广东省汕头市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

广东省汕头市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于直线，和平面，，能得出的一组条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
3.异面直线，，若，，且，则直线与，的关系是( )
A. 与，都相交 B. 与，都不相交
C. 至多与，中的一条相交 D. 至少与，中的一条相交
4.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，线段、在平面内，，，且，，则、两点间的距离为( )
A. B. C. D.
6.四面体各面所在平面将空间分成几部分( )
A. B. C. D.
7.在平行六面体中，与的交点为，点为上靠近点的三等分点．设，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
8.已知，，是从点出发的三条射线，若，，则直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.棱台具备的特点是( )
A. 所有的侧面不存在两个面互相平行 B. 侧面都是等腰梯形
C. 侧棱长都相等 D. 侧棱延长后都交于一点
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
11.过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、下列说法正确的是( )
A. 若，，则是边的中点
B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心
C. 若，，，则点是的垂心
D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点与点，在轴上求一点，使点到直线的距离为，则点的坐标为 ．
13.将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 ．
14.如图，在正三棱柱中，若，且与所成角的大小为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点、、分别是、、的中点．
求证：平面；
求证：平面．
16.本小题分
已知空间四点，，，．
若、、、四点共面，求的值；
求直线和直线夹角余弦值的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足底面，且
若为中点，求证：；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点，是原正方形的中心，动点在线段包含端点，上．
若为的中点，求直线到平面的距离；
若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
在如图所示的装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直活动弹子、分别在正方形对角线、上移动，且和的长度保持相等，记．
求的长用表示；
当平面与平面夹角为时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
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3.【答案】
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8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：证明：如图，连接、，连接交于点，连接，
因为点为的中点，为中点，且四边形是正方形，
所以四边形为矩形，故为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：由，为的中点，得，
又因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面

16.【答案】解：由题意，得，，
，，，四点共面，
存在实数使得，
即，
则，解得，，，
故的值为；
，，
设直线和直线的夹角为，
，
因为，，所以
所以
所以两直线和的夹角余弦值的范围是．
17.【答案】解：证明：由题意可得两两垂直且相交于同一点，
分别以所在直线为轴，轴轴，建立如图空间直角坐标系，
由，
可得，
则
所以
所以，即；
因为，底面，
底面，所以，
，平面，所以平面
所以为平面的一个法向量，且；
设为平面的一个法向量，
则，
所以，
又因为，
所以
令，则，
所以，
设平面与平面所成的二面角为，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

18.【答案】解：连接，，，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又，平面，
所以，，
又因为，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

所以，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有
令，得，，
故平面的一个法向量为，
又因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为；
，故，
设平面的法向量为，
则有
令，则，，
故平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则有
令则，，
故平面的一个法向量为，
设二面角平面角为，
则，
故二面角的余弦值为．

19.【答案】解：因为、都是正方形，
所以，，
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
分别作，，垂足分别为，，
易知，，
因为，
由相似比可得：
，，
所以，，
则；
，，
，
设平面与平面的法向量分别为，，
由
令，得，
故平面的一个法向量为，
由
令，得，
故平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
则
，
解得或，或，
因为，所以．

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