3.3一元一次方程的解法 湘教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.3一元一次方程的解法湘教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小明同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉他方程的解是，请问这个被污染的常数是( )
A. B. C. D.
2.若关于的不等式的解集如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是( )
A. B. C. D.
4.下列方程变形中，正确的是( )
A. 方程，去分母得
B. 方程，去括号得
C. 方程，系数化为得
D. 方程，移项得
5.名学生在进行一次科学实践活动时，需要组装一种实验仪器，仪器是由三个部件和两个部件组成．在规定时间内，每人可以组装好个部件或个部件．那么，在规定时间内，最多可以组装出实验仪器的套数为( )
A. B. C. D.
6.已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为( )
A. B. C. D.
7.解方程时，去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
8.把方程的分母化为整数可得方程 ( )
A. B. C. D.
9.在解方程时，两边同时乘，去分母后，正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10.若代数式与的值互为相反数，那么的值是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若与的值互为相反数，则 ．
12.对于实数，，定义运算若，则 ．
13.若方程的解比方程的解大，则 ．
14.关于的方程，有以下三个结论：当时，方程只有一个实数解；当时，方程有两个不等的实数解；无论取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 填序号．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数被污染了．
小亮猜是，则方程的解 ；
若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
16.本小题分
已知关于的方程的解为．
求的值；
求代数式的值．
17.本小题分
若且，，是正整数，则利用此结论解决下列问题：
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知：方程是关于的一元一次方程．
求的值；
若上述方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值．
19.本小题分
定义一种新运算“”，其规则为例如再如：．
计算的值为______．
若，求的值．
有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
20.本小题分
定义：关于的方程与方程、均为不等于的常数称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
若关于的方程与方程互为“反对方程”，则 ；
若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值；
若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设被污染的常数是，
把代入得：，
整理得：，
移项合并得：，
解得：．
故选：．
设被污染的常数是，把代入计算即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2.【答案】
【解析】解：由数轴知，
则，
解得：，
故选：．
由不等式，结合数轴知，从而得出等式，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得到关于的方程是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次方程，根据题意得出一元一次方程是解题关键．
根据题意，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得，
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
根据等式的性质，逐项判断即可．
【解答】
解：因为方程，去分母得，
所以选项A符合题意；
因为方程，去括号得，
所以选项B不符合题意；
因为方程，系数化为得，
所以选项C不符合题意；
因为方程，移项得，
所以选项D不符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
设名学生组装部件，则名学生组装部件，根据“仪器是由三个部件和两个部件组成”和“每人可以组装好个部件或个部件”列出方程并解答．
【解答】
解：设名学生组装部件，则名学生组装部件，则
．
解得．
在规定的时间内，最多可以组装出实验仪器的套数为套．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为，得，
是非负整数解，
取，，，
或，时，的解都是非负整数，
则，
故选：．
先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：方程两边都乘以，去分母得，．
故选：．
根据解一元一次方程的方法，方程两边都乘以分母的最小公倍数即可．
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子如果是一个多项式作为一个整体加上括号．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握分数的基本性质是解本题的关键．方程各项利用分数的基本性质化简得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：方程整理得：．
故选：．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为：．
利用互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于的一元一次方程，求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，
，
因为，
所以，
解得，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再把代入第二个方程得出，再求出方程的解即可．
解：解方程，得，
方程的解比方程的解大，
方程的解是，
代入得：，
解得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】当时，方程化为，解得则此时方程只有一个实数解．故正确；当时，若，则此时方程有两个相等的实数解．故错误；又，所以当时，方程的解为；当时，方程有一个解为所以无论取何值，方程都有一个负数解．故正确．综上，正确的是．
15.【答案】【小题】
【小题】
解：设被污染的正整数为，
则有，
，
解得，
是正整数，为正整数，
．
即被污染的正整数是．

【解析】
利用去分母，移项，合并同类项，系数化，可得答案；
解：，
去分母，得，
移项，合并同类项得，
系数化，得；
故答案为：；

设被污染的正整数为，则有，求解可得答案．
16.【答案】【小题】
解：由得，
解得：，
将带入，解得
所以的值为；
【小题】
解：将代入得：，
所以代数式的值为．

【解析】
本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；
把代入方程进行求解即可；

由可直接代值进行求解即可
17.【答案】【小题】
解：因为， 所以，解得．
【小题】
因为， 所以，解得．

【解析】 略
略
18.【答案】解：方程是关于的一元一次方程，
，且，
解得；
当时，原方程变形为，解得，
方程的解与关于的方程的解互为相反数，
方程的解为．
方程去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
．
【解析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
依据一元一次方程的定义可得到，且；
先求得方程的解，从而可得到方程的解，然后代入求得的值即可．
19.【答案】解：；
根据题中的新定义化简得：
，
解得：；
“”运算不满足交换律，
例如：，，
即．
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义计算即可求出值；
已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值；
“”不满足交换律，举例即可．
【解答】
解：根据题中的新定义得：
原式
；
故答案为：；
见答案．
20.【答案】【小题】
【小题】
将写成的形式，
将写成的形式，
与方程互为“反对方程”，
【小题】
的“反对方程”为，
由得，，
当，得，
与的解均为整数，
与都为整数，
也为整数，
当时，，，都为整数，
当时，，，都为整数，
的值为．

【解析】
根据“反对方程”的定义直接可得答案；
解：由题可知，与、均为不等于的常数称互为“反对方程”，
与方程互为“反对方程”，
．

将“反对方程”组成方程组求解可得答案；

根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
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