上海市黄浦区2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试卷（PDF版，含答案）

2024学年度第一学期高三年级第二次调研考试
数 学 试 卷
2024年 11月
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一
律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共 21道试题．
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分．其中第 1~6题每题满分 4分，第 7~12题每题满分 5分）
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．已知集合 A {x x 2}，B {1,2,3}，则 AI B _____ ．
2．函数 y ln x 的定义域是________．
x 1
3．若 tan 5，则 tan 2 ______．
1 1
4. 已知正实数a、b满足 ab 1，则 的最小值为________.
a b
5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为________.
8
6.
1 4
x 的二项展开式中， x 项的系数为________.
x
a 1 2 1 1 2 1 2 3 7. 已知 ， ， ， ， ，， ， ，函数 y xa的大致图像如图所示，则 a _______.
3 3 3 3

8. 已知向量 a 1,2 ，b 3, 1 ，则向量b在 a方向上的投影的坐标是_______.
9. 已知 ：2x log2 x 2， ：x m，若 是 的充分条件，则实数m的取值范围是_______.

10.已知空间向量 OB1 ， OB2 ， OB3 两两垂直，若空间点 A 满足 | AB1 | | AB2 | | AB3 | 1 ，记

OP OB1 OB2 OB3 ，且 | AP | 1，则 |OA |的取值范围为___________.
11.某公园为了美化环境,计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖
面如图所示，共包括一段圆弧形桥面 ACB和两段长度相等的直线
型桥面 AD、BE，圆弧形桥面 ACB所在圆的半径为 4米，圆心
O在DE上，且 AD和 BE所在直线与圆O分别在连结点 A和B
处相切．已知直线型桥面的修建费用是每米 0.4万元，弧形桥面
高三数学试卷 第 1页 共 5页
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ACB的修建费用是每米 2.5万元，设 ADO ，根据空间限制及桥面坡度的限制， 的范围为
arcsin 1 π ，则当桥面修建总费用最低时 的值为_______________.
3 6
12. 已 知 实 数 x1 、 x2 、 y1 、 y
2
2 满 足 ： x1 y
2
1 1 ， x
2 2
2 y2 1 ， x1x
1
2 y1y2 ， 则2
x1 y1 1 x2 y2 1 的最小值为_________.
2 2
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18分．其中第 13-14题每题满分 4分，第 15-16题每题满分 5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，
否则一律得零分．
1 3
13．已知 (0, π)，则“sin(π ) ”是“cos ”的（ ）条件．
2 2
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
14. 下列函数中，在区间 (0, )上是严格减函数的为（ ）.
1
y x 2 1（A x） （B） y 2 （C） y 2 （D） y lg xx 1
已知函数 y sin x
π

π π
0 在区间 , 上单调递增，则 的取值范围是………（ ）
6 2 3
A. 0,1 ； B. 0,1 4 6 ； C. 1, ； D. 0, .
3 5
16.已知数列 an 满足 an 1 ran 1 an (n 1,2,3, ),a1 (0,1) ，给出以下四个结论：
① 当 r 2时，只存在有限个 a1，使得对任意正整数 n，都有 an 1 an
1
② 当 r 2时，存在 a1和正整数 P，当 n P时， an 1 an 2025
③ 当 r 3时，存在 a1和正整数 P，当 n P时， an 1 an
④ 当 r 3时，不存在 a1，使得对任意正整数 n，且 n 3，都有 an 0
其中正确结论是（ ）.
A．① ② B．②③ C．③④ D．②④
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三、解答题（本大题共有 5题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤．
17．(本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分)
设 f (x) sin x( 0)．
(1) 当函数 y f (x)的最小正周期为 2π时，求 y f (x) cos x在[0, π]上的最大值；
2
(2) 若 2 π，且在 ABC中，角 A、B、C所对的边长为 a、b、c，锐角 A满足 f (A ) 0，
6

AB AC 4，求 a的最小值．
18．（本题满分 14分）本题共有 2小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分
如图所示，四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，O是底面的中心，A1O 平面 ABCD，
AB AA1 2 .
（1）求证： A1C 平面 BDD1B1；
（2）求直线OA1与平面 AA1B所成角的正弦值.
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19．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6
分
为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡
眠时长及分布人数如下表所示：
睡眠时长（小时） [4,6) [6,8) [8,10]
人数 150 270 180
注：睡眠时长在[8,10]的为睡眠充足，在[6,8)的为睡眠良好，在[4,6)的为睡眠不足.
（1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于 6小时的人数约为多少？
（2）估计该市高三学生日均睡眠时长；
（3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取 20人，再从这 20人中随机抽取 4人做进一步
访谈调查，求这 4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率.
20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8
分
x2 y2 3
已知椭圆 2 1

