江苏省扬州市扬州中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试数学试题（图片版，含答案）

江苏省扬州中学 2025-2026学年第一学期 10月自主评估
高三数学 2025.10
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
A y | y 2x , x R B x | y ln(x 1)1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. ( 1, ) B. C. R D. (0, )
z i
2. 若 z 1 2i，则 （ ）
z z 4
A. 1 3i B. 1 3i C. 1 3i D. 1 3i
3. 已知函数 f x 的定义域为 R，当 x 0时， f x x3 1；当 1 x 1时， f x f x ；当
x 1 时， f x 1 f 1 x

，则 f 6 （ ）2 2 2
A. －6 B. －1 C. 0 D. 2
4. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出
场顺序，记事件 A表示“第一位出场的是女生”，事件 B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是
（ ）
P AB 3A. B. P B A 5
5 9
C. P A P B P A B 13D.
15

5. 已知菱形 ABCD的边长为 2， BAD 120 ，G 是菱形 ABCD内一点， 若GA GB GC 0，则

AG AB （ ）
3
A. 12 B. 1 C. D. 22
1
6. 已知不等式 ax2 bx 1 0的解集 {x∣ x 1}，若对 x 4， ，不等式 bx2 mx 2a 0
2
成立，则实数 m的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
2
7. 已知 tan
1 sin 2 cos
4
，则 的值为（ ）
2 1 cos 2
1
5 5 1 3
A. － B. － C. － D. －
3 6 6 2
8. x 2 y已知实数 x, y满足 ln 2x y e x y 2 0，则 x y的值为（ ）
2 1 1
A. 1 B. C. D.
3 3 5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知函数 f (x) sin x bcos x 0 的最小正周期为 π，且 f x f ( π )对于 x R 恒成立，则
12
（ ）
f (x) π , π A. 在区间 6 2
单调递减

π π
B. f (x)在区间 ,3 2
有两个零点

π ,0 C. 是曲线 y f (x)的一个对称中心
3
π
D. 当 x 时，函数 f x 取得极值
3
10. 已知函数 f x x3 3x2 ax 3，则（ ）
A. 当 a 4时， f x 在 R上单调递增
B. 当a 3时， f x 有两个极值
C. 过点 0,1 且与曲线 y f x 相切的直线恰有两条
D. f 1 x f 1 x 2a 2 0恒成立
11. 如图，棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1，动点 P在正方体 ABCD A1B1C1D1内及其边界上运动，
点 E在棱 AD上，且 AE 3，则下列说法正确的是（ ）
2

A. 若 BP BC BB ，且 11 ，则三棱锥P A1C1D体积为定值
B. 若 A1P C1D，则动点 P所围成的图形的面积为9 2
C. 若 sin PAB 2sin PBA，则 PC1的最小值为 3
uuur uuur uuur uuur
D. 若动点 P满足 AP BP AP AP 0 P 3 21 ，则 的轨迹的长度为 π4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12. x 2已知函数 f (x) x 2 ，则满足 f x 5x f 6 0的实数 x的取值范围是________.2

13. 在V ABC中，BD 2DC，点E在线段 AD上且与端点不重合，若 BE xBA yBC，则 lnx lny
的最大值为__________.
14. 若存在实常数 k和b，使得函数 f (x)和 g(x)对其公共定义域上的任意实数 x都满足
f (x) kx b g(x)恒成立，则称直线 y kx b为 f (x)和 g(x)的“媒介直线”.已知函数
f (x) x2 (x R)，g(x) 1 (x 0)，若 f (x)和 g(x)之间存在“媒介直线” y kx b，则实数b的范围
x
是______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在V ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 3 sinC sin A cosC sin A sin B sinC .
（1）求角 A；
（2）若V ABC边 BC上的中线 AD的长度为 6 ，求V ABC面积的最大值.
16. 2已知函数 f x ax 2ax 1 b a 0 ，函数在区间 2,3 上的最大值为 4， f 0 1.
（1）求 f x 的解析式；
f x
2 g x g 2x k 2x（ ）设 ，若不等式 在 1,1 上有解，求实数 k的取值范围.
x
3
17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数 y（个）和平均
温度 x（℃）有关，现收集了以往某地的 7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断， y bx a与 y cedx（其中 e 2.718…为自然对数的底数）哪一个更适合作为
平均产卵数 y（个）关于平均温度 x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出 y关于 x的回归方程.（计算结果精确到 0.1）
n n
xi x yi y xi yi nxy
y b x a b i 1 i 1附：回归方程中 ， n n ， a y b x2 2
xi x x 2i nx
i 1 i 1
参考数据（ z ln y）
7 7 7
x2i xi yi xizi x y z
i 1 i 1 i 1
5215 17713 714 27 81.3 3.6
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在 22℃以下的年数占 60%，
对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在 22℃至 28℃的年数占 30%，柚子产量会下降 20%；
平均气温在 28℃以上的年数占 10%，柚子产量会下降 50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各
种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为 200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝
产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案 1：选择防害措施 A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是 18万；
方案 2：选择防害措施 B，可以防治 22℃至 28℃的蜘蛛虫害，但无法防治 28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
4
10万；
方案 3：不采取防虫害措施.
18. 如图，在三棱锥 P ABC中，AB BC AC PC 4，PA= PB = 2 2，M 是线段 PC上的点.
（1）求证：平面 ABP 平面 ABC；
（2 6）若直线 PM 与平面 ABM 所成角的正弦值为 ，求 PM 的长；
4
（3）若MQ 平面 ABC，Q为垂足，直线 PQ与平面 ABM 的交点为 N ，当三棱锥M ABQ体积最大
时，求 PN 的长.
ln 1 x
19. 函数 f x 的定义域为 1, ， f 0 0， f x ，l1为 A a, f a a 0 处的切线.
1 x
（1） f x 的最大值；
（2）证明： 1 a 0，除点 A外，曲线 y f x 均在 l1上方；
（3）若 F x 1 x e x f x ，证明：对任意的 s, t 0, ，有 F s t F s F t .
5
高三数学答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. D 2. A 3. D. 4. A 5. D. 6. C 7.B 8. C.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. AB. 10. ABD. 11. ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. (2,3) 13. ln 6 . 14. 4,0
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
π
15. （1）
3
（2） 2 3
16. 1 f x x2（ ） 2x 1
（2） ,1
17. （1） y cedx更适宜
（2） y e0.3x 4.5
（3）选择方案 1最佳，
用 X1， X 2和 X3分别表示选择三种方案的收益.
采用第 1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 200 18 182万，即 X1 182
采用第 2种方案，不发生 28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 200 10 190万，
190,不发生28℃以上的红蜘蛛虫害
如果发生，则收益为100 10 90万，即 X 2 ，
90,发生28℃以上的红蜘蛛虫害
200,不发生虫害

