九年级数学上册试题 第二十二章《二次函数》单元检测卷 --人教版（含答案）

第二十二章《二次函数》单元检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列哪些式子表示y是x的二次函数（　　）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x
y 3 5 3
则，y的值是（ ）
A．5 B． C． D．
5．某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示：
x
y 0.25 0.56 0.89
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．若图2中，则n的值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．二次函数向左平移个单位，向上平移个单位得到函数解析式是 ．
13．若点，都在二次函数的图象上，则 ．(填“>”“”或“=”)
14．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号）
15．二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ．
16．某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大．
17．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ．
18．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
（1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ；
（2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．已知抛物线（a是常数）．
(1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点；
(2)若该二次函数有最小值，求a的值．
20．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元．
(1)求w与x的函数表达式．
(2)该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值．
21．如图，二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线．
(1)求的值．
(2)给出一种平移方案，使该二次函数的图象经过原点，并写出平移后图象所对应的二次函数的表达式．
22．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，，点是这条抛物线上的一点，其横坐标为．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值；
(3)若过点作与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且点是线段的中点，求的值；
(4)当时，抛物线在，两点之间（包含，两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，直接写出的取值范围．
23．已知二次函数．
(1)请填写表中空格处的数值；
(2)结合表格，画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象可知，当时，的取值范围是___________．
24．请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴．
(2)如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标．
25．如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
26．【问题情境】如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上的点，连接．
【初步探究】
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点在直线上方运动时，连接、、，求四边形面积的最大值，并写出此时点的坐标；
【延伸拓展】
（3）如图2，若点是轴上的动点，点的横坐标为3．试判断是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】A、该函数y不是x的二次函数，故本选项错误；
B、该函数化简后:y=2x -2x符合y是x的二次函数的定义，故本选项正确；
C、, y是x的一次函数，故本选项错误；
D、由原函数得到：y=，属于一次函数，故本选项错误；
故选B．
2．D
【详解】解：A．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故A错误；
B．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故B错误；
C．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故C错误；
D．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，对称轴，则，故D正确；
故选：D．
3．D
【详解】解：抛物线 先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线，
故选：D．
4．D
【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线，
∴二次函数上的点关于对称轴的对称点为，
∴当时的函数值与时的函数值相等为．
故选D．
5．A
【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：．
故选：A．
6．D
【详解】解：由图可知：当时，二次函数图象在一次函数图象下方，
即此时；
故选：D．
7．B
【详解】解：由题意得，抛物线过点、、，
设，
把代入，
得，
解得，
．
令得，
，
门的高度约为．
故选：B．
8．C
【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线，
由表格数据可得：
当时，；当时，；
∴的较小的根的范围为，
∵函数的对称轴为直线，
则，
∴的较大的根的范围是．
故选：C．
9．B
【详解】解：拋物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴交点在轴上方，
，①正确；
抛物线与轴有2个交点，
，②错误；
，③正确．
时，为函数最大值，
④正确；
方程的四个根分别为和的根，
抛物线关于直线对称，
抛物线与直线的交点的横坐标之和为2，抛物线与直线的交点横坐标之和为2，
方程的四个根的和为4，⑤错误．
故选：B
10．B
【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为，抛物线过点，
∴设，
把代入，得，
解得；
故选B．
二、填空题
11．
【详解】解：
所以抛物线的顶点式为，其顶点坐标为．
故答案为：．
12．
【详解】解:二次函数向左平移个单位，得到
向上平移个单位，得到
∴函数解析式是：或．
故答案为:或．
13．
【详解】解：由于点，都在二次函数的图象上，
，可知函数的对称轴为，
由于，，，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
由于在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小，
．
故答案为：．
14．①③②
【详解】解：∵①；② ；③
∴，二次项系数a分别为、、，
∵，
∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄．
∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②．
故答案为：①③②．
15．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，
∵二次函数的图象开口向下，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
16．150
【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元．
此时房价为元，日均入住数为间．
日营业收入，展开并整理：
对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值．
对称轴为．
当时，房价为元，且150元在元范围内．
综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大，
故答案为：150．
17．，
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：．
∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：．
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为．
即或2时，．
∴一元二次方程的解为，．
故答案为：，．
18． 或或
【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式
可得：，
解得：，
则拋物线解析式为：．
故答案为：
（2）设点P的坐标为，
∵，，
∴，
∵以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，
∴
则或，
解得，，
当时，与重合，故舍去，
∴点的坐标为或或
三、解答题
19．（1）解：令，得，
，
∴无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点；
（2）解：，
∴该二次函数有最小值，
解得：，
∴a的值为1或5．
20．（1）解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
∵原本按每吨5万元出售，
∴现在按每吨万元出售，
∵每吨的成本为2万元，
∴每吨的利润为万元，
∵每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨，
∴每吨降价x万元，每天销售量相应增加吨，
∵原本平均每天可售出100吨，
∴现在平均每天可售出吨，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴w=-50x2 +50x+300=-50（x-）2 +312.5 ，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴万元，
答：定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元．
21．（1）解：．
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴二次函数的表达式为，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为（答案不唯 一）．
22．（1）解：∵抛物线（，是常数）经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，且横坐标为，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，且横坐标为，
∴设，
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∵点是线段的中点，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴，（舍去），
故．
（4）解：当时，此时点P在点B左边，
此时点P为最高点，点B为最低点，
∵到x轴的距离为3，
∴点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为，
把代入抛物线，可得，
解得，（舍去），
∴；
当时，此时点P在点B右边，
此时点P为最低点，点B为最高点，
最低点到x轴的距离不可能比最高点到x轴的距离大1，故不成立；
当时，此时点P在点B右边，此时二次函数顶点为最低点，点为最高点，
最低点到x轴的距离比最高点到x轴的距离大1，恒成立；
当时，此时点P在点B右边，
此时二次函数顶点为最低点，点P为最高点，
∴点P的纵坐标为3，
把代入抛物线，可得，
解得，（舍去），
∴，
综上所述，或或．
23．（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
填表如下：
（2）解：画函数图象如下：
（3）解：由函数图象可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，
24．（1）解：由题意可得，连接与得到交点，连接得到交点，所在直线即为对称轴如图所示，
（2）解：作点关于抛物线对称轴的对称点，
∵、两点是抛物线上的对称点，
∴，
∴最小时最小，
∴连接交对称轴于一点即为点，如图所示，
设直线为，
由图可知，，
得，
解得，
∴，
∴时，，
∴．
25．（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为，
由表格得：，
解得：，
∴函数表达式为；
（2）解：由题意得，设，
∴小树顶端点的坐标为，
将其代入得，，
解得：，
∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：设铅直高度为，由题意得，
∴；
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
26．解：（1）将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由可知，
∵直线过，故可设直线的解析式为，
代入得，
解得，
∴直线的解析式为．
过点作轴交于点，
设，则，
∴四边形面积
，
∵点在直线上方，
∴当时，四边形面积有最大值32，此时；
（3）存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
当时，，
设，
，
①当为斜边时，26，
解得，
，
∵与B重合，故舍去；
②当为斜边时，26，
解得，
③当为斜边时，26，
解得或，
或（舍去）；
综上所述，满足条件的点坐标为或．