2 的左、右焦点分别为 F1 1，0 ， F 1，0 a b 2 ，
且经过点 P 1， .
2
（1）求该椭圆的离心率；
（2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若VPQF2的面积为 3，
求点Q的坐标；
（3） A、 B、C 、D是椭圆上不重合的四个点， AB与CD相交于

点 F1，且 AB CD 0，求 AB CD 的取值范围.
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21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8
分
设 A 为非空集合，函数 f (x) 的定义域为 D .若存在 x0 D 使得对任意的 x D 均有
f (x) f (x0) A，则称 f (x0 )为函数 f (x)的一个 A值， x0为相应的 A值点.
1
（1）若 A [ 2,0]， f (x) sin x . 证明： x0 2kπ π, k Z是函数 f (x)的一个 A值点，并2
写出相应的 A值；
（2）若 A [0, )， f (x) x, g(x) x 2 x 1 . 分别判断函数 f (x)、 g (x)是否存在 A值？
若存在，求出相应的 A值点；若不存在，说明理由；
（3）若 A ( , 0]，且函数 f (x) ln x ax 2 (a R)存在 A值，求函数 f (x)的 A值，并指出
相应的 A值点.
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2024学年度第一学期高三年级第二次调研考试参考答案及标准（2024.11）
一、填空题
1.{1} 2. ( ,0)U (1, ) 53. 4．2；
12
5．60 2 1 2； 6． 28 ； 7. ； 8. ， ；
3 5 5

9. m 1； 10. 1,
6 2
； 11． arcsin ； 12. 6 2
2 5 4
二、选择题
13．C 14．B 15．A 16．B
三、解答题
17．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分
（1）因为函数 y f (x)的最小正周期为 2π，所以 1．············································ 2分
故 y f (x) cos x sin x cos x 2 sin(x π )．················································4分
4
由于 x [0, ] π π 3π，所以 x [ , ]，
2 4 4 4
x π π x π故当 ，即 时，取到最大值 2 ．···························································· 6分
4 2 4
（2）当 2，所以 f (x) sin 2x．
π π
故当 f (A ) 0时， sin(2A ) 0，即 2A kπ, k Z，
6 3 3
π
由于 A为锐角，解得 A ．··············································································· 8分
3

因为 AB AC 4，可得bc 8．········································································ 10分
a2 2所以 b c2 2bccos A 2bc 2bccos A 8．··············································12分
等号当且仅当b c 2 2时成立，此时 a的最小值为 2 2 ． ······································· 14分
18．（本题满分 14分）本题共有 2小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分
（1）因为 ABCD是正方形，所以 AC BD，OA OC 1 ,
因为 A1O 底面 ABCD，所以OC是 A1C在平面 ABCD上
的投影,
所以 A1C BD……………………2分
由 AA1 2，OA OC 1， A1O 底面 ABCD，
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可得 A1O 1， A1C 2 ，
所以 AA 21 A
2
1C AC
2，即有 AA1 A1C ……………………………………………………2分
因为 AA1∥BB1 ,所以 BB1 A1C
所以 A1C 平面 BDD1B1 .……………………………………………………………………2分
（2）设点O到平面 AA1B的距离为 h ,
V 1 1O A1AB S3 AOB
OA1 S h……………2分3 AA1B
1 1 3
所以 h ………………………………4分
3 3
得直线OA1与平面 AA1B所成角 的正弦值
3
sin ……………………………………2分
3
方法 2：（建系）
以O为原点，射线OA、OB、OA1为 x轴、 y轴、 z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
可得 A 1,0,0 、 B 0,1,0 、 A1 0,0,1

