3.4一元一次方程的应用 湘教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.4一元一次方程的应用湘教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙二人买同一件物品，甲买一件差元，乙买一件差元，而他们的钱合起来买一件还剩元，那么这件物品的价钱是元
A. B. C. D.
2.小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期，，，并求出它们的和是，则三个日期在日历中的排布不可能的是( )
A. B. C. D.
3.将浓度为的盐水与浓度为的盐水混合，配成浓度为的盐水克，则浓度为的盐水和浓度为的盐水分别为( )
A. 克；克 B. 克；克 C. 克；克 D. 克；克
4.一件商品，先提价，再降价，那么售价比原价( )
A. 贵了 B. 便宜了
C. 都一样 D. 价格不知道，不能确定
5.九章算术中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”凫：野鸭所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”如果设经过天能够相遇，根据题意，得( )
A. B. C. D.
6.爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.有长度相等粗细不同的两根蜡烛，一支可以燃烧小时，另一支可以燃烧小时．同时点燃，同时熄灭，余下的长度一支是另一支的倍，蜡烛点燃了分钟．
A. B. C. D.
8.小明计划和爸爸一起自驾游，图是这月份的日历，用图框住个日期，他们的和是，图中是出行日期，爸爸的车牌尾号是“”，则出行日期是几号，这天能出行吗？ 注：郑州市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为和，每周二限行尾号为和，以此类推
图：
周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六


A. ，不能 B. ，能 C. ，能 D. ，不能
9.甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从地去往地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离千米与甲步行的时间小时的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是( )
乙的速度为千米时；
乙到终点时甲、乙相距千米；
当乙追上甲时，两人距地千米；
、两地距离千米．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.某服装店以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是( )
A. 盈利元元 B. 亏损元 C. 亏损元 D. 不盈不亏
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图宽为的长方形图案是用块相同的小长方形地砖拼成的，则每块小长方形地砖的长是 ．
12.大小两数之和为，大数的倍与小数的倍之和是，那么大数是 ．
13.幻方起源于中国，它是一个由数字组成的方阵，其中每个数字只出现一次，且每行、每列和对角线上的数字之和都相等如图所示的幻方中， ；如图所示的幻方中， ．
14.为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水吨以下包含吨缴水费元；超过吨的部分，每吨元．小强家月份的应缴水费元，则月份的用水量为 吨．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多米，求围成的长方形的长和宽为多少米？
16.本小题分
如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的倍．
数轴上点对应的数是______；
若点到点、点的距离相等，求点表示的数，点表示的数在数轴的正半轴上还是负半轴上；
若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点，使得，若存在，请出点表示的数是多少？若不存在，请说明理由？
17.本小题分
某科技公司训练模型时，需要处理大量文本和图片数据已知文本数据每一个数据集包含个字符，图片数据每一个数据集包含张图片处理一个文本数据集需要秒，处理一个图片数据集需要秒．
某次训练任务中，总共处理了个数据集，且处理的总字符数比总图片数多求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过秒求有哪几种处理方案？
18.本小题分
小李在“双十一”期间逛超市，看到如下两个超市的促销信息．
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过元，不给予优惠；超过了元，其中的元打九折，超过元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
当一次性购物总额是元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少元？
当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
小李选择在乙超市购物实际付款元，小李的选择划算吗？请说明理由．
19.本小题分
观察数轴，充分利用数形结合的思想若点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为，根据以上信息回答下列问题：
多项式，若它的值与字母的取值无关．
求，的值；
如图，已知数轴上两点，对应的数分别为与点是线段的中点，
求点所表示的数；
点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度沿数轴匀速运动设、两点的运动时间为秒，当时，求的值．
20.本小题分
已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有，，三个点，且点，，三点所表示的数分别为，，，如图所示，已知．
______， ______， ______；
若点到点的距离是点到点的距离的倍，求点的对应的数；
动点从出发，以每秒个单位的速度向右移动，设移动时间为秒当点运动到点时，点也从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点在点开始运动后第几秒时，，两点之间的距离为？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】此题是典型的“盈亏问题”变形，关键是将“差的钱”与“剩的钱”转化为等式，通过总钱数建立方程求解．设物品价格为元，甲有元，乙有元．列出一元一次方程求解即可．
