人教版八年级数学上册试题 第十五章《轴对称》全章测试卷（含答案）

第十五章《轴对称》全章测试卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，若BE＝5，FC＝3，则EF长是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
5．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．60° B．75° C．70° D．90°
6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
7.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（　　）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
9．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　）
A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14
0．如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（　　）
A．22° B．34° C．56° D．68°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，则（m+n）2＝ 　 　 ．
12．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　 　 种画法．
13．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则BD的长度为 　 　 ．
15．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D在BC边上，且△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 　 　 ．
16．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　 　 ．（填序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在等腰三角形ABC中，AB＝22，BC＝10，AC＝2m+2．求△ABC的周长及m的值
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）求出△ABC的面积；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标．
19．（8分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．
（1）求证：△ACD等腰三角形；
（2）若∠BAC＝100°，求∠BDC的度数．
21．（8分）如图，在等边△ABC中，D为射线BA上一点，过D作DE∥BC交射线CA于点E，点F为AB边上一点，BF＝DE，过F作FH⊥CE，垂足为点H．
（1）求证：DF＝BC；
（2）求证：H为CE中点．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
（1）求证：∠BCD＝2∠CBE；
（2）若△BDF是等腰三角形，请你直接写出∠A的度数．
23．（10分）（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形．
①如图1，求证：△BCD≌△ACE；
②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明；
（2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN．
24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．
（1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长；
（2）若AF是△ABC的中线．
①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE；
②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值．
参考答案
一、单项选择题
1．解：A、C、D的图案均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项的图案中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B．
2．解：根据题意得：
解得：
∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
故选：D．
3．解：∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，∠COF＝∠OCB（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBE＝∠OBC，∠OCF＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OBE，∠OCF＝∠COF，
∴BE＝OE，CF＝OF（等角对等边），
∴EF＝OE+OF＝BE+CF＝5+3＝8，
故选：C．
4．解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形；
∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD；
当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形；
当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
5．解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故选：A．
6．解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BEBD
同理可得，CF，
∴BE+CF5，
故选：A．
7．解：过点P作PC⊥OB，
∵PM＝PN，MN＝2，
∴，
在Rt△POC中，∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝30°，
∵OP＝8，
∴，
∴OM＝OC﹣CM＝4﹣1＝3，
故选：B．
8．解：如图所示，连接OP，
∵点P关于OA、OB的对称点是M、N，
∴OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，
∴OM＝ON，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝30°，
∴∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝8cm，
∴8×3＝24（cm），即△MON的周长是24cm，
故选：D．
9．解：如图所示：
由线段垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC，
∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BC＝10；
如图所示：
由线段垂直平分线的性质可知AP＝BP，AQ＝QC，
∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BP+CP+PQ+PQ＝BC+2PQ＝10+4＝14，
综上所述，△AQP的周长为10或14，
故选：D．
10．解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴，
在△BQP和△BEP中，
，
∴△BQP≌△BEP（SAS），
∴∠BPQ＝∠BPE，PQ＝PE，
∴AP+PE＝AP+PQ
∵垂线段最短，
∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，∠AEB＝90°，
∵∠CBD＝34°，
∴∠BPE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠BPQ＝∠BPE＝56°，
∴∠APQ＝180°﹣∠BPQ﹣∠BPE＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，
∴m+2＝﹣2，n﹣4﹣3＝0，
∴m＝﹣4，n＝7，
∴（m+n）2＝（﹣4+7）2＝32＝9，
故答案为：9．
12．解：根据轴对称图形可作如图所示：
共有5种画法，
故答案为：5．
13．解：∵CE是AD的垂直平分线，
∴DC＝AC＝6，
∴∠DAC＝∠ADC，
∵∠DAC＝2∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝BD+DC＝4+6＝10，
故答案为：10．
14．解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，
