2025-2026学年九年级数学上学期期中测试模拟卷（第21章-第23章 ）--沪科版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上学期期中测试卷（第21章-第23章 ）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是的中点，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，B两点，且点B在直线的下方，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上
C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧
7．如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为 （ ）
A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2
8．在平面直角坐标系中，有抛物线，则该抛物线的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．在中，，，若，那么 ．
12．二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ．
13．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ．
14．在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求
16．（8分）二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点．
(1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．
17．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
18．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求该抛物线的对称轴；
②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系；
(2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围．
19．（10分）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标．
20．（10分）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．

(1)求支柱的高；
(2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到)
21．（12分）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由．
(3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值．
22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3
23．（14分）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：∵，
∴，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
2．C
【详解】解：∵，是边上的中线，，
∴，
∴，，
∴．
故选：C．
3．A
【详解】解：抛物线的开口向上，
对称轴是直线 ，，，
点A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧，
，
且，
，
点A，B 都在抛物线上，
则根据抛物线的对称性可知：与的大小关系为 ．
故选：A．
4．D
【详解】解：∵，
∴，
A、添加，
∵，，
∴，故A选项不符合题意；
B、添加，
∵，，
∴，故B选项不符合题意；
C、添加，
∵，，
∴，故C选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故D选项符合题意．
故选：D．
5．D
【详解】解:如图，设交轴于点，
∵轴，，，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，则．
故选：D．
6．A
【详解】解：由题可得，直线与x轴交点为，
∵点B在直线的下方，
∴点B的横坐标小于2，
∴抛物线的对称轴直线，即对称轴直线在y轴左侧，
∴抛物线的顶点不可能在第一、四象限，
∴A正确，D错误；
∵a的正负不确定，
∴抛物线的开口方向无法确定，
∴B错误；
当时，抛物线与直线一定有两个交点，但当时，抛物线与直线可能有两个交点，可能有一个交点，也可能没有交点，三种情况均可能存在，
∴C错误．
故选：A
7．A
【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则
∵矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明：
∴，
∴
∴，
∴，
∴
故选：A．
8．A
【详解】解：由，则，异号，，同号，
、根据图象可知，，，，
∴，
∴满足，异号，，同号，符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，异号，，同号，不符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，同号，不符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，同号，不符合题意；
故选：．
9．D
【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示：
，
设，
点A的坐标为，点B的坐标为，
四边形是正方形，且边长为3，
，点E为的中点，
，
在中，，
，
在和中，，
，
，
，
点D的坐标为，
又点B的坐标为，点E为的中点，
点E的坐标为，
反比例函数的图象经过点E，
，
在中，由勾股定理得：，
，
的面积为，
，
，
，
．
故选：D．
10．B
【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接，
为正方形外角的平分线，
在和中，
在和中，
∴
在和中，
设则
在中，
；
故选：B．
二、填空题
11．
【详解】解：中，，，，
，
，
．
故答案为：．
12．4或
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B，
令，即，
∴
设，，
，，
，
，
解得，．
综上所述，m的值为4或．
故答案为：4或
13．
【详解】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点，
，点的纵坐标是4，
将点坐标代入，得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
，，
，
故答案为：．
14．
【详解】解：过点作于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，与相似，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解得：（负值已舍），
，
故答案为：．
三、解答题
15．（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接交于点O，
∵四边形为菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
16．（1）解：设抛物线的顶点式为，
抛物线过，
，
解得．
，即．
关于直线的对称点为，
当时，；
（2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，
则新图象顶点为，
由顶点式，可得，
当时，；
当时，，
新抛物线与坐标轴的交点为，，．
17．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，平分，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形 是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）知四边形是矩形，
∴，
在中，，
设，则，
∵平分交于点，，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得（负值已舍去），
∴．
18．（1）解：①将代入得，
∴该抛物线的对称轴为直线；
即该抛物线的对称轴为直线；
②∵，
∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
分两种情况：
①当时，，在对称轴右侧，
当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大，
∵对于，，都有，
，，
；
即
当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧，
此时随增大而增大，
∵，
∴，
∵对于，，都有，
，即，
，
∵，
∴此时没有符合条件的a存在；
综上分析可知：此时；
②当时，，在对称轴左侧，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
点关于对称轴的对称点在对称轴右侧，
在对称轴右侧，随增大而减小，
∵对于，，都有，
，
；
综上，的取值范围为或．
19．（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
设反比例函数解析式为，
∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴；
∵，且的面积为2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或．
20．（1）解：过点作，垂足为，

由题意可知，四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
支柱的高为 ．
（2）延长交与点，可得，

由题意可知，四边形是矩形，
，
．
，
在中，
，
，
，
顶棚处离地面的高度约为 ．
21．（1）解：依题意设关于的函数表达式为：，
将代入得：，
解得：，
关于的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下：
令，
则，
解得：舍去，
∵，
该生在此项考试中未得满分；
（3）解：①如图，当时，，
∴，
∴，
解得或；
与相矛盾，故舍去，
；
如图，当时，，
∴，
∴，
解得或
与相矛盾，故舍去，
，
综上所述，的值为或．
22．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴,
∴
∴PA=2PC；
（3）
过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，∴
∵△PAB∽△PBC，
∴
即.
23．（1）解：依题意，，
解得：，
∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，

∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，

当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．
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