【详解】设物品价格为元，甲有元，乙有元．
甲买一件差元：
乙买一件差元：
两人钱合起来买一件还剩元：
可列方程：
解得：；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、设最小的数是，则，
解得所以本选项正确，不符合题意；
B、设最小的数是，则，
解得不合题意，所以本选错误，项符合题意；
C、设最小的数是，则，
解得，所以本选项正确不符合题意；
D、设最小的数是，则，
解得，所以本选项正确不符合题意．
故选：．
根据题意可列方程求解．
本题主要考查一元一次方程的应用，关键掌握日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻相差是．
3.【答案】
【解析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出关于方程进行求解．
设浓度为的盐水为克，由题意列出关于的方程，即可求解．
【详解】解：设浓度为的盐水为克，则浓度为的盐水为克．
由题意得：，
，
，
浓度为的盐水为克，浓度为的盐水为克．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：设一件商品原价为元，
根据题意，得售价为元，
，
，
售价比原价便宜了，
故选：．
设一件商品原价为元，根据先提价，再降价，表示出售价，进一步比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据野鸭和大雁到达目的地所需时间，可得出野鸭每天飞行全程的，大雁每天飞行全程的，利用总路程野鸭的飞行速度时间大雁的飞行速度时间，即可列出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【解答】
解：根据题意得：．
故选：．
6.【答案】
【解析】首先根据题意得出两个圈的和都是，横、纵的和也是，然后利用有理数的加减法计算，然后代入求解即可．
【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为，
，
横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，
两个圈的和都是，横、纵的和也是
则，解得，
，解得，
，解得，
当时，则，
当时，则，
综上所述，的值是或，
故选B．
7.【答案】
【解析】本题主要查了分数的混合运算。设点燃的时间为小时，根据题意，列出方程，即可求解。
【详解】解：设点燃的时间为小时，根据题意得：
，
，
，
，
小时分钟，
答：蜡烛点燃了分钟．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据图可知，这五天的日期之和除以，即可得到中间的日期，从而可以列出相应的方程，从而可以得到的值，再根据题意和图可以得到出行日期那天是否可以出行．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
由图可知，号是周四，周四限行尾号为和，
故出行的日期是号，这天不能出行，
故选：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出的值．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数图象的运用，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键．
由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；
由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论；
乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离；
求出乙到达终点的路程就是，两地距离．
【详解】解：由题意，得
甲的速度为：千米时；
设乙的速度为千米时，由题意，得
，
解得：．
即乙的速度为千米时，
故正确；
乙到终点时甲、乙相距的距离为：
千米，故正确；
当乙追上甲时，两人距地距离为：
千米．故正确；
，两地距离为：
千米，故错误．
综上所述：正确的有．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，
盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元，
，
亏损了元，
故选：．
根据题意，分别算出盈利、亏损衣服的成本，由此即可求解．
本题考查了有理数的混合运算的运用，理解数量关系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
即每块小长方形地砖的长为，
故答案为：．
设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据图示等量关系：个长个长个宽，一个长一个宽，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设大数为，则小数为，
根据题意列已有按一次方程得，，
解得．
故答案为：．
设大数为，根据大小两数之和为得小数为，再根据大数的倍与小数的倍之和是列出方程进行求解即可．
本题考查列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
13.【答案】

【解析】解：如图：设图中右边的数为，
幻方中每行、每列和对角线上的数字之和都相等，
，
解得：，
设图中上方的数为，右边的数为，上方的数为，下方的数为，
，
，得：，
解得：．
故答案为：，．
设图中右边的数为，图中上方的数为，右边的数为，上方的数为，下方的数为，进而根据幻方中每行、每列和对角线上的数字之和都相等列出方程，消去无关的数据，求得相应的，的值即可．
本题考查一元一次方程的应用．在表格中标上需要的数据，根据幻方的性质得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键，根据题意得到小强家月份的用水量超过吨，设小强家月份的用水量为吨，由此列式求解即可．
【详解】解：，
小强家月份的用水量超过吨，
设小强家月份的用水量为吨，
，
解得，，
小强家月份的用水量为吨，
故答案为：．
15.【答案】围成的长方形的长为米，宽为米．
【解析】解：设围成的长方形的长为米，则围成的长方形的宽为米，
根据题意得：，
解得：，
米．
