3.1等量关系与方程 湘教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.1等量关系与方程湘教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于的方程是一元一次方程，则该方程的解为( )
A. B. C. D.
2.已知方程：；；则所满足的方程是( )
A. B. C. D.
3.如果是方程 的解，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
5.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
6.如果关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
7.如果，为定值时，关于的方程，无论为何值时，它的根总是，则的值为( )
A. B. C. D.
8.关于的方程的解是负数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.若关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
10.若关于的方程的解与的解相同，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ，该方程的解为 ．
12.已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是____．
13.已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
14.若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的方程．
当取何值时，它是一元一次方程？
当取何值时，它是一元二次方程？
16.本小题分
已知：关于的方程与有相同的解，求以为未知数的方程的解．
17.本小题分
若关于的方程和的解的和为，求的值．
18.本小题分
如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“的后移方程”例如：方程的解是，方程的解是．
所以，方程是方程的“的后移方程”．
判断方程是否为方程的的后移方程______填“是”或“否”；
若关于的方程是关于的方程的“的后移方程”，求的值；
若关于的方程是关于的方程的“的后移方程”，求的值．
19.本小题分
定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”例如：方程和为“和谐方程”．
若关于的方程与方程 “和谐方程”填“是”或“否”；
若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；
若无论取任何有理数，关于的方程为常数与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．
20.本小题分
根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
的倍减去的差等于的倍与的和．
，的差的绝对值的比，的和小．
与是同类项．
从边长为的正方形铁皮上截去一个长为，宽为的小长方形，余下部分的面积是．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由条件可知且，
，
方程为，
解得：，
故选：．
由一元一次方程的定义可得且，进而得出，代入得出一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
本题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，理解一元一次方程的定义正确求出的值是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程．
【详解】解：将代入，
左边：
右边：
两边相等，满足方程；
将代入，
左边：
右边：
两边相等，满足方程；
将代入，
左边：
右边：
两边相等，满足方程，
综上，满足所有三个方程，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】把代入方程，得出关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程 得： ，
解得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及解法，熟练掌握一元一次方程的解及解法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量单位，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为，
则可列方程为，
解得，
答：完成这个订单共需要天．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且．
【解答】解：含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
．是一元一次方程，故本选项符合题意；
含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了方程有解的情况，涉及分类讨论思想，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
分两种情况讨论，当时，当时，分别求解即可．
【解答】
解：当时，方程为一元一次方程，方程的根为
当时，方程为一元二次方程，有实数根需要，
解得：．
则的取值范围为．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：将方程的根，即，代入原方程并化简得，
当，为定值时，对任意的成立，
，，
解得：，，
，
故选：．
先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当，为定值时，对任意的成立，因此可得，，再求解即可．
本题考查的是一元一次方程的解，根据题意正确解一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解方程得因为关于的方程的解为负数，所以，解得，故选 A．
9.【答案】
【解析】解不等式得，解不等式得，所以因为关于的不等式组有且只有个整数解，所以，所以，解方程得因为关于的方程的解是负整数，所以或或或或或，所以或或或或或，所以符合条件的所有整数为和因为，所以符合条件的所有整数的和是故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先解 得出 ，代入 即可求解．
【详解】
解： ，
解得 ，
代入 ，
即 ，
解得 ．
故选：．
11.【答案】

【解析】解：根据题意可得：，，
解得：，
当时，方程为，
解得：，
故答案为：，．
根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出一元一次方程，解方程即可求出答案．
本题考查方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解有关知识，先用含的式子表示出原方程的解，再根据解为非正整数，可求得的值，则符合条件的所有整数的和可求
【解答】
解：
，
方程的解是非正整数，
，
解得：，
当时，；
当时，；
当时，舍去；
当时，舍去；
当时，；
则符合条件的所有整数的和是
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键．
【详解】解：是关于的方程的整数根，
，
，且，，，，是五个不同的整数，
，，，，也是五个不同的整数，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题．
【详解】解：，
，
，
关于的方程的解是整数，
或或，
解得或或或或或，
关于的多项式是二次三项式，
且，
解得且，
或或或，
那么所有满足条件的整数的值之积是；
故答案为：．
15.【答案】解：由关于的方程是一元一次方程，得
或，
解得或，
当或时，关于的方程是一元一次方程；
由关于的方程是一元二次方程，得
，
解得，
当时，关于的一元二次方程．
【解析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是，判断一个方程是否是一元一次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，或两个一次项的系数和不为零，可得答案；
根据一元二次方程：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
16.【答案】解：，
移项合并得：，
解得：，
关于的方程与有相同的解，
将代入方程，可得，
解得：，
将代入，可得，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化得：．

【解析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键．
先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可．
17.【答案】解：方程的解为，
方程的解为，
根据题意得，
去分母得，
解得．

【解析】略
18.【答案】是；
；

【解析】解方程，
．
解方程，
．
，
方程是方程的的后移方程；
故答案为：是；
解方程，
．
解方程，
．
关于的方程是关于的方程的“的后移方程”，
，
；
解方程得，
解方程得，
方程是方程的“的后移方程”，
．
，
．
求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值；
分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．
本题主要考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
19.【答案】解：，
解得：，
，
解得：，
与互为相反数，
方程与方程是“和谐方程”．
故答案为：是．
解：，
解得：，
，
解得：，
与方程是“和谐方程”，
，
解得：．
解：，
解得：，
关于的方程为常数与关于的方程都是“和谐方程”，
方程的解为：，
将代入方程，得，
整理，得，
无论取任何有理数，上式都成立，
故，，
解得：，，
．

【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可．
分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可；
分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可；
先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解．
20.【答案】【小题】解：
【小题】解：
【小题】解：
【小题】解：

【解析】 本题主要考查了列方程，根据题意列出方程．
本题主要考查了列方程，根据题意列出方程．
本题主要考查了同类项，根据同类项概念列出方程．
本题主要考查了列方程，根据题意列出方程．
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