教育名师】
解答：解：延长BC交OD与点M，如图所示．
点评：本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和与内角和定理，通过角的计算求出角的角度即可．【版权所有：21教育】
4．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网
分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．
5．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网版
分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
解答：解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）?180°=360°，
解得n=4．
故这个多边形是四边形．
故选B．
点评：本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
　
6．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网
点评：此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键．
7．
考点：多边形内角与外角．21世纪教育网
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
解答：解：五边形的内角和为（5﹣2）?180°=540°，
点评：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．21世纪教育网版权所有
8．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．
解答：解：设该多边形的边数为n
则（n﹣2）×180=×360
解得：n=5
故答案为5．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
9．
考点：多边形内角与外角．
分析：由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．21cnjy.com
10．
考点：多边形内角与外角．
分析：首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解答：解：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正六边形的每个内角是：
（6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）
=30°+12°﹣18°
=24°．
故答案为：24°．
点评：此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
11．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据题意多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．
解答：解：由题意得：360°÷36°=10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120（米）．
故答案为：120．
点评：此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．
12．
考点：多边形内角与外角；直角三角形的性质．
分析：本题利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．
点评：本题是一道根据四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．21教育网
13．
考点：多边形内角与外角．
分析：（1）由四边形的内角和是360°，以及邻补角的和是180°求解即可；
（2）依据（1）的结论可知∠MDA+∠DAN=240°，由角平分线的定义可求得∠EDA+∠EAD=120°，最后再△ADE中由勾股定理可求得∠E的度数．2·1·c·n·j·y
解答：解：（1）∠1+∠2=∠3+∠4．
理由：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
∴∠EDA=∠MDA，∠EAD=∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD=×（∠MDA+∠DAN）=×240°=120°．
点评：本题主要考查的是多边形的内角和，掌握四边形的内角和是360°是解题的关键．
14．
考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：根据四边形的内角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，从而求出所求的角的和．www.21-cn-jy.com
解答：解：在四边形BCDM中：∠C+∠B+∠D+∠2=360°，
在四边形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°．
∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°﹣180°=540°．
点评：本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．　
15．
考点：多边形内角与外角；角平分线的定义；余角和补角．菁
分析：由四边形的内角和推出∠DAB与∠DCB互补，由角平分线推出∠DAE与∠DCF互余，再由∠DFC与∠DCF互余推出∠DFC=∠DAE，所以AE∥CF．
点评：本题考查四边形的内角和、角平分线的定义、互余和互补的性质、及平行线的判定，较难．