《用频率估计概率》习题
1．下列说法正确的是( )．
A．一颗质地均匀的已连续抛掷了2000次的骰子．其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛出5点
B．某种彩票中奖的概率是l％，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
2．下列试验能用编号为“l～6”卡片(均匀)搅匀作为替代试验的有( )．
①抛掷四面体 ②抛掷两枚硬币 ③抛掷一枚骰子
④在“黑桃”5一“黑桃”10中任抽一张牌 ⑤转四等分的圆转盘
A．1个
B．2个
C．3
D．4个
3．下列试验中，所选择的替代物不合适的是( )．
A．不透明的袋中有1个红球、1个黑球，每次摸一个球，可用一枚均匀的硬币代替
B．不透明的袋中有3个红球、2个黑球，每次摸一个球，可以用一个圆面积5等分，其中3个扇形涂成红色，2个扇形涂成黑色的转盘替代
C．掷一颗均匀的骰子．可用三枚均匀的币替代
D．抽屉中，2副白手套、l副黑手套，可用2双白袜子、l双黑袜子替代
4．在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果没有硬币，下列试验一种不能作为替代试验( )．
A．2张扑克．“黑桃”代表“正面”，“红桃”代表“反面”
B．掷1枚图钉
C．2个形状大小完全相同，但1红1白的两个乒乓球
D．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取1人
5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小李通过多次摸球试验后，发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中自色球的个数很可能是( )．
A．6
B．16
C．18
D．24
6．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”
的频率约为0．44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（ ）
A．0．22
B．0．44
C．0．50
D．0．56
7．甲乙两同学投掷一枚骰子，用字母p，q分别表示两人各投掷一次的点数．
（1）求满足关于x的x2 + px + q =0方程有实数解的概率．
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．
8．小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．
这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
9．学校门口经常有小贩搞摸奖活动，某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红色1只，黄色2只，绿色10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1球，奖品的情况标注在球上（如图）：
（1）如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？
（2）如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？
《用频率估计概率》习题
1、一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前
提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，
求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的
白球数与10的比值分别为0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有_______个黑球．
2、将含有4种花色的36张扑克牌正面都朝下．每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25％，那么其中扑克牌花色是红心的大约有________张．
3、某公司有50名职工，现有6张会议入场券，经理决定任意地分配给6名职工，他们将50名职工按l～50进行编号，用计算器随机产生_______~________之间的整数，随机产生的______个整数所对应的编号的人就去参加会议．
4、从一副52张(没有大小王)的扑克牌中每次抽出l张。然后放回洗匀再抽，研究恰好出现“黑桃”的机会，若用计算器模拟试验，则要在____到______范围中产生随机数，若产生随机数是_____，则代表“出现黑桃”，否则就不是，无论进行多少次试验都可以知道“出现黑桃”的机会为_____．
5、要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是，可以怎样放球_______(只写一种)．
6、用6个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为．则应设_____个白球，_____个红球，_____个黄球．
7、有副残缺的扑克牌，只有红心和黑桃两种花色的牌，并且缺6张，通过若干次抽样调查知道红心和黑桃出现的频率分别为45％和55％，则共有红心牌______张．
8、现有50张大小、质地及背面图案均相同的北京奥运会吉祥物福娃卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘福娃的名字后原样放回，洗匀后再抽，不断重复上述过程，最后记录抽到欢欢的频率为20％.则这些卡片中欢欢约为______张．
《利用频率估计概率》教案
教学内容
1．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
2.在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
教学目标
理解每次试验可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率的方法；能应用模拟实验求概率及其它们的应用．
通过复习列举法求概率的条件和方法，引入相反方向的：每次试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用频率求概率的方法．
重难点、关键
1．重点：讲清用频率估计概率的条件及方法；
2．难点与关键：比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．
教具、学具准备
小黑板、计算器
教学过程
一、复习引入
(黑书)请同学们口答下面几个问题：
1．用列举法求概率的条件是什么？
2．用列举法求概率的方法是什么？
3．A＝(事件)，P(A)的取值范围是什么？
4．列表法、树形图法是不是列举法，它在什么时候运用这种方法．
老师口答点评：
1．用列举法求概率的条件是：(1)每次试验中，可能出现的结果有限多个；(2)每次试验中，各种结果发生的可能性相等．
2．每次试验中，有n种可能结果(有限个)，发生的可能性相等；事件A包含其中m种结果，则P(A)=．
3．0≤P(A)≤1，其中不可能事件B，P(B)=0，必然事件C，P(C)=1．
4．列表法、树形图法是列举法，它是在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素所用的方法．
二、探索新知
前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行的，如果不满足上面二个条件，是否还可以应用以上的方法呢？不可以．
也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
(学生活动)，请同学们独立完成下面题目：21世纪教育网
例．某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率．
(1)它能够用列举法求出吗？为什么？
(2)它应用什么方法求出？
(3)请完成下表，并求出移植成活率．
移植总数(n)
成活数(m)
成活的频率()
10
8
0.80
50
47
____
270
235
0.871
400
369
____
75
662
____
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
_____
900
8073
_____
14000
12628
0.902
(老师点评)解：(1)不能．
理由：移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等．
(2)它应该通过填完表格，用频率来估计概率．
(3)略
所求的移植成活率这个实际问题的概率是为：0.9．
例．某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．
柑橘总质量()/千克
损坏柑橘质量()/千克
柑橘损坏的频率()
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
150
15.50
_____
200
19.42
_____
250
24.25
_____
300
30.93
_____
35021世纪教育网
35.32
_____
400
39.24
_____
450
44.57
_____
500
51.54
_____
解：从填完表格，我们可得，柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完成的概率为0.9．
因此：在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克．
完好柑橘的实际成本为：
=2. 22(元/千克) 21世纪教育网
设每千克柑橘的销价为x元，则应有：
(x-2.22)×9000=5000
解得：x≈2.8
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．
例．一个学习小组有6名男生3名女生，老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取，你能设计一种试验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率吗？
分析：因为要做从这9人中，抽取3人的试验确实工作量很大，为了简便这种试验，我们可用下面两种方法来简便．
1．取9张形状完全相同的卡片，在6张卡片上分别写上1～6的整数表示男生，在其余的3张卡片上分别写上7～9的整数表示女生，把9张卡片混合起来并洗均匀．
从卡片中放回的抽3次，随机抽取，每次抽取1张，并记录结果，经重复大量试验，就能够计算相关频率，估计出三人中两男一女的概率．
三、应用拓展
在车站、街旁、旅游点、学校门口常常看到以下的博彩游戏：
玩法
(1)记分卡共20张，其中5分、10分各10张；
(2)记分卡反放，每次任意摸10张，总分在下列分数中的可以得到与该分数对应的奖品；
(3)每次摸奖付1元.
