第二十二章 二次函数单元素养提升测评卷（含解析）　2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章　二次函数单元素养提升测评卷　
2025-2026学年人教版数学九年级上册
时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）抛物线（m是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．x轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
2．（本题3分）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知二次函数，若自变量x分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）已知二次函数，则下列关于这个函数图像和性质的说法，正确的是（ ）
A．图像的开口向上 B．图像的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为5
5．（本题3分）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
6．（本题3分）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m
C．20m D．22.5m
9．（本题3分）如图，二次函数的图象过点和点，且顶点在第三象限，设，则 p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）若是关于的二次函数，则m的值为 ．
12．（本题4分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，当时，随的增大而增大，则抛物线解析式可以是 ．（任写一个即可）
13．（本题4分）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
14．（本题4分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m时，水面宽4m，当水面下降2m时，水面的宽度为 m．
15．（本题4分）如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，点P坐标为 ．
16．（本题4分）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ．
三、解答题-问答题（共66分）
17．（本题10分）已知抛物线经过点，．
（1）求a，b的值
（2）若，是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
18．（本题10分）已知抛物线（m是常数）．
(1)用含m的代数式表示该二次函数图像的顶点坐标．
(2)当二次函数图像的顶点在x轴上时，求m的值及此时顶点的坐标．
(3)小明研究发现：无论m取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．
19．（本题10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价40元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价）
20．（本题12分）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
21．（本题12分）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（图中粗线表示墙面，其中，米，米）和总长为42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，设的长为米．
(1)当段在线段上时，
① 米；（用含的代数式表示）
②若要求所围成的饲养场的面积为78平方米，求饲养场的宽．
(2)当饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
22．（本题12分）如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《第二十二章　二次函数单元素养提升测评卷　2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D C D D B B A
1．A
【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．
【解析】解：∵，
∴顶点坐标为：（1，），
∵1＞0，，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，根据的一个根对应的函数值为，根据，可判断，选择即可．熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．
【解析】解：依题意，因为的一个根对应的函数值为，
观察图中的数值，当在，
所以，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
根据与对称轴的大小关系，判断的大小关系即可．
【解析】解：∵二次函数，
∴此函数的对称轴为直线，开口向下，
∵，三点都在对称轴右侧，
∴对称轴右侧随的增大而减小，
，
故选：A．
4．D
【分析】先对解析式配方得到，根据函数的性质解答即可．
【解析】∵
，
∴A. 图像的开口向下，不符合题意；
B. 图像的顶点坐标是，不符合题意；
C. 当时，随的增大而增大，不符合题意；
D. 函数有最大值为5，符合题意，
故选D．
5．C
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【解析】解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
6．D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【解析】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出是解题的关键．先求出，，再求出，最后判断一次函数图象即可．
【解析】解：由二次函数的图象可知，，，
当时，，
∴的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
8．B
【分析】将点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）分别代入函数解析式，求得系数的值，然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解析】解：根据题意知，抛物线（）经过点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9），
则，
解得：，
∴（m）．
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先根据二次函数的图象与坐标轴分别交于点和点，求出，，进而得到，再求出即可得到结论．
【解析】解：抛物线过点 和点，
，，
∴，
顶点在第三象限，
，
又，
，
，即，
∵，
，
即：．
故选：B．
10．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解析】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
11．
【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可．
【解析】解：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】根据顶点坐标，写出顶点式，再根据二次函数的性质，得到，即可．
【解析】解：∵抛物线的顶点是，
∴设抛物线的解析式为，
∵时，随的增大而增大，
∴，
∴抛物线的解析式可以是：；
故答案为：（答案不唯一）
13．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，
直线在抛物线的上方，
不等式的解集是．
故答案为．
14．4
【分析】本题考查了二次函数在拱桥问题中的应用，建立恰当的平面直角坐标系设抛物线的解析式为（），由已知条件得在函数图象上，代入求解可求出函数关系式，求当时对应两点之间的距离，即可求解；建立恰当的平面直角坐标系，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键.
【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为（），
把点代入得：
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，，
，
当水面下降2时，水面的宽度为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，先利用待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标，连接，直线与轴的交点即为点P，求解即可．
【解析】解：把，代入，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
连接，设直线的解析式为，
则，解得，
∴；
∵两点关于轴对称，点P是y轴上一点，
∴，
∴，
∴当点在直线上时，取得最小值，
∵当时，，
∴；
故答案为：．
16．①③④⑤⑥
【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键．
①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论．
【解析】解：①∵抛物线图象开口朝上，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，
，
，故①正确；
③经过，
又由①得，，
，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，
当时，即
，
即，
经过，即经过，故④正确；
⑤当时，，当时，，
，
函数有最小值，
，
∴，
∴，故⑤正确；
⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．
故答案为：①③④⑤⑥．
17．（1）；（2）
【分析】（1）把点，代入函数解析式，列方程组，解方程组可得答案；
（2）由，是抛物线上不同的两点，可得 再代入，建立方程求解即可.
【解析】解：（1）将，分别代入抛物线
得，
化简得，
抛物线的解析式为：
（2） ，是抛物线上不同的两点，
整理得：
18．(1)
(2)；顶点的坐标为
(3)
【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式即可求得答案；
（2）由顶点在x轴上，可得到关于m的方程，则可求得m的值，可求得顶点坐标；
（3）由顶点坐标消去m可得到x、y满足的条件，则可求得答案．
【解析】（1）解：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为；
（2）解：当二次函数图像顶点在x轴上时，，
解得：，
∴此时顶点的坐标为；
（3）解：直线的函数表达式为，证明如下：
∵将，代入满足，
∴m取不同值时，点都在一次函数的图像上
即顶点所在的直线的函数表达式为．
19．(1)
(2)销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润得出函数关系式是解题关键．
（1）设y与x之间的函数表达式为将点，代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：
将点，代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）解：设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
，
∵，函数有最大值，
∴当时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．
【解析】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
21．(1)①；②饲养场的长为13米
(2)当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米
【分析】（1）①根据矩形的性质求出和的长度，进而求出的长度，再根据篱笆总长度为42米，做减法即可求出的长度．②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．
（2）根据题意，对点F是在线段上还是在线段的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场的面积与的长度的关系式，再根据二次函数的性质求出当为何值时，取到最大值．
【解析】（1）解：①∵饲养场是一个“日”形，
∴四边形是由矩形和矩形组成的矩形．
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
②要求所围成的饲养场的面积为78平方米，
，即，解得，.
，即，
∴.
答：饲养场的长为13米.
（2）设饲养场的面积为，
当点在线段上时，
，，
当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为108平方米.
此时，符合条件.
当点在线段的延长线上时，设为米，
由（1）可得，，.
，.
，解得，
，
当时，有最大值，最大值为平方米，
此时，符合条件.
当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米.
，当饲养场的宽为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米.
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）首先求出直线的解析式，然后设，，表示出线段，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意分点Q在x轴上方和x轴下方两种情况讨论，分别根据直线和抛物线的交点求解即可．
【解析】（1）解：将点和点，代入得，
，解得，
∴；
（2）设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴，
∴设，，
∴，
∴当时，线段最大，
∴将代入，
∴；
（3）如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，

∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，解得，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将点代入得：，
∴，
∴联立和得，，
∴解得，
∴将代入，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴联立直线和直线可得，，即，
∴解得，
∴将代入，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，
∴解得，
∴，
∴联立直线和抛物线得，，即，
∴解得，，
∴将代入，
∴，
综上所述，点Q的坐标为或．
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