第十三章三角形的边角关系、命题与证明单元测试卷 （含详解）2025-2026学年沪科版八年级数学上册试题
文档属性
| 名称 | 第十三章三角形的边角关系、命题与证明单元测试卷 （含详解）2025-2026学年沪科版八年级数学上册试题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 672.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-30 09:02:35 | ||
图片预览
文档简介
第十三章《三角形的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
3．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
4．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
7．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度．
12．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
13．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ．
14．在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ．
15．如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ．
16．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
18．（6分）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分）把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
20．（8分）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
21．（10分）如图，四边形中，，平分，，交于点．
(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
22．（10分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
23．（12分）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由．
(1)数学思考：请你解答上边的问题；
(2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接．
①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由；
②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数．
24．（12分）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)已知：如图1，在中，求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴ （两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角 ．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和．
【实践运用】
(2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：．
【拓展提升】
(3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ．
(4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ．
参考答案
一．选择题
1．D
【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个．
故选D．
2．C
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
逐一核对选项，只有选项C符合，
故选：C
3．C
【详解】解：设，，是边上的中线，
，
分两种情况：
当的周长比的周长大6时，
，
解得：，
的三边长分别为12，12，6，
，
能组成三角形；
当的周长比的周长大6时，
即，
解得：，
的三边长分别为8，8，14；
，
能组成三角形；
综上所述：的长为6或14．
故选：C．
4．A
【详解】解：设,
由翻折的性质可得,, ,
∴,
∵,
，
在中,,
在中，，
，
∴,
∴,
故选: A．
5．B
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．D
【详解】解：∵，
，
∵，
，
∵，
∴，，
，
．
故选：D．
7．B
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
8．B
【详解】解： 段之和为，
若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的长度分别为，，，，，，，，，，
的最大值为．
故选：B．
9．D
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
∵E为边的中点，
，
∵沿折叠后得到，
，，，
，，
，．
设，，
，
，
∵中，，
∴，
又∵，
，
，
，
故选：D．
10．C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正确；
∵
，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题
11．43
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又 ，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案为：43．
12．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
13．11或4
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
将的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①，
则：，
∴，
∴，
∴；
②，
则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：11或4．
14．4或6
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键．
由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可．
【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解；
当在左侧时，如图1，
∵，是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
当在右侧时，如图2，
同理，，
∴；
综上所述，的长为4或6，
故答案为：4或6
15．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴
由折叠的性质得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为： ．
三．解答题
17．（1）解：由题意可得，
即
则的取值范围为；
（2）由（1）得
为偶数
为6，8，10
要组成三角形的周长最小，
只能为6，
三角形的周长最小为，
则三角形的周长最小为17
18．（1）解：是的高线，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
．
19．（1）解：．
证明：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
20．（1）解： 为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
21．（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延长，交于点，如图所示：
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
22．（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
23．（1）解：．
理由：因为，
所以.
因为平分，
所以，
所以；
（2）①解：．
理由：因为，
所以，
所以，
所以．
②解：当点在点右侧时因为，
所以，，
所以.
因为平分，
所以.
因为，
所以；
当点在点和A之间时，
因为，
所以，
所以.
因为平分，
所以，
因为，
所以．
24．（1）证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
故答案为：；；；它不相邻．
（2）证明：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
（3）解：设与交点为点E，如图，
∵，
由（2）中的结论可知，
在和中，，
在和中，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
，
两式相减可得，，
∴解得．
故答案为：．
（4）解：设与相交于点O，连接，如图，
由（2）中结论可知，在和中，，
在中，，
即，
∴图中五个角的度数和为．
故答案为：．
壹加壹教辅资料
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
3．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
4．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
7．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度．
12．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
13．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ．
14．在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ．
15．如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ．
16．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
18．（6分）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分）把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
20．（8分）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
21．（10分）如图，四边形中，，平分，，交于点．
(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
22．（10分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
23．（12分）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由．
(1)数学思考：请你解答上边的问题；
(2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接．
①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由；
②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数．
24．（12分）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)已知：如图1，在中，求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴ （两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角 ．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和．
【实践运用】
(2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：．
【拓展提升】
(3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ．
(4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ．
参考答案
一．选择题
1．D
【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个．
故选D．
2．C
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
逐一核对选项，只有选项C符合，
故选：C
3．C
【详解】解：设，，是边上的中线，
，
分两种情况：
当的周长比的周长大6时，
，
解得：，
的三边长分别为12，12，6，
，
能组成三角形；
当的周长比的周长大6时，
即，
解得：，
的三边长分别为8，8，14；
，
能组成三角形；
综上所述：的长为6或14．
故选：C．
4．A
【详解】解：设,
由翻折的性质可得,, ,
∴,
∵,
，
在中,,
在中，，
，
∴,
∴,
故选: A．
5．B
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．D
【详解】解：∵，
，
∵，
，
∵，
∴，，
，
．
故选：D．
7．B
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
8．B
【详解】解： 段之和为，
若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的长度分别为，，，，，，，，，，
的最大值为．
故选：B．
9．D
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
∵E为边的中点，
，
∵沿折叠后得到，
，，，
，，
，．
设，，
，
，
∵中，，
∴，
又∵，
，
，
，
故选：D．
10．C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正确；
∵
，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题
11．43
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又 ，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案为：43．
12．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
13．11或4
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
将的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①，
则：，
∴，
∴，
∴；
②，
则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：11或4．
14．4或6
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键．
由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可．
【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解；
当在左侧时，如图1，
∵，是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
当在右侧时，如图2，
同理，，
∴；
综上所述，的长为4或6，
故答案为：4或6
15．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴
由折叠的性质得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为： ．
三．解答题
17．（1）解：由题意可得，
即
则的取值范围为；
（2）由（1）得
为偶数
为6，8，10
要组成三角形的周长最小，
只能为6，
三角形的周长最小为，
则三角形的周长最小为17
18．（1）解：是的高线，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
．
19．（1）解：．
证明：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
20．（1）解： 为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
21．（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延长，交于点，如图所示：
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
22．（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
23．（1）解：．
理由：因为，
所以.
因为平分，
所以，
所以；
（2）①解：．
理由：因为，
所以，
所以，
所以．
②解：当点在点右侧时因为，
所以，，
所以.
因为平分，
所以.
因为，
所以；
当点在点和A之间时，
因为，
所以，
所以.
因为平分，
所以，
因为，
所以．
24．（1）证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
故答案为：；；；它不相邻．
（2）证明：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
（3）解：设与交点为点E，如图，
∵，
由（2）中的结论可知，
在和中，，
在和中，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
，
两式相减可得，，
∴解得．
故答案为：．
（4）解：设与相交于点O，连接，如图，
由（2）中结论可知，在和中，，
在中，，
即，
∴图中五个角的度数和为．
故答案为：．
壹加壹教辅资料