辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期10月质量监测数学试题 （图片版，含答案）

辽宁省沈文新高考研究联盟 2025-2026 学年高二上学期 10 月质量监测
数学试题
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B． a b 是向量 a b的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于 0
D．共线的单位向量都相等

2．四面体OABC中，OA a，OB b，OC c，且OP 2PA， BQ QC，则 PQ等于（ ）
2 1 a b 1 c 2 a 1 b 1

A． B． c
3 2 2 3 2 2
2 a 1

b 1 2
1 1
C． c D． a b c
3 2 2 3 2 2

3．已知向量a 2,1,1 ,b 9, x, y ,a 与5a b共线，则 a b （ ）
A 7 6 9 6． B．6 3 C． D．8 3
2 2
4．已知空间三点 A 4,1,3 ， B 2,5, 3 ，C 3, x,0 共线，则实数 x的值为（ ）
A．3 B．5 C． 3 D． 5
5．设 , 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m / / , / / ，则m / / B．若 ,m ,n ，则m n
C．若m ,n ,n m，则 D．若m / / ,m , n，则m与 n相交
6．如图，边长为 2的正方体的一个顶点 A在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点 B和点 D到平面 的
2
距离均为 ，则平面 A1C1D与平面 的夹角的余弦值为（ ）2
1
A 1． 2 B
2 6
． C． D．
2 3 6
7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在V ABC中， 若三个内角均小于120 ， 则当
点 P满足 APB = APC = BPC = 120°时，点 P到三角形三个顶点的距离之和最小，点 P被人们称为费马

点.根据以上知识，已知 a为平面内任意一个向量，b和 c是平面内两个互相垂直的向量，且 b 2， c 3，

则 a b a b a c 的最小值是（ ）
A．3 2 3 B．3 2 3 C． 2 3 2 D． 2 3 2
1
8．在平面直角坐标系中，定义：AB x x n y y n n，其中 A x1, y1 ，B x2 , y2 .若 s, t N*，且 s t，n 1 2 1 2
则下列结论错误的是（ ）
A．若 A,B关于 x轴对称，则 ABs ABt
B．若 A,B关于直线 y x对称，则 ABs ABt
C．若OAs 2OBs，则OAt 2OBt
D．若 P M AM s 1 ，Q M | AM t 1 ，则 P Q
二、多选题
9．如图，已知四面体 ABCD，点 E,F分别是 BC ,CD的中点，下列说法正确的是（ ）

A． AB BC CD AD B． AB BC AD DC
1 C． AB BC BD AF D．2 AB AE EF FB
10．已知点M ( 1,1)， N (2,1)，且点 P(a,b)在直线 l : x y 2 0上，则（ ）
39
A． a 2 b2 a 2b的最小值为 B． | PM | | PN |的最小值为 29
8

C．存在点 P，使得PM PN
1
D．存在点 P，使得 2 | PM | | PN |
4
11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数
字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在 xOy平面上，把与定点M ( a,0)， N (a, 0)距离之积等于 a2 a 0 的动
点的轨迹称为双纽线.曲线 C是当 a 2时的双纽线，P是曲线 C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 P的横坐标的取值范围是 [ 2,2] B． OP 的最大值是 2 2
C． PMN面积的最大值为 2 D． PM PN 的取值范围是 4, 4 2
三、填空题

12．设平面 的法向量为 n， A是平面 内的定点， P是平面 外一点，则点 P到平面 的距离 d
13．设点 A 2,0 和 B 0,3 ，在直线 l：x y 1 0上找一点 P，使 PA PB 取到最小值，则这个最小值为

14．V ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°， BC 2，点 D满足DA AC，点 E是 BD所在直线上一点，


若CE xCA yCB，则 x 2 y ；向量CA在向量CE上的投影向量记为m
C E
CE ，则实数 m的取值范
围为 ．
四、解答题
15．已知直线 l : y kx k 1．
(1)求证：直线 l恒过定点 A 1,1 ；
(2)已知两点 B 4,4 ，C 0,2 ，过点 A的直线与线段 BC有公共点，求直线的倾斜角 的取值范围．
16．如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 4，D是 AB的中点.
(1)求证： BC1 / /平面 A1CD；
(2)若△A1CD的面积为 2 2 ，求点 A到平面 A1CD的距离.
17．如图，在三棱锥 P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点 O为 AC中点，D是 BC上一点，OP⊥底面 ABC，
BC⊥面 POD．
(1)求证：点 D为 BC中点；
(2)当 k取何值时，O在平面 PBC内的射影恰好是 PD的中点．
18．如图，在四棱锥 P ABCD中， AD//BC, AB PD 6, BC PC 2, AD 4, cos DAB
1
.
3
(1)求证： PB CD；
(2)若PB 2 3，求平面 PAB与平面PBD夹角的余弦值.
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
2 2
度，常用测量距离的方式有 3种．设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则欧几里得距离D(A,B) x1 x2 y1 y2 ；

