2025-2026学年九年级数学上学期期中测试模拟卷（21-23章）--沪科版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上学期期中测试卷（21-23章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为 （ ）
A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2
3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
6．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论：
；
；
若，则；
若 则四边形是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，，若，则 ．
12．如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ．
13．如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则 ．
14．如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时．
（1）抛物线L的顶点坐标为 ．
（2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，在等腰中，，过点作于点．
(1)求的长；
(2)若点是中点，连结，求的值．
16．（8分）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 ，点在同一水平地面上．
(1)求扶梯的高度．（参考数据：）
(2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：）
17．（8分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)点D的坐标为________；
(2)不等式的解集是________；
(3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积．
18．（8分）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线．
(1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径；
(2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式；
(3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度；
(4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值．
19．（10分）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围．
20．（10分）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．
(1)图①中，画出的中线；
(2)图②中，在的边上找一点F，连接，使；
(3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2．
21．（12分）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当为何值时，点在的平分线上？
22．（12分）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线．
(1)求物线的解析式；
(2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为．
①求的值；
②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由；
(3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系．
23．（14分）综合与实践
综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．
(1)操作判断
①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______．
②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______．
(2)迁移探究
如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：．
(3)拓展应用
如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：根据题意得， ，
∴，
故选：B．
2．A
【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明：
∴，
∴
∴，
∴，
∴
故选：A．
3．B
【详解】解：点在抛物线上，
把代入，得，
解得，
抛物线表达式为．
设（ ），
点，关于轴对称，
．
过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则．
∴，，
∴，．
四边形周长，
．
∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线．
∴当时，．
故选： ．
4．C
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：C．
5．B
【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接，
为正方形外角的平分线，
在和中，
在和中，
∴
在和中，
设则
在中，
；
故选：B．
6．A
【详解】解：对于，当时，；当时，，
，
，
设，
轴，轴，
∴四边形是矩形，
，
，
解得：
经检验，是原方程的根，
∵点在反比例函数的图象上，
，即，
故选：A．
7．C
【详解】解：作于点D，连接，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P运动时，的度数不变，
∴当时，的长度最短，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最小值为，
故选：C．
8．A
【详解】解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，且，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：．
9．A
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点
在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴（），
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入 得：，
则函数的解析式是： ．
∴，
则的纵坐标是，
把代入 得： ．即的坐标是，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键
①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可．
【详解】解：，都是等边三角形，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，，
，
，
，即，
，
；故②正确；
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即，故③正确；
，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，故④正确．
故选：D．
二、填空题
11．
【详解】解：四边形是边长为的正方形，
∴，，
∴，
∵将按逆时针方向旋转得，
∴，，，，
∴，，
∴，、、三点在同一条直线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点，
，，，
∴，
∴，，
设，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，（负值舍），
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点．
点与点关于点对称，
．
是以线段为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
．
，
，
，；
设，则点的坐标为，点的纵坐标为．
∵将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y轴相交于点A，
点在函数的图象上，
把A的坐标代入得，
令，
解得，
点的横坐标为，
，，点的纵坐标为，
，．
点和点都在反比例函数图象在第三象限的分支上，
，
解得，
．
故答案为：．
14．
【详解】解：（1）抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
故答案为：．
三、解答题
15．（1）解： ，
在中，；
（2）解：，
，
为的中点，
，
，
，
，
．
16．（1）在中，
∴（），
答：扶梯的高度约为；
（2）这样改造不可行，理由如下：
在中，
∴（m），
在中，
∵，
∴这样改造不可行．
17．（1）解：将代入得，
∴，
∴，
∵点与关于原点对称，
∴；
故答案为：；
（2）解：将代入得，
即反比例函数解析式为：，
由图象知，当或时，，
故答案为：或；
（3）解：作于，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为．
18．（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接．
在中，，，，
，
解得，
即这座桥的主拱桥的半径为；
（2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E．
在中，，，
，
解得，
，即甲桥此时的水面宽度为；
由，解得，，
∵，
乙桥此时的水面宽度为；
（4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
平移后函数图象的对称轴是直线，
当或时，y的值随x值的增大而减小，
当时，y的值随x值的增大而减小，
结合函数图象，①当且时满足题意，解得；
②当时满足题意，解得（舍）．
综上所述，m的取值范围是，
所以,整数m的值为5，6，7，8
19．（1）解：将点代入，
得，
解得．
抛物线的解析式为．
令，得．
解得．
点的坐标为．
（2）解：①，
．
令，得．
解得
．
设直线的解析式为．
将点代入，得．
直线的解析式为．
设点的坐标为（m，0）．
．
四边形是正方形，
．
．
当点在抛物线上时，
．
解得（不合题意，舍去），．
点的坐标为．
②，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
四边形是正方形，
．
当时，点在轴上方．
当点在抛物线上时，
如图1，此时点关于直线对称．
．
解得（不合题意，舍去）．
当点与点重合时，如图2．
此时．
解得（不合题意，舍去）．
的取值范围是．
当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时．
当点与点重合时，．
的取值范围是．
当时，点在轴下方．
当点与点重合时，如图4．
此时．
解得（不合题意，舍去）．
的取值范围是．
综上所述，的取值范围是或或．
20．（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，线段即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
21．（1）解： ，
．
，
．
四边形是矩形，
．
，
，
，
依题意，，，，
，
即，
解得（舍去），，
即的值为．
（2）依题意，，，，
．
，
当时，有最大值，此时．
（3）如图，连接．
平分，
，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
，
，
．
即当为3时，点在的平分线上．
22．（1）解：抛物线（n为常数）与x轴有且只有一个交点，
一元二次方程只有一个实数根，
即，
解得，
．
（2）①由（1）得，抛物线，
则点M的坐标为，且，
设直线的解析式为，
将M点坐标代入可得，，
即直线的解析式为，
抛物线经过原点，
，
解得，
，
，
即抛物线，
N点为延长线和抛物线的交点，
，
解得，
点在的延长线上，
不符合题意，
，
，
②四边形是菱形，理由如下：
抛物线的顶点，
当时，，解得或
∴点K的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
由解得或
∴点，
∵过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，
∴
解得或，
∴,
∴，，，，
∴
四边形是菱形；
（3）由题可知，点在线段的垂直平分线上，
，
解得，
即，
连接，
，
根据二次函数性质可得，两点关于对称，
即顶点E在的垂直平分线上，
垂直平分交于点，
F点横坐标点横坐标，
，
，
，
，
即，
解得．
23．（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则，
四边形是矩形，
，
设交于点O，则，
，
又，
，
；
故答案为：5；
②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则，
四边形是矩形，
，
设交于点O，则，
，
又，
，
，
；
故答案为：4；
（2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F，
，
．
又，
，
，
，
，
，
又，
，
（3）解：或3．
在矩形中，平分，，
，
，
当时，如图，点G在上，
，
，
，
，
；
当时，如图，点G在上，
，
，
，
，
．
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