∵∠B＝30°，
∴∠ACD＝30°，AB＝2AC，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝6．
故答案为：6．
15．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C40°，
分三种情况：
当AB＝AD时，此时点D与点C重合，
∴∠ADB＝∠ACB＝40°；
当BA＝BD时，如图：
∴∠BAD＝∠BDA70°；
当DB＝DA时，如图：
∴∠B＝∠BAD＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝100°；
综上所述：∠ADB的度数为40°或70°或100°，
故答案为：40°或70°或100°．
16．解：①连接OB，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
三．解答题
17．解：当AC＝10时，10+10＜22，不能组成三角形；
当AC＝22时，22+10＞22，可以组成三角形，
可得2m+2＝22，
解得m＝10，
△ABC的周长为10+22+22＝54．
18．解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；
（2）．
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为2，
∴，
解得t＝﹣2或6，
∴P点坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
19．解：（1）如图，直线EF即为所作图形；
（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE＝PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF＝∠OAE，AO＝AO，∠AOF＝∠AOE＝90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF＝AE，
∴AF＝PE．
20．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形．
（2）解：∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°，
∵AC＝AD，
∴，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝70°﹣20°＝50°．
21．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D＝60°，∠E＝∠C＝60°，
∴∠D＝∠E＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，
又∵BF＝DE，
∴BF＝AD，
∴DF＝AD+AF＝BF+AF＝AB，
∵AB＝BC，
∴DF＝BC；
（2）连接FE，FC，如图所示：
在△CFB和△FED中，
，
∴△CFB≌△FED（SAS），
∴FC＝FE，
∵FH⊥EC，
∴CH＝EH，
即H为CE中点．
22．（1）证明：设∠CBE＝α，
∵BE⊥AC，
∴∠ACB＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣2α，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝2α，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
（2）解：由（1）知：∠CBE＝α，∠BCD＝∠A＝2α，∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，
∵BFD是△BCF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝3α，
∵BE⊥AC，∠A＝2α，
∴∠DBF＝90°﹣∠A＝90°﹣2α，
又∵∠BDF＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，
∴∠BDF＞∠DBF，
∴当△BDF是等腰三角形时，有以下两种情况：
①当BD＝BF时，则∠BDF＝∠BFD，
∴90°﹣α＝3α，
解得：α＝22.5°，
∴∠A＝2α＝45°；
②当BD＝DF时，则∠DBF＝∠BFD，
∴90°﹣2α＝3α，
解得：α＝18°，
∴∠A＝2α＝36°，
综上所述：∠A的度数是45°或36°．
23．（1）①证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形．
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
②解：△CMN是等边三角形，理由如下：
由①知，
△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，
∵AN＝2AE，BM＝2BD，
∴AN＝BM，
∵AC＝BC，
∴△ACN≌△BCM（SAS），
∴∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，
∴∠ACM﹣∠ACM＝∠ACN﹣∠ACM，
∴∠MCN＝∠BCA＝60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）证明：如图，
延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠FCG＝∠ACB＝30°，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DM＝BD，∠CDM＝∠ADB，
∴△ABD≌△CMD（SAS），
∴CM＝AB，∠A＝∠DCM，
∴CM∥AB，CM＝AC＝CF，
∴∠MCG＝∠ABC＝30°，
∴∠FCM＝∠MCG+∠FCG＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM，
同理可得，
△FCN≌△ACE，
∴∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB，
∴∠MFN＝∠CFN﹣∠CFM＝60°，FN＝FG，
∴△GFN是等边三角形，
∴∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM，
∴∠GMN＝∠GNM，
∵∠GMN+∠GNM＝∠FGN＝60°，
∴∠GMN＝∠GNM＝30°，
∴∠CNM＝∠CMF+∠GMN＝60°+30°＝90°，
∴CM⊥MN．
24．（1）解：如图1，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，AD＝BD，
∵AD＝6，
∴AB＝12，
∵AB＝AC，
∴AC＝12，
∴BE+CE＝AE+CE＝12，
∵△BEC的周长为19，
∴BE+CE+BC＝19，
∴BC＝19﹣12＝7；
（2）①证明：如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEC＝30°+30°＝60°＝∠BED，
∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝∠CAF30°＝15°，
∴∠C75°，
∵OD＝DM，AB⊥OM，
∴AB是OM的垂直平分线，
∴AO＝AM，
∴∠DAM＝∠DAO＝15°，
∴∠AMD＝75°，
∵AM＝BM，DM⊥AB，
∴∠BMD＝∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠BMD，
∵BE＝BE，
∴△BCE≌△BME（AAS），
∴CE＝EM＝2OD+OE；
②解法一：∵AF＝11，M是AF的中点，
∴AM＝FM，
如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH，
∴∠FMK＝∠MFK＝60°，FM＝MK，
∵△MNP是等边三角形，
∴MN＝MP，∠NMP＝60°，
∴∠NMP＝∠FMK＝60°，
∴∠FMN＝∠KMP，
∴△MFN≌△MKP（SAS），
∴∠MKP＝∠NFM＝90°，∠FNM＝∠MPK，
∴∠MND＝∠MPH，
∵PM＝MN，
∴△MPH≌△MND（SAS），
∴MH＝MD，∠PMH＝∠DMN，∠MHP＝∠MDN，
∴∠DMH＝∠PMN＝60°，
∴△DMH是等边三角形，
∴当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动，
当AP⊥PG时，AP的长最小，
∵∠MHP＝∠MDN，∠DOQ＝∠MOH，
∴∠DQO＝∠DMH＝60°＝∠FQG，
∵∠GFQ＝90°，
∴∠G＝30°，
Rt△MKG中，MKMG（FM+FG），
∵MK＝MF，
∴FM＝FG，
∴AG，
∴AP的最小值AG．
∴当等边△MNP在AF的左边时，同理得：AP的最小值是．
综上，AP的最小值AG．
解法二：如图4，向右构建等边△AMK，过点K作KH⊥BF于H，
易得△AMP≌△KMN（SAS），
∴AP＝KN，
∵K是定点，BF是定直线，
∴KN≥KH，
∴AP的最小值＝KHAF．