曼哈顿距离 d (A,B) x1 x2 y1 y2 ，余弦距离 e(A,B) 1 cos(A,B)，其中 cos(A,B) cos OA,OB （O为
坐标原点）．
B 3 , 4A( 1,2) (1)若 ， ，求 A， B之间的曼哈顿距离 d (A,B)和余弦距离 e(A,B)；
5 5
(2)若点M (2,1)， d (M ,N ) 1，求 e(M ,N )的最大值；
(3)已知点 P，Q是直线 l : y 1 k (x 1)上的两动点，问是否存在直线 l使得 d(O,P)min D(O,Q)min，若存在，
求出所有满足条件的直线 l的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C A A C ABC ABD
题号 11
答案 BCD

AP n
12．
n
13． 17
14 2． 2 m 1
2
15．（1）证明：由 y kx k 1，得 y 1 k x 1 ．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点 A 1,1 ．
（2）由题意可知 kAC 1， kBA 1，
由题意可知直线的倾斜角介于直线 AB与 AC的倾斜角之间，
又 AC的倾斜角是 45 ， AB的倾斜角是135 ， A点横坐标在 B,C两点横坐标之间，因此直线可能与 x轴垂
直，倾斜角可以是90 ，
∴ 的取值范围是 45 135 ．
16．（1）连接 AC1，交 A1C于点O，连接OD，
因为O，D分别是 AC1， AB的中点，所以OD是 ABC1的中位线，
所以OD//BC1，因为 BC1 平面 A1CD，OD 平面 A1CD，
所以 BC1 / /平面 A1CD .
（2）设V ABC的面积为S，棱长 AA1的长度为 h， B到平面 A1CD的距离为 d，
因为直三棱柱 ABC A1B1C1的体积V Sh 4，
1
因为D是 AB的中点，所以 ACD的面积为 S ，
2
所以三棱锥 A1 ACD
1 1 1 2
的体积VA ACD S h Sh ，1 3 2 6 3
2 1
因为△ACD V V 21 的面积为 2 2 ，由 A1 ACD A A CD得 2 2 d1 ，解得d .3 3 2
2
所以 A到平面 A1CD的距离为 .2
17．（1）连接 OD，PD， BC 平面 POD， BC OD ，又 AB BC, OD / /AB ，O是 AC的中点，所
以 OD是 OC边上的中位线， D是 BC边的中点；
（2）连接 OB， ABC 是等腰直角三角形， OB AC ，由题意OP 平面 ABC， OP OB ，又 O
是 AC的中点， △PAC 是等腰三角形， PA PC ，
连接 PD，取 PD的中点 G，连接 OG，由题意OG 平面 PBC， OG PD ，
1 1
又 G是 PD的中点， POD 是等腰直角三角形， PO OD BC AB ，
2 2
2 2
PA AO2 PO2
2 1 3 2 3
AB
AB AB， AB PA ，
2 2 2 3
k 2 3 ；
3
2 3
综上，当 k 时，O在平面 PBC内射影恰好是 PD得中点.
3
18．（1）取 AD的中点M ，连接MB，
则 BC //MD且 BC MD，
所以四边形 BCDM为平行四边形，所以CD//BM 且CD BM，
在△ABD中，由余弦定理得，
BD2 AB2 AD2 2AB ADcos DAB 36 16 2 6 4 1 36，
3
所以 BD 6 AB，
所以 BM AD， BM 62 22 4 2
所以 BM BC，所以CD BC,CD 4 2，
则 PC 2 CD 2 PD 2，所以CD PC，
又 BC,PC 平面 PBC ，BC PC C，
所以CD 平面 PBC ，
又 PB 平面 PBC ，所以 PB CD；
（2）在△PBC中，由余弦定理得，
cos PCB PC
2 BC2 PB2 4 4 12 1
，所以 PCB 120 ，
2PC BC 2 2 2 2
如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 A 4 2, 4,0 ,B 0, 2,0 ,D 4 2,0,0 ,P 0, 1, 3 ，

故 PB 0,3, 3 ,PA 4 2,5, 3 ,PD 4 2,1, 3 ，

设平面 PAB的法向量为m x1, y

1, z1 ,，平面 PBD的法向量为n x2 , y2 , z2
m PA 4 2x1 5y 3z 0 1 1 n

PD 4 2x y 3z 0
则有 ，
2 2 2
，
m PB 3y1 3z1 0 n PB 3y2 3z2 0

令 y
2 2
1 1, y2 1，则m ,1, 34
,n ,1, 3 ，
4


1 1 3
cosm ,n
m n 8 31
则 m n ，33 33 33
8 8
31
所以平面 PAB与平面 PBD夹角的余弦值为 .
33
14
19．(1) 5 5，
5 5
(2)1 2 5
5
(3)存在， y 1和 y x