同样，采用第 3种方案，有 X3 160,只发生22-28℃虫害

100,发生28℃以上虫害
6
所以， E X1 182，
E X 2 190 P X 2 190 90 P X 2 90 190 0.9 90 0.1 171 9 180，
E X3 200 P X3 200 160 P X3 160 100 P X3 100
200 0.6 160 0.3 100 0.1 178 .
显然， E X1 最大，所以选择方案 1最佳.
18. （1）证明：
取 AB的中点O，连接OC、OP，
因为 AB 4， PA= PB = 2 2，则 PO AB，
所以 PA2 PB2
1
AB2 ，所以PA PB，所以 PO AB 2，2
又因为 AB BC AC 4，所以OB OC，则CO BC2 BO2 42 22 2 3，
又因为 PO2 CO2 PC2，所以PO OC，
又因为 PO AB， AB OC O， AB、CO 平面 ABC，所以 PO 平面 ABC，
又因为 PO 平面 APB，所以平面 ABP 平面 ABC .
（2）1 5
2 7
（3）
3
1
19. （1）
e
ln 1 a ln 1 a
（2）证明因为 f a ，则切线 l
a 1
的斜率为 ，
1 1 a
l ln 1 a ln 1 a可知直线 1的方程为 y f a x a ，即 y x a f a ，
1 a 1 a
ln 1 a
构建 h x f x x a f a
ln 1 x
h x
ln 1 a
，则 f 1 a x f a ， 1 x 1 a
由（1）可知： f x 在 1,0 上单调递增，且 1 a 0，
当 1 x a时，则 f x f a ，可得h x 0；
7
当 a x 0时，则 f x f a ，可得h x 0；
ln 1 xx 0 f x 当 时，则 0，且 f a f 0 0，可得 h x 0；
1 x
可知 h x 在 1,a 内单调递减，在 a, 内单调递增，
则 h x h a ，当且仅当 x a时，等号成立，
所以除点 A外，曲线 y f x 均在 l1上方.
（3）证明
由题意可知： F x 1 x ex f x ，则 F x ex ln 1 x 1 ， 1 x
构建G x F x ，则G x ex ln 1 x
2 1
2 ，
1 x (1 x)
H x ln 1 x 2 1 H x 1 2 2 x
2 1
构建 ，则 0，
1 x (1 x)2 1 x (1 x)2 (1 x)3 (1 x)3
可知H x 在 0, 上单调递增，则H x h 0 1 0，
即G x 0在 0, 上恒成立，可知G x 在 0, 上单调递增，
原不等式等价于 F s t F s F t F 0 ，
构建m x F x t F x , x, t 0 ，即证m s m 0 ，
因为m x F x t F x ex tln 1 x t exln 1 x ，
则m x 1 ex t ln 1 x t
x
e ln 1 x
1
G x t G x ， 1 x t 1 x
因为G x 在 0, 上单调递增，则G x t G x ，可得m x 0，
可知m x 在 0, 上单调递增，且 s, t 0，可得m s m 0 ，
所以对任意的 s, t 0, ，有 F s t F s F t .
8
9