分数
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
奖品
彩电
文曲星
钢笔
圆珠笔
空门
空门
空门
气球
香皂
计算器21世纪教育网
手表
奖品丰厚，围观者蠢蠢欲动，但也奇怪，有数十个人参加摸奖，摸到空门的居多，根本没有人摸到价值高的奖品，是偶数还是必然，你认为呢？以摸到100分为例说明．
分析：摸奖者摸10张卡片，总分在50至100之间，除了70、75、80三个分数没有外，其余的分数都有奖，并且奖品大都远远超过1元，所以人们觉得赢的机会非常大，可是事实恰恰相反，得到贵一点的奖品几乎没有人，是什么原因呢？
原来在50至100之间的11个分数中，摸10张卡总分最有可能是70、75、80，而相应的奖品是空的，其余分数虽然都有奖品，甚至在两边的得分可得到高额奖品，但这些分数很难得到．
解：是必然．理由：以摸到100分为例，需连续摸到10张卡片都是10分的，第一次摸到10分的机会是，再摸第二次摸到10分卡片的机会是，第三次摸到的卡片是10分的机会是，……依次类推，连续摸十次都是10分的机会只有，接近于二十万分之，以每次一元计算，需要近二十万元才能得到一台彩电！
五、归纳小结
(学生小结，老师点评)
本节课应掌握：
1．用频率估计概率的条件及方法．
课件18张PPT。用 频 率 估 计 概 率必然事件不可能事件可能性随机事件(不确定事件)回顾必然事件发生的概率为1，
记作P(必然事件)=1；
不可能事件发生的概率为0，
记作P(不可能事件)=0；
随机事件(不确定事件)发生的概率介于0~1之 间，即0
如果A为随机事件(不确定事件)，
那么0用列举法求概率的条件是什么？(1)试验的所有结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.用频率估计概率
用列举法可以求一些事件的概率，我们还可以利用多次重复试验，通过统计实验结果去估计概率.什么叫频率？在实验中，每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率材料：在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动.随着抛掷次数的增加，一般的，频率呈现一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度会越来越小.
这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.
思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何变化？数学史实 事实上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705被公认为是概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近.归纳：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.用频率估计的概率可能小于0吗？可能大于1吗？练习：
下表记录了一名球员在罚球线上的投篮结果.（1）计算表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这个球员投篮一次，投中的概率大约是多少？（精确到0.1）0.560.600.520.520.4920.5070.502约为0.5 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应
采用什么具体做法？ 观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈
你的看法．估计移植成活率成活的频率0.8( )0.940.9230.8830.9050.897是实际问题中的一种概率，可理解为成活的概率.估计移植成活率 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．0.90.9成活的频率0.8( )0.940.9230.8830.9050.897 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．0.90.9成活的频率0.8( )0.940.9230.8830.9050.8971.林业部门种植了该幼树1000棵，估计能成活_______棵. 2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园，则至少
向林业部门购买约_______棵.900556估计移植成活率0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？概率伴随着我你他1.在有一个10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是多少？该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人？解:
根据概率的意义，可以认为其概率大约等于250/2000=0.125.
该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.试一试2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里约有鲤鱼_______尾，鲢鱼_______尾.3102703.动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁
的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？4.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生，并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：试一试(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？ (2)你能估计调查到10 000名同学时，红色的频率是多少吗？估计调查到10 000名同学时，红色的频率大约仍是0.4左右. 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在0.4左右. (3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色的产量？.红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:1:2知识应用 如图，长方形内有一不规则区域，现在玩投掷游戏，如果随机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形内.(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？(2)若该长方形的面积为150平方米，试估计不规则图形的面积.升华提高了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率体会了一种思想：用样本去估计总体
用频率去估计概率弄清了一种关系------频率与概率的关系 当试验次数很多或试验时样本容量足够大时，一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时，我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 从一定的高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不找地，估计一下哪种事件的概率更大，与同学合作，通过做实验来验证 一下你事先估计是否正确？你能估计图钉尖朝上的概率吗？大家都来做一做课件2张PPT。 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）作n次随机试验，事件A出现m次，则事件A发生的频率m/n就是事件A的概率； （2）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中随机抽取1000只灯泡，一定有10只次品.解：（1）不正确.在大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，所以只有当n相当大时，事件A的频率才能作为概率的近似值，所以上述说法是错误的；
（2）不正确.灯泡的次品率为0.01，那么从中随机抽取1000只灯泡，抽取到的次品数会在10附近，但不一定就是10，所以上述说法是错误的.课件1张PPT。2.一个袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球.请你估计这个口袋中红球和白球的数量.答：由题可得摸到红球的概率： 约为因为红球、白球共10个，所以白球的数量约：10× ＝3，红球的数量约为为：7