江苏省扬州中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省扬州中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 500.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-29 00:00:00 | ||
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文档简介
江苏省扬州中学2025-2026学年第一学期10月自主评估
高三数学 2025.10
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）
A. －6 B. －1 C. 0 D. 2
4. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7. 已知，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
8. 已知实数满足，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个零点
C. 是曲线的一个对称中心
D. 当时，函数取得极值
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在R上单调递增
B. 当时，有两个极值
C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
D. 恒成立
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为3
D. 若动点满足，则的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.
13. 在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为__________.
14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
16. 已知函数，函数在区间上的最大值为4，.
（1）求的解析式；
（2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
参考数据（）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.
19. 函数的定义域为，，，为处的切线.
（1）的最大值；
（2）证明：，除点外，曲线均在上方；
（3）若，证明：对任意的，有.
高三数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. A 3. D. 4. A 5. D. 6. 7.B 8. C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. AB. 10. ABD. 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. . 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）
（2）
16. （1）
（2）
17. （1）更适宜
（2）
（3）选择方案1最佳，
用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
18. （1）证明：
取的中点，连接、，
因为，，则，
所以，所以，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
（3）
19. （1）
（2）证明因为，则切线的斜率为，
可知直线的方程为，即，
构建，则，
由（1）可知：在上单调递增，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，且，可得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，当且仅当时，等号成立，
所以除点外，曲线均在上方.
（3）证明
由题意可知：，则，
构建，则，
构建，则，
可知在上单调递增，则，
即在上恒成立，可知在上单调递增，
原不等式等价于，
构建，即证，
因为，
则，
因为在上单调递增，则，可得，
可知在上单调递增，且，可得，
所以对任意的，有.
高三数学 2025.10
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）
A. －6 B. －1 C. 0 D. 2
4. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7. 已知，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
8. 已知实数满足，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个零点
C. 是曲线的一个对称中心
D. 当时，函数取得极值
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在R上单调递增
B. 当时，有两个极值
C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
D. 恒成立
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为3
D. 若动点满足，则的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.
13. 在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为__________.
14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
16. 已知函数，函数在区间上的最大值为4，.
（1）求的解析式；
（2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
参考数据（）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.
19. 函数的定义域为，，，为处的切线.
（1）的最大值；
（2）证明：，除点外，曲线均在上方；
（3）若，证明：对任意的，有.
高三数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. A 3. D. 4. A 5. D. 6. 7.B 8. C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. AB. 10. ABD. 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. . 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）
（2）
16. （1）
（2）
17. （1）更适宜
（2）
（3）选择方案1最佳，
用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
18. （1）证明：
取的中点，连接、，
因为，，则，
所以，所以，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
（3）
19. （1）
（2）证明因为，则切线的斜率为，
可知直线的方程为，即，
构建，则，
由（1）可知：在上单调递增，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，且，可得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，当且仅当时，等号成立，
所以除点外，曲线均在上方.
（3）证明
由题意可知：，则，
构建，则，
构建，则，
可知在上单调递增，则，
即在上恒成立，可知在上单调递增，
原不等式等价于，
构建，即证，
因为，
则，
因为在上单调递增，则，可得，
可知在上单调递增，且，可得，
所以对任意的，有.
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