则OA1 0,0,1 ， AA1 1,0,1 ， AB 1,1,0 ……………………………………2分

从而可知平面 AA1B的一个法向量为 n 1,1,1 ……………………………………………2分
所以直线OA1与平面 AA1B所成角 的正弦值

sin cos π n OA 1 3 1 …………………………………………………4分
2 n OA 31 3
19．（本题满分 14分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 4分，第 3小题满分 6分
1 34 32解（ ）该校高一学生中，男生共有 330 170名，女生共有 330 160名．………………4分
66 66
C2 17
（2）从这 66名学生中随机抽取两名都是男生的概率为 342 ． ………………4分C66 65
（3）设原始的 32个数据为 x1、 x2、…、 x31、 x32，其中 x32 165， x3 2 156，
x 1
31
由错误数据的平均数 xi 156 161，32 i 1
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1 31
可得原始数据的平均数 x xi 165 x 9 5161 161.28125（cm）．32 i 1 32 32
1 31 31 2 2
由 s 2 (x
1 x
i x )
2 (x x )2 x2 3232 i x 23.6875，32 i 1 32 i 1 32
1 31 2 2
得 x2i 23.6875 x x 32 25184.1875，32 i 1 32
1 32 31 2 2
故 s2 (x x)2 1 x2 xi i 32 x 23.33．………………………………………6分32 i 1 32 i 1 32
20．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分
x2 y2
（1）椭圆方程为 1…………………………………………………………………2分
4 3
所以 e c 1 ……………………………………………………………………………2分
a 2
5
（2）① PF2 ，直线 PF y
3 x 32 的解析式为 ………………………………………2分2 4 4
因为VPQF 122 的面积为 3，所以 PF2边上的高为 5
Q 3 9过 做 PF2 的平行线，则直线QR的解析式为 y x ……………………………2分4 4
x2 y2
1
4 3
联立方程组 ，
y 3 x 9 4 4
x 1 1 x
11

1 7
解得： 3 ，
y1 2 y
15
1 14
Q 3 11 15 所以点 的坐标为 1， ， ， ……………………………………………2分
2 7 14
（3）①若 AB或CD垂直于 x轴，则 AB CD 7………………………………………1分
②若 AB和CD不垂直于 x轴，
设直线 AB的解析式为 y k x 1 ，点 A x1, y1 ， B x2 , y2
x2 y2
1
联立方程组 4 3 ，得 3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0
y k x 1
2
x x 8k 4k
2 12
从而 1 2 2 ， x1x2 2 …………………………………………………4分3 4k 3 4k
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2 2 2
AB 1 k 2


8k 4 4k 12 12 k 1
3 4k 2
2 3 4k 3 4k 2
2
同理CD 12 k 1
4 3k 2

2 2 4 2
AB CD 12 k 1 12 k 1 84 k 2k 1 1 2 7 1 3 4k 4 3k 2 12k 4 25k 2 12 12k 2 12 25 k 2
12k 2 12因为 2 25 49
48
，所以 AB CD 7……………………………………3分
k 7
48
综上， AB CD 的取值范围是 ，7 7
21．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分
1
解 （ 1 ） 函 数 f (x) sin x 的 定 义 域 为 R . 对 x0 2kπ π, k Z , 以 及 任 意 x R ， 由2
f (x) f (x0) sin x 1及 1 sin x 1知 f (x) f (x0) [ 2,0]， ...........2分
即 f (x) f (x0) A，所以 x0 2kπ
1
π, k Z是函数 f (x)的一个 A值点， f (x0 ) 1为相应的 A2
值...................................................4分
（ 2）函数 f (x) x 的定义域为 R .对任意 x0 R ,取 x x0 2 ，仍有 x x0 2 R ，但
f (x) f (x0) (x0 2) ( x0) 2 A，所以函数 f (x)不存在 A值. .....6分
2
2
函数 g(x) x x 1的定义域为R .由 g(x) x2 1 3 x 1 x

易知，
2 4
x 1 1
2
当 0 时，对任意 x R ,均有 g(x) g(x

0 ) x

0，2 2
即 g(x) g(x0) A；......................................................7分
又对任意 x 1 1 10
2
，取 x ，则 g(x) g(x0) 0 (x ) 0 ，2 2 0 2
3
即 g(x) g(x0) A，所以 g(x0 ) 是函数 g (x)仅有的一个 A值， ............9分4
x 10 是相应的 A值点. ........10分2
3 f (x) ln x ax 2（ ）函数 (a R)的定义域为 (0, )，由题设，该函数存在 A值，设相应 A值点为
x0 (0, ) ， 则 f (x) f (x0) A 即 f (x) f (x0) 对 任 意 x (0, ) 成
立，...................................................................12分
故函数 f (x)的 A值即为最大值， A值点即最大值点.........................13分
f '(x) 1 2ax ,令 f '(x) 0得 2ax2 1 1 0，所以 a 0，解得驻点 x0 ，x 2a
0 1 1 1(0, ) ( ,+∞)
2a 2a 2a
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h' x + 0
h(x) ↗ 极大值 ln 1 1 ↘
2a 2
.........................................................................16分
所以若函数 f x =lnx+ax2 存在 A值,
1 1 1
则 a<0， A值为 ln ，A值点为 ..........................................18分
2a 2 2a
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