答：围成的长方形的长为米，宽为米．
设围成的长方形的长为米，则围成的长方形的宽为米，根据围成的长方形的周长为米，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即围成的长方形的长，再将其代入中，即可求出围成的长方形的宽．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，点表示的数为，则点到原点的距离是，点到原点的距离是，点可能是或，但由于点位于点的左侧，故点对应的数是．
故答案为：；
点到点、点的距离相等，
点表示的数为：，在正半轴上．
存在，理由如下：
的距离为：，
，
考虑到点可能位于点的左右两侧，分两种情况讨论：
当点位于点的左侧时，点表示的数为：；
当点位于点的右侧时，点表示的数为：．
存在点，点表示的数是或．
先计算出点到原点的距离，再算出点到原点的距离，再根据点在点的左侧确定点对应的数；
根据两点之间的中点坐标的特点求解判断即可；
先计算出的距离，再计算出的距离，最后分点位于点的左右两侧分别讨论．
本题考查了如何表示数轴的点、点与点之间的距离等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用．
17.【答案】此次训练任务中，处理了个文字数据集，个图片数据集；
共有种处理方案，
方案：处理个文字数据集，个图片数据集；
方案：处理个文字数据集，个图片数据集．
【解析】解：设此次训练任务中，处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
根据题意得：，
解得：，
个．
答：此次训练任务中，处理了个文字数据集，个图片数据集；
设处理个文字数据集，则处理个图片数据集，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，
共有种处理方案，
方案：处理个文字数据集，个图片数据集；
方案：处理个文字数据集，个图片数据集．
设此次训练任务中，处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，根据处理的总字符数比总图片数多，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即处理的文字数据集的数量，再将其代入中，即可求出处理的图片数据集的数量；
设处理个文字数据集，则处理个图片数据集，根据“处理的总字符数不低于总图片数，总耗时不超过秒”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各处理方案．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
18.【答案】解：甲超市实付款为：元，
乙超市实付款为：元；
当一次性购物总额是元时，甲超市实付款元，乙超市实付款元．
设当购物总额是元时，甲、乙两家超市实付款相同．
当时，依题意得：，
解得：，故不合题意，舍去；
当时，依题意得：，
解得：．
答：当购物总额是元时，甲、乙两家超市实付款相同．
小李的选择划算，理由如下：
设小李在乙超市购物元时，实付款为元．
依题意得：，
解得：，
如果小李选择在甲超市购物元，实付款为：元，
小李的选择划算．
【解析】根据甲、乙超市的优惠条件进行计算即可得出答案；
设当购物总额是元时，甲、乙两家超市实付款相同．当时，依题意得，当时，依题意得，然后解方程即可得出答案；
设小李在乙超市购物元时，实付款为元，依题意得，解此方程求出，再计算选择甲超市的实付款数即可得出结论．
此题主要考查了一元一次方程的应用，理解打折率，准确地找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
19.【答案】解：多项式的值与字母的取值无关，
，，
，；
数轴上两点，对应的数分别为与点是线段的中点，
点所表示的数为；
若点沿数轴的负方向匀速运动，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或；
若点沿数轴的正方向匀速运动，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：的值为或或．
【解析】由多项式的值与字母的取值无关，可得出，，解之即可得出，的值；
利用点表示的数，可求出点表示的数；
若点沿数轴的负方向匀速运动，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值；若点沿数轴的正方向匀速运动，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值．
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及合并同类项，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】，，；
或；
秒或秒．
【解析】解：式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，
，，
．
，且点在点的左侧，
，
．
故答案为：，，；
设点对应的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：点对应的数为或；
秒，秒．
设点的运动时间为秒，
当点运动到点时，点也从点出发，且点对应的数为，
当时，点对应的数是，点对应的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或不符合题意，舍去；
当时，点对应的数是，点对应的数是，
解得：，
即或，
解得：不符合题意，舍去或．
答：在点开始运动秒或秒时，，两点之间的距离为．
由式子是关于的二次多项式，可求出值，结合该多项式的二次项为，可得出的值，由结合点在点的左侧，即可求出的值；
设点对应的数为，根据点到点的距离是点到点的距离的倍，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
利用时间路程速度，求出点到达点及点返回点所需时间，设点的运动时间为秒，当时，点对应的数是，点对应的数是，根据，两点之间的距离为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点对应的数是，点对应的数是，根据，两点之间的距离为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、以及多项式，解题的关键是：利用多项式的定义，找出，的值；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
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