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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1.4 解直角三角形
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在△ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
6．（本题3分）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
7．（本题3分）如图，，，△ABC底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
8．（本题3分）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
9．（本题3分）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
10．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在中，，，，那么长为 ．
12．（本题3分）已知是斜边的中线，若，则 ．
13．（本题3分）在△ABC中，，，，则 ．
14．（本题3分）已知锐角△ABC中，，，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数）
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，，，垂足为D，．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
17．（本题7分）如图，在△ABC中，，，，．
(1)求和的长；
(2)求的值．
18．（本题8分）在△ABC中，，为锐角且，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
19．（本题8分）如图，是的中线，
求：
(1)的长；
(2)的正弦值．
20．（本题8分）如图，在△ABC中，．
(1)求的值．
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）
21．（本题9分）在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
22．（本题9分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，四边形是平行四边形．
(2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1.4 解直角三角形
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵．
故选：D．
2．（本题3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（本题3分）如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
解：过点C作轴于D，
∵点，
∴菱形的边长为6，
∵在菱形中，，
∴，
在中，，，
则，
∵顶点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为，
故选：D．
4．（本题3分）如图，在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故选：A．
5．（本题3分）如图，在△ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
解：如下图，作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
6．（本题3分）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
解：如图，过点A作轴，垂足为B，∴，，∴，，∴点A的坐标是（，），故选B．
7．（本题3分）如图，，，△ABC底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
8．（本题3分）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡的坡比为
∴BF=12cm，
在RtBCF中
BC=
=
=13cm
9．（本题3分）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
解∵处测得灯塔在它的北偏西方向上
∴∠BAM=90°-75°=15°，
∵灯塔在B的北偏西方向上，
∴∠BMA=75°-60°=15°，
∴∠BMA=∠BAM=15°，
∴BM=AB=8海里
故选A.
10．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
解：连接，如图所示
，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在中，，，，那么长为 ．
解：∵ 在中，，，，
∴ ，
解得，
∵
∴
故答案为：．
12．（本题3分）已知是斜边的中线，若，则 ．
解：∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）在△ABC中，，，，则 ．
解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
14．（本题3分）已知锐角△ABC中，，，则的长为 ．
解：如图，过点作于点，
设，
，,
，
故答案为：
15．（本题3分）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数）
解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，
由题意得：，，
，
在Rt△ABD中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，，，垂足为D，．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
【答案】(1)
(2)
（1）解：∵在中，，，
∴，
∴；
∵，
∴在中，；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∴．
17．（本题7分）如图，在△ABC中，，，，．
(1)求和的长；
(2)求的值．
（1）解：∵在△ABC中，，，，
∴，；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴．
18．（本题8分）在△ABC中，，为锐角且，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
（1）解：∵为锐角且，
∴；
（2）解：过点A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
19．（本题8分）如图，是的中线，
求：
(1)的长；
(2)的正弦值．
（1）解：如图，作于．
在中，，，
，，
在中，，
，
．
（2），
，，，
在中，．
的正弦值为．
20．（本题8分）如图，在△ABC中，．
(1)求的值．
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）
（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
21．（本题9分）在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
（1）解：过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）在中，，，
∴．∴的值为．
22．（本题9分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，四边形是平行四边形．
(2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，，
∴，，，
在中，，
依题意，，
∴，
∵，
∴，
∴
当时，四边形是平行四边形
∴
解得：
（2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
又，
则，
∴．
∵，
∴四边形是梯形，，
∴，即．
∵四边形的面积是菱形面积的．
∴．
∴．
解得：或．
∵．
∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的．
（3）当时，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又，
则，
解得：．
∴当时，．
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