《一元二次方程的根与系数的关系》习题
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______.
2．当__________时，关于的方程有实数根．(填一个符合要求的数即可)
3. 已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为 ．
4. 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ．
5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A．3或 B．3 C．1 D．或1
6．一元二次方程的两个根分别是，则的值是( )
A．3 B． C． D．
7． 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m－1 C．m>l D．m<－1
8．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
求k的值.
9．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个相等的实数根，求的值；
(2)若方程的两实数根之积等于，求的值．
《一元二次方程根的根与系数的关系》习题
一、填空题
1、设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根，则 ，.x12＋x22＝ ．
2、关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；
当m＝ 时，两根互为相反数．
3、若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根，则a＝ ，该方程的另一个根x2 = ．
4、若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， ．
二、解答题
1、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0．
(1 )若x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
(2) 若x1、x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足：x12+x22+2x1x2―x12x22=0，求m的值．
2、关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0．
⑴ 如果方程有实数根，求k的取值范围．
⑵ 设x1、x2是方程的两根，且，求k的值．
3、已知： x1、x2是关于x的方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0的两个实数根，且(x1＋2)(x2＋2)＝11，求a的值．
《5 一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学目标：
掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和．
教学重点：
掌握一元二次方程根与系数的关系．
教学难点：
熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题．
教学过程：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0 (2)x2＋3x－4＝0 (3)x2－5x＋6＝0.
探索
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
x1=，x2=
能得出以下结果：
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1?x2= 即：两根之积等于
=+
==
=×
===
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为
x1+x2=，x1x2=
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋ x＋＝0(a≠0)，
则以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：
x2-( )x＋x1x2＝0(a≠0)
例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，那么(为什么？)∴x1=
又x1+2=(为什么？)∴k=
想一想，还有没有别的做法？
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的
(1)平方和 (2)倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2=
(1)∵(x1+x2)2= x12+2 +x22
∴x12+x22=(x1+x2)2-2 =
(2)
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是
解：所求的方程是x2-()x＋()＝0 (为什么？)
即x2+ x- ＝0或6x2+ x- ＝0
例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根
解这个方程，得x1= ，x2=
因此，这两个数是 ， ．
练习：
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
(1)y2-3y+1=0 (2)3x2-2x=2 (3)2x2+3x=0
(4)3x2+5x-2=0 (5)2y2-5=6y (6)4p(p-1)-3=0
2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)(x1+1)(x2+1) (2)
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7．
5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数．
课件15张PPT。5 一元二次方程的
根与系数的关系
1、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．ax2+bx+c=0 (a≠0)X=(a≠0，b2-4ac≥0)(2)求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3；②-4和7；③3和-8；④-5和-2x2-5x+6=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0②(x+4)(x-7)=0①(x-2)(x-3)=0x2+7x+10=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根
与各项系数之间有什么关系？2、新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1，x2
那么有x1+ x2=-p， x1 ?x2=q猜想：2x2-5x+3=0，这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2：对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？所以得到，x1+x2=x1 ?x2=设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
X2=X2======则x1=如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
两个根是x1、x2，则 x1+x2=x1·x2=3、巩固练习：口答下列方程的两根只和与两根之积．1）x2-3x+1=02) x2-2x=23) 2x2-3x=04) 3x2=1判断对错，如果错了，说明理由．
1) 2x2-11x+4=0两根之和11，两根之积4．
3） x2+2=0两根之和0，两根之积2．
4） x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1．
2) 4x2+3x=5两根之和 两根之积 ．另外几种常见的求值解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2解得：k=4 或k=－2
题1、已知方程 的两个实数根
是 且 求k的值．
引申：1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数，则b?0；
（2）若两根互为倒数，则a?c；
（3）若一根为0，则c?0 ；
（4）若一根为1，则a?b?c?0 ；
（5）若一根为?1，则a?b?c?0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.解：由已知，△={即{m>0
m-1<0∴0 有一个正根，一个负根，求m的取值范围．
一正根，
一负根△＞0
X1X2＜0两个正根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0两个负根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0{{{课件3张PPT。课件2张PPT。已知关于x的方程2x2＋kx－4＝ 0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值．除了运用韦达定理求解，本题还有其它解法吗？答：有，可以运用公式法求解.解得：k=7.求得另一个根为
