2025-2026学年苏科版八年级数学上学期期中测试卷（1-3章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期期中测试卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（ ）
A． 和的度数均会改变
B．和的度数均不会改变
C．只有的度数不会改变
D．只有的度数不会改变
3．在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．46°
4．已知实数满足，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ．
12．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个．
13．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是 ．
14．如图，是等边三角形，，则的度数为 ．
15．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ．
16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接．
(1)求证：；
(2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由．
18．（6分）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且．
(1)求证：；
(2)延长交延长线于点，求证：；
19．（8分）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______________，______________，的小数部分＝______________；
(2)设的小数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
20．（8分）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
(1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处；
(2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处；
(3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处．
21．（10分）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明．
22．（10分）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
(2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等．
(3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
23．（12分）综合实践
教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程．
(1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定．
若，则的度数为 ．
求证：．
(2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由．
(3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由．
24．（12分）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，．
(1)如图1，作于F，求证：；
(2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值；
(3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
解：∵平分，
∴，
∴，
∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变，
∴的度数会改变．
∵平分，
∴，
∴
，
∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变．
故选：D
3．B
解：如图，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故选：B．
4．B
因为实数满足，，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B．
5．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴.
故选：B．
6．A
解：如图，过C作于H，则；
在正方形中，；
，
；
；
，
；
在与中，
，
，
；
，
，
即，
；
，
，
，
．
故选：A．
7．C
解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．A
解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合，
∵,
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即此时，
∵
∴，
∴此时．
故选：A．
9．A
解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，
∴，，
∵，点为中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
当点共线时，取得最小值，如图：
记交于点，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴此时，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
解：连接，如图

∵，，
∴是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合题意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合题意；
，，
，
∵，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，故④符合题意；
综上分析可知：正确的有4个．
故选：．
二、填空题
11．
解：∵正方形的边长为8，，
∴，，，
由折叠的性质得，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
即．
故答案为：．
12．6
解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形．
故答案为：6．
13．
解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质得，，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
是直角三角形，，
，
，
故答案为：．
14．
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
15．
解：∵立方体的棱长为，
∴立方体的体积为，
∴立方体体积减少后剩余的体积为，
∴此时的棱长为，
∴棱长应减少，
当时，，
∴若，则棱长应减少，
故答案为：；．
16．5
解：在上截取，连接，
设，则由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
三、解答题
17．（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵
∴，，
∴，
∴，
即．
18．（1）证明：过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠可知：，
∵；
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：，
，
，
，
，
，
，
的小数部分为，
故答案为：，，；
（2）解：，
，
，
的小数部分为，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，是整数，且，
，，
，
的相反数为．
20．（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示，在中，由勾股定理得
；
（2）解：分两种情况讨论：
①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示，有．
②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示．
因为，
所以最短路程为，即最短路程为．
（3）解：将长方体按下列三种方案展开：
第一种；如图④，
,
∴根据勾股定理得
；
第二种：如图⑤，
,；
∴根据勾股定理得
第三种：如图⑥，
,．
∴根据勾股定理得
，
蚂蚁爬行的最短路程是．
21．（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵点D是中点，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）．理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴．
22．（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
23．（1）解：，，
；
故答案为：；
证明：是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即；
（3）解：，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
．
24．（1）证明：∵为等腰直角三角形，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴的值为2；
（3）解：，理由如下：
在